2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）

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1、2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二） 　　例1 數(shù)一數(shù)，圖3－1中共有多少點(diǎn)？ 　　解：（1）方法1：如圖3－2所示從上往下一層一層數(shù)： 　　第一層 1個(gè) 　　第二層 2個(gè) 　　第三層 3個(gè) 　　第四層 4個(gè) 　　第五層 5個(gè) 　　第六層 6個(gè) 　　第七層 7個(gè) 　　第八層 8個(gè) 　　第九層 9個(gè) 　　第十層 10個(gè) 　　第十一層 9個(gè) 　　第十二層 8個(gè) 　　第十三層 7個(gè) 　　第十四層 6個(gè) 　　第十五層 5個(gè) 　　第十六層 4個(gè) 　　第十七層 3個(gè) 　　第十八層 2個(gè) 　　第十九層 1個(gè) 　　總數(shù)1+2+3+4+5

2、+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） 　　=55+45=100（利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)計(jì)算）。 　　（2）方法2：如圖3－3所示：從上往下，沿折線數(shù) 　　第一層 1個(gè) 　　第二層 3個(gè) 　　第三層 5個(gè) 　　第四層 7個(gè) 　　第五層 9個(gè) 　　第六層 11個(gè) 　　第七層 13個(gè) 　　第八層 15個(gè) 　　第九層 17個(gè) 　　第十層 19個(gè) 　　總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)計(jì)算）。 　　（3）方法3：把點(diǎn)群

3、的整體轉(zhuǎn)個(gè)角度，成為如圖3－4所示的樣子，變成為10行10列的點(diǎn)陣。顯然點(diǎn)的總數(shù)為10×10=100（個(gè)）。 　　想一想： 　　①數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，有時(shí)有不同的方法，需要多動(dòng)腦筋。 　?、谟煞椒?和方法3得出下式： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 　　即等號(hào)左邊這樣的一串?dāng)?shù)之和等于中間數(shù)的自乘積。由此我們猜想： 　　1=1×1 　　1+2+1=2×2 　　1+2+3+2+1=3×3 　　1+2+3+4+3+2+1=4×4 　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5 　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+

4、1=6×6 　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7 　　1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 　　這樣的等式還可以一直寫(xiě)下去，能寫(xiě)出很多很多。 　　同學(xué)們可以自己檢驗(yàn)一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。 　　③由方法2和方法3也可以得出下式： 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10。 　　即從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和等

5、于奇數(shù)個(gè)數(shù)的自乘積。由此我們猜想： 　　1+3=2×2 　　1+3+5=3×3 　　1+3+5+7=4×4 　　1+3+5+7+9=5×5 　　1+3+5+7+9+11=6×6 　　1+3+5+7+9+11+13=7×7 　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10 　　還可往下一直寫(xiě)下去，同學(xué)們自己檢驗(yàn)一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。 　　例2 數(shù)一數(shù)，圖3－5中有多少條線段？ 　　解：（1）我們已知，兩點(diǎn)間的直線部分是

6、一條線段。以A點(diǎn)為共同端點(diǎn)的線段有： 　　AB AC AD AE AF 5條。 　　以B點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有： 　　BC BD BE BF 4條。 　　以C點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有： 　　CD CE CF 3條。 　　以D點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有： 　　DE DF 2條。 　　以E點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有： 　　EF1條。 　　總數(shù)5+4+3+2+1=15條。 　?。?）用圖示法更為直觀明了。見(jiàn)圖3－6。 　　總數(shù)5+4+3+2+1=15（條）。 　　想一想：①由例2可知，一條大線段上有六個(gè)點(diǎn)，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段。由此猜想如下規(guī)律（見(jiàn)圖3－7）：

