浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第20講 多邊形與平行四邊形講解篇

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1、 第20講　多邊形與平行四邊形 1．多邊形 考試內(nèi)容 考試 要求 多邊形的定義 在同一平面內(nèi)，若干條不在同一直線上的線段 相接組成的圖形叫做多邊形． a 多邊形的性質(zhì) 內(nèi)角和 n邊形內(nèi)角和為 ． c 外角和 任意多邊形的外角和為 ． 對(duì)角線 n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫____________________條對(duì)角線，一共可以畫____________________條對(duì)角線． 正多邊形 定義 各邊____________________，各角也____

2、________________的多邊形叫做正多邊形． a 性質(zhì) 正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是 ，每一個(gè)外角的度數(shù)都是 ． c 2.平行四邊形的性質(zhì)、判定方法 考試內(nèi)容 考試 要求 性質(zhì) 平行四邊形的對(duì)邊____________________. c 平行四邊形的對(duì)角____________________. 平行四邊形的對(duì)角線 ． 平行四邊形是 對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的 ． 判定 兩組對(duì)邊分別 的四邊形

3、是平行四邊形(定義法)． 兩組對(duì)邊分別____________________的四邊形是平行四邊形. 兩組對(duì)角分別 的四邊形是平行四邊形． 一組對(duì)邊____________________的四邊形是平行四邊形. 對(duì)角線 的四邊形是平行四邊形． 拓展 若一條直線過平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，那么這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心，且這條直線等分平行四邊形的面積、周長． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 方法 1.面積法，在三角形和平行四邊形中，運(yùn)用“等積法”進(jìn)行求解，以不同的邊為底，其高也不相同

4、，但面積是定值，從而得到不同底和高的關(guān)系． c 2.四種輔助線： (1)常用連對(duì)角線的方法把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題； (2)有平行線時(shí)，常作平行線構(gòu)造平行四邊形； (3)有中線時(shí)，常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形； (4)圖形具有等鄰邊特征時(shí)(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置． 1．(2016·舟山)已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是140°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．(201

5、6·紹興)小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號(hào)應(yīng)該是(　　) A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 3． (2016·衢州)如圖，在?ABCD中，M是BC延長線上的一點(diǎn)，若∠A＝135°，則∠MCD的度數(shù)是(　　) A．45° B．55° C．65° D．75° 4． (2016·麗水)如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6

6、，則△OBC的周長為(　　) A．13 B．17 C．20 D．26 5． (2015·衢州)如圖，在?ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則CE的長等于(　　) A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 【問題】(1)如圖，你能從多邊形中得到哪些信息？ (2)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，你能從這個(gè)圖形中獲取哪些信息？ (3)如圖是一張平行

7、四邊形ABCD的紙片沿對(duì)角線撕下的一部分，請你用不同方法復(fù)原平行四邊形ABCD. 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理平行四邊形的性質(zhì)、判定方法． 類型一　多邊形的性質(zhì) 　(1)(2016·烏魯木齊)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為________． (2)(2016·河北)已知n邊形的內(nèi)角和θ＝(n－2)×180°. ①甲同學(xué)說，θ能取360°；而乙同學(xué)說，θ也能取630°.甲、乙的說法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n.若不對(duì)，說明理由； ②若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x. 【解后感悟】如果已

8、知n邊形的內(nèi)角和，那么可以求出它的邊數(shù)n；對(duì)于多邊形的外角和等于360°，應(yīng)明確兩點(diǎn)：(1)多邊形的外角和與邊數(shù)n無關(guān)；(2)多邊形內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題常常有化難為易的效果．此題需要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解． 1．(1)(2015·麗水)一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°，則這個(gè)多邊形是(　　) 　A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形 (2)一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為(　　) A．5　 B．

9、5或6　 C．5或7　 D．5或6或7 類型二　平行四邊形的判定 　(1)(2017·荊門模擬)四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法是__________(填序號(hào))； (2)(2016·衢州)已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則x＝________. 【解后感悟】(1)探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形： ①若條

10、件中涉及角，考慮用“兩組對(duì)角分別相等”或“兩組對(duì)邊分別平行”來證明； ②若條件中涉及對(duì)角線，考慮用“對(duì)角線互相平分”來說明； ③若條件中涉及邊，考慮用“兩組對(duì)邊分別平行”或“一組對(duì)邊平行且相等”來證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形． (2)注意：“以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形”與“四邊形OABC是平行四邊形”的區(qū)別． 2． (1)(2017·嘉興模擬)如圖，已知△ABC，分別以A，C為圓心，BC，AB長為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方交于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD，則有(　　) A．∠ADC與∠BAD相等 B．∠ADC與∠BAD互補(bǔ) C．∠ADC

11、與∠ABC互補(bǔ) D．∠ADC與∠ABC互余 (2)(2016·吉林)圖1，圖2都是8×8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長均為1，在每個(gè)正方形網(wǎng)格中標(biāo)注了6個(gè)格點(diǎn)，這6個(gè)格點(diǎn)簡稱為標(biāo)注點(diǎn)． ①請?jiān)趫D1，圖2中，以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn)，各畫一個(gè)平行四邊形(兩個(gè)平行四邊形不全等)； ②圖1中所畫的平行四邊形的面積為　　　　　　　　. 　　　　　 3．(2015·遂寧)如圖，?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，求證： (1)AE＝CF； (2)四邊形AECF是平行四邊形． 　　　　　 類型三　平行四邊形的性質(zhì) 　

12、如圖，在?ABCD中， (1)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，則∠D＝________； (2)若∠A＋∠C＝240°，則∠B＝________； (3)若對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝4，BD＝5，BC＝3，則△BOC的周長是＝________； (4)若∠A的平分線交邊BC于點(diǎn)E.若AB＝10cm，AD＝14cm，則BE＝________cm，EC＝________cm； (5)若∠BAD與∠ADC的角平分線分別交邊BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AB＝2EF＝2，則BC＝________． 【解后感悟】利用圖形和平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；對(duì)于(5)注意分類討論． 4．(1)(

13、2017·瀘州模擬)平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為6和10，則其中一條邊x的取值范圍為(　　) A．4＜x＜6 B．2＜x＜8 C．0＜x＜10 D．0＜x＜6 (2)(2017·麗水)如圖，在?ABCD中，連結(jié)AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，則BC的長是(　　) A. B．2 C．2 D．4 (3)(2015·河南)如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E.若BF＝6，AB＝5，則AE的長

14、為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 (4)(2017·黃崗模擬)在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝2，則?ABCD的周長等于____________________． 類型四　平行四邊形的應(yīng)用 　如圖1是某公共汽車前擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2，雨刷EF丄AD，垂足為A，AB＝CD，且AD＝BC.這樣能使雨刷EF在運(yùn)動(dòng)時(shí)．始終垂直于玻璃窗下沿BC.請證明這一結(jié)論． 　　　　　　　 　 【解后感悟】本題是實(shí)際問題，首先構(gòu)建關(guān)于平行四邊形的問題，再利用平

15、行四邊形的判定和性質(zhì)來解決． 5． (2017·嘉興模擬)將四根木條釘成的長方形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為長方形面積的一半(木條寬度忽略不計(jì))，則這個(gè)平行四邊形的最小內(nèi)角為 　　　　　　　　度． 類型五　平行四邊形的綜合運(yùn)用 　(2017·舟山模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝60°，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，BC＝2CD. (1)求證：四邊形MNCD是平行四邊形； (2)求證：BD＝MN. 【解后感悟】利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等，其關(guān)鍵是根據(jù)所需要的線段、角，選擇

16、需要的邊、角相等條件；也可以證明相關(guān)聯(lián)的四邊形是平行四邊形． 6． (1)(2016·東營)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是　　　　　　　　. (2)(2017·溫州模擬)如圖，將?ABCD的AD邊延長至點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)CE，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)FD. ①求證：四邊形CEDF是平行四邊形； ②若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的長． 【作圖探究題】 如圖，甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內(nèi)部找一點(diǎn)P，使得四邊形ABPE為平行四邊形，其作