7、 　　還可以一直做下去?？傊€段總條線是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1。我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律。它說(shuō)明了點(diǎn)數(shù)與線段總數(shù)之間的關(guān)系。 　　②上面的事實(shí)也可以這樣說(shuō)：如果把相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么一條大線段上的基本線段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關(guān)系是： 　　線段總條數(shù)是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本線段的條數(shù)（見(jiàn)圖3－8）?；揪€段數(shù) 線段總條數(shù) 　　還可以一直寫(xiě)下去，同學(xué)們可以自己試試看。 　　例3 數(shù)一數(shù)，圖3－9中共有多少個(gè)銳角？ 　　解：（1）我們知道，圖中任意兩條從O點(diǎn)發(fā)出的射線都組成一個(gè)銳角。 　　所以，以O(shè)A邊為

8、公共邊的銳角有： 　　∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE， 　　∠AOF共5個(gè)。 　　以O(shè)B邊為公共邊的銳角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4個(gè)。 　　以O(shè)C邊為公共邊的銳角有：∠COD，∠COE，∠COF共3個(gè)。以O(shè)D邊為公共邊的銳角有：∠DOE，∠DOF共2個(gè)。以O(shè)E邊為一邊的銳角有：∠EOF只1個(gè)。 　　銳角總數(shù)5+4+3+2+1＝15（個(gè)）。 　　②用圖示法更為直觀明了：如圖3－10所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15（個(gè)）。 　 　　想一想：①由例3可知：由一點(diǎn)發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)=5+4+3+2+1（個(gè)），由此猜想出如下規(guī)律：

9、（見(jiàn)圖3－11～15） 　　兩條射線1個(gè)角（見(jiàn)圖3－11） 　　三條射線2+1個(gè)角（見(jiàn)圖3－12） 　　四條射線3+2+1個(gè)角（見(jiàn)圖3－13） 　　五條射線4+3+2+1個(gè)角（見(jiàn)圖3－14） 　　六條射線5+4+3+2+1個(gè)角（見(jiàn)圖3－15） 　　總之，角的總數(shù)是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比射線數(shù)小1。 　?、谕瑯樱部梢赃@樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做基本角，那么有共同頂點(diǎn)的基本角和角的總數(shù)之間的關(guān)系是： 　　角的總數(shù)是從1開(kāi)始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本角個(gè)數(shù)。 　　③注意，例2和例3的情況極其相似。雖然例2

10、是關(guān)于線段的，例3是關(guān)于角的，但求總數(shù)時(shí)，它們有同樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式。同學(xué)們可以看出，一個(gè)數(shù)學(xué)式子可以表達(dá)表面上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的魔力。 附送： 2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 整數(shù)的分拆 　　例1 小兵和小軍用玩具槍做打靶游戲，見(jiàn)下圖所示。他們每人打了兩發(fā)子彈。小兵共打中6環(huán)，小軍共打中5環(huán)。又知沒(méi)有哪兩發(fā)子彈打到同一環(huán)帶內(nèi)，并且彈無(wú)虛發(fā)。你知道他倆打中的都是哪幾環(huán)嗎？ 　　解：已知小兵兩發(fā)子彈打中6環(huán)，要求每次打中的環(huán)數(shù)，可將6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小軍每次打中的環(huán)數(shù)，可將5分拆5=1+4=2+3。 　　由題意：沒(méi)有哪兩發(fā)子彈打到同

11、一環(huán)帶內(nèi)并且彈無(wú)虛發(fā)，只可能是： 　　小兵打中的是1環(huán)和5環(huán)，小軍打中的是2環(huán)和3環(huán)。 　　例2 某個(gè)外星人來(lái)到地球上，隨身帶有本星球上的硬幣1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想買(mǎi)7分錢(qián)的一件商品，他應(yīng)如何付款？買(mǎi)9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又將如何付款？ 　　解：這道題目的實(shí)質(zhì)是要求把7、9、10、13、14、15各數(shù)按1、2、4、8進(jìn)行分拆。 　　7=1+2+4 　　9=1+8 　　10=2+8 　　13=1+4+8 　　14=2+4+8 　　15=1+2+4+8 　　外星人可按以上方式付款。 　　例3 有人以為8是個(gè)吉利數(shù)字，他們得到的東西的數(shù)