17、法如下：(甲)連結(jié)BD、CE，兩線段相交于P點(diǎn)，則P即為所求． (乙)先取CD的中點(diǎn)M，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AM于P點(diǎn)，則P即為所求． 對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確(　　) A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確 【方法與對(duì)策】本題綜合運(yùn)用正五邊形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定的應(yīng)用，問題通過實(shí)驗(yàn)操作為條件進(jìn)行分析、綜合、對(duì)照平行四邊形判定，說明甲正確、乙錯(cuò)誤．通過作圖來計(jì)算、判斷、證明是中考出題常用方法． 【各種判定方法易混淆不清】 已知四邊形ABCD，有以下四

18、個(gè)條件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.從這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)共有(　　) A．6種　　 B．5種　　 C．4種　　 D．3種 參考答案 第20講　多邊形與平行四邊形 【考點(diǎn)概要】 1．首尾順次　(n－2)×180°　360°　(n－3)　 相等　相等　　　2.相等　相等　互相平分　中心　交點(diǎn)　平行　相等　相等　平行且相等　互相平分 【考題體驗(yàn)】 1．D　2.D　3.A　4.B　5.C 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)n邊形的內(nèi)角和(n－2)·180°，外角和360°；

19、 (2)從平行四邊形的性質(zhì)的角度說明； (3)從平行四邊形的判定方法的角度說明(四個(gè)方面)． 【例題精析】 例1　(1)6； (2)①∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的說法對(duì)，乙的說法不對(duì)，360°÷180°＋2＝2＋2＝4.答：甲同學(xué)說的n邊形的邊數(shù)n是4；②依題意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.故x的值是2. 例2　(1)①②、③④、①③、①④；(2)根據(jù)題意畫圖如下：以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則C(4，1)或(－2，1)，則x＝4或－2；故答案為：4或－2. 例3　(1)108°

20、　(2)60°　(3)7.5　(4)10，4　(5)3或5 例4　∵AB＝CD、AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形. ∴AD∥BC.又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC. 例5　(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴MD＝NC，MD∥NC，∴四邊形MNCD是平行四邊形； (2)如圖：連結(jié)ND，∵四邊形MNCD是平行四邊形，∴MN＝DC.∵N是BC的中點(diǎn)，∴BN＝CN，∵BC＝2CD，∠C＝60°，∴△NCD是等邊三角形．∴ND＝NC，∠DNC＝60°.∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD＋∠NDB＝∠DNC，∵DN＝NC＝NB，∴

21、∠DBN＝∠BDN＝∠DNC＝30°，∴∠BDC＝90°.∵tan∠DBC＝＝，∴DB＝DC＝MN. 【變式拓展】 1．(1)C　(2)D　2.(1)B　(2)①如圖1，如圖2；②6　 3. 證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF.　(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．　 4. (1)B　(2)C　(3)C　(4)12或20　5.30　 6.(1)4　(2)①證明

22、：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝AD，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，∴DE＝FC，DE∥FC，∴四邊形CEDF是平行四邊形；②過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∵AB＝3，AD＝4，∴FC＝2，NC＝DC＝，DN＝，∴FN＝，則DF＝EC＝＝. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】甲：如圖1，∵正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠DEC＝∠DCE＝×(180°－108°)＝36°，同理∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°，∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，∴四邊形ABPE是平行四邊形，即甲正確；乙：如圖2，∵∠BAE＝108°，∴∠BAM＝∠EAM＝54°，∵AB＝AE＝AP，∴∠ABP＝∠APB＝×(180°－54°)＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四邊形ABPE不是平行四邊形，即乙錯(cuò)誤；故選C. 【錯(cuò)誤警示】利用判定方法可得①②、①③、②④、③④，這四種情況能判定四邊形ABCD是平行四邊形．故選C. 12