12、量都能要夠用“8”表示才好。現(xiàn)有200塊糖要分發(fā)給一些人，請(qǐng)你幫助想一個(gè)吉利的分糖方案。 　　解：可以這樣想：因?yàn)?00的個(gè)位數(shù)是0，又知只有5個(gè)8相加才能使和的個(gè)位數(shù)字為0，這就是說(shuō)，可以把200分成5個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字都應(yīng)是8。 　　這樣由8×5=40及200-40=160， 　　可知再由兩個(gè)8作十位數(shù)字可得80×2=160即可。 　　最后得到下式：88+88+8+8+8=200。 　　例4 試將100以?xún)?nèi)的完全平方數(shù)分拆成從1開(kāi)始的一串奇數(shù)之和。 　　解：1=1×1=12=1（特例） 　　4=2×2=22=1+3 　　9=3×3=32=1+3+5 　　16=4×4=

13、42=1+3+5+7 　　25=5×5=52=1+3+5+7+9 　　36=6×6=62=1+3+5+7+9+11 　　49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13 　　64=8×8=82 　　=1+3+5+7+9+11+13+15 　　81=9×9=92 　　=1+3+5+7+9+11+13+15+17 　　100=10×10=102 　　=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。 　　觀察上述各式，可得出如下猜想： 　　一個(gè)完全平方數(shù)可以寫(xiě)成從1開(kāi)始的若干連續(xù)奇數(shù)之和，這個(gè)平方數(shù)就等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的自乘積（平方）。 　　檢驗(yàn)：把11×11=121，和12

14、×12=144，兩個(gè)完全平方數(shù)分拆，看其是否符合上述猜想。 　　121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 　　144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 　　結(jié)論:上述猜想對(duì)121和144兩個(gè)完全平方數(shù)是正確的。 　　例5 從1～9九個(gè)數(shù)中選取，將11寫(xiě)成兩個(gè)不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫(xiě)法？ 　　解：將1～9的九個(gè)自然數(shù)從小到大排成一列： 　　1，2，3，4，5，6，7，8，9。 　　分析 先看最小的1和最大的9相加之和為10不符合要求。 　　但用次大的2和最大的9相加，和為11符合要求，得11=2+9。 　　逐個(gè)做下去，

15、可得11=3+8，11=4+7，11=5+6。 　　可見(jiàn)共有4種不同的寫(xiě)法。 　　例6 將12分拆成三個(gè)不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的分拆方式，請(qǐng)把它們一一列出。 　　解：可以做如下考慮：若將12分拆成三個(gè)不同的自然數(shù)之和，三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)應(yīng)為1，其次是2，那么第三個(gè)數(shù)就應(yīng)是9得：12=1+2+9。 　　下面進(jìn)行變化，如從9中取1加到2上， 　　又得12=1+3+8。 　　繼續(xù)按類(lèi)似方法變化，可得下列各式： 　　12=1+4+7=2+3+7， 　　12=1+5+6=2+4+6。 　　12=3+4+5。 　　共有7種不同的分拆方式。 　　例7 將21分拆成四個(gè)不同的

16、自然數(shù)相加之和，但四個(gè)自然數(shù)只能從1～9中選取，問(wèn)共有多少種不同的分拆方式，請(qǐng)你一一列出。 　　解：也可以先從最大的數(shù)9考慮選取，其次選8，算一算21-（9+8）=4，所以接著只能選3和1。這樣就可以得出第一個(gè)分拆式：21=9+8+3+1， 　　以這個(gè)分拆式為基礎(chǔ)按順序進(jìn)行調(diào)整，就可以得出所有的不同分拆方式： 　 　　 　　21=7+6+5+3}以7開(kāi)頭的分拆方式有1種 　　∴ 共有11種不同的分拆方式。 　　例8 從1～12這十二個(gè)自然數(shù)中選取，把26分拆成四個(gè)不同的自然數(shù)之和。 　　　 　　　　　 　　 　　　 　　26=8+7+6+5}以8開(kāi)頭的分拆方式共1種不同的分拆方式總數(shù)為： 　　10+10+8+4+1=33種。 　　總結(jié)：由例4明顯看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必須使分拆過(guò)程按一定的順序進(jìn)行。