浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖象 第15講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)講解篇

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1、 第15講　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1．二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì) 考試內(nèi)容 考試 要求 二次函數(shù)的概念 一般地，形如 (a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x是自變量，a、b、c分別為函數(shù)表達(dá)式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項． b 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) a a>0 a<0 b c 圖象 開口方向 拋物線開口向_______，并向上無限延伸 拋物線開口向_____，并向下無限延伸 對稱軸 直線x＝－ 直線x＝－ 頂點坐標(biāo) 最值 拋物線有最低點，當(dāng)x＝－時，y有最小值，y

2、最小值＝. 拋物線有最高點，當(dāng)x＝－時，y有最大值，y最大值＝. 增減性 在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<－時，y隨x的增大而_______________；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>－時，y隨x的增大而____________，簡記左減右增 在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<－時，y隨x的增大而_________；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>－時，y隨x的增大而_______，簡記左增右減 2.二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系 考試內(nèi)容 考試 要求 字母或 代數(shù)式 字母的符號 圖象的特征 b c a a>0 開口向________ |a|越大開口越 ． a<0 開口

3、向_____ b b＝0 對稱軸為 軸． ab>0(b與a同號) 對稱軸在y軸____________________側(cè). ab<0(b與a異號) 對稱軸在y軸 側(cè)． c c＝0 經(jīng)過____________________. c>0 與y軸____________________半軸相交. c<0 與y軸 半軸相交． b2－4ac b2－4ac＝0 與x軸有____________________交點(頂點). b2－4ac>0 與x軸有 不同交點． b2－

4、4ac<0 與x軸____________________交點． 特殊關(guān)系 若a＋b＋c>0，即當(dāng)x＝1時，y____________________0. 若a＋b＋c<0，即當(dāng)x＝1時，y____________________0. 3.確定二次函數(shù)的解析式 考試內(nèi)容 考試 要求 方法 適用條件及求法 c 一般式 若已知條件是圖象上的三個點或三對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，則可設(shè)所求二次函數(shù)解析式為____________________. 頂點式 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(最小值)，可設(shè)所求二次函數(shù)為____________________.

5、 交點式 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，可設(shè)所求的二次函數(shù)為 ． 4.二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式之間的關(guān)系 考試內(nèi)容 考試 要求 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與 軸的交點的 坐標(biāo)是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． b 二次函數(shù)與不等式 拋物線y＝ax2＋bx＋c在x軸上方的部分點的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c 0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式a

6、x2＋bx＋c 0的解集． 5.二次函數(shù)圖象常見的變換 考試內(nèi)容 考試 要求 平移 頂點坐標(biāo)的變化，按照“橫坐標(biāo)加減左右移”、“縱坐標(biāo)加減上下移”的方法進(jìn)行． c 旋轉(zhuǎn) 拋物線關(guān)于原點旋轉(zhuǎn)180°，此時頂點關(guān)于原點對稱，a的符號相反． 軸對稱 拋物線關(guān)于x軸對稱，此時頂點關(guān)于x軸對稱，a的符號相反；拋物線關(guān)于y軸對稱，此時頂點關(guān)于y軸對稱，a的符號不變． b 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 數(shù)形結(jié)合，從二次函數(shù)的圖象研究其開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、增減性、最值及其圖象的平移變化，到利用二次函數(shù)圖象求解方程與方程組，再到利用圖象

7、求解析式和解決實際問題，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． c 1．(2015·臺州)設(shè)二次函數(shù)y＝(x－3)2－4圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標(biāo)可能是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4) 2．(2017·金華)對于二次函數(shù)y＝－(x－1)2＋2的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是(　　) A．對稱軸是直線x＝1，最小值是2 B．對稱軸是直線x＝1，最大值是2 C．對稱軸是直線x＝－1

8、，最小值是2 D．對稱軸是直線x＝－1，最大值是2 3．(2017·寧波)拋物線y＝x2－2x＋m2＋2(m是常數(shù))的頂點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(2016·舟山)把拋物線y＝x2先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的表達(dá)式是____________________． 5．(2015·甘孜州)若二次函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移2個單位長度后，得到函數(shù)y＝2(x＋h)2的圖象，則h＝____________________． 【問題】如圖是y＝ax2

9、＋bx＋c(a≠0)的圖象，且點A(－1，0)，B(3，0)． (1)你能從圖象中想到哪些二次函數(shù)性質(zhì)； (2)若點C為(0，－3)，你又能得到哪些結(jié)論． 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 類型一　二次函數(shù)的解析式 　(1)已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(－1，－8)，且過點(0，－6)，則該拋物線的表達(dá)式為________； (2)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；則二次函數(shù)的解析式為________； (3)已知拋物線過點A(2，0)，B(－1，0)，與y軸交于點C，且OC＝2.則這

10、條拋物線的解析式為________． 【解后感悟】解題關(guān)鍵是選擇合適的解析式：當(dāng)已知拋物線上三點求二次函數(shù)的關(guān)系式時，一般采用一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；當(dāng)已知拋物線頂點坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸及最大或最小值)求關(guān)系式時，一般采用頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；當(dāng)已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式時，一般采用交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)． 1． (1)(2017·杭州模擬)如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個交點為(3，0)，那么它對應(yīng)的函數(shù)解析式是____________________． (2)(2017·長春模擬)已知二次

11、函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點A，B關(guān)于直線x＝－1對稱，且AB＝6，頂點在函數(shù)y＝2x的圖象上，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為____________________． 類型二　二次函數(shù)的圖象、性質(zhì) 　(1)對于拋物線y＝－(x＋1)2＋4，下列結(jié)論： ①拋物線的開口向下；②對稱軸為直線x＝1；③頂點坐標(biāo)為(－1，4)；④x≥1時，y隨x的增大而減??；⑤當(dāng)x＝－1時，y有最大值是4；⑥當(dāng)y≥0時，－3≤x≤1；⑦點A(－2，y1)、B(1，y2)在拋物線上，則y1＞y2. 其中正確結(jié)論是______________； (2)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，下列結(jié)論： ①－2≤

12、x≤1，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最大值為4，最小值為0；②使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1＝－3，x2＝1；④一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的兩根為x1＝－2，x2＝0；⑤當(dāng)二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)y＝－x＋3的值時，x取值范圍是－1＜x＜0. 其中正確結(jié)論是______________． 【解后感悟】解題關(guān)鍵是正確把握解析式的特點、圖象的特點、二次函數(shù)的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合． 2． (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，下列說法：①2a＋b＝0；②當(dāng)－1≤x≤3時，y<0；③若(x1，y1)、(x2，

13、y2)在函數(shù)圖象上，當(dāng)x1

14、位長度，再向上平移2個單位長度，平移后所得拋物線的解析式為________； (2)將該拋物線關(guān)于x軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為________． (3)將該拋物線繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是________． 【解后感悟】①平移的規(guī)律：左加右減，上加下減；②對稱的規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的兩點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的兩點縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的兩點橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)；③旋轉(zhuǎn)的規(guī)律：旋轉(zhuǎn)后的拋物線開口相反，頂點關(guān)于旋轉(zhuǎn)點對稱． 3．(1)(2017·紹興)矩形AB

15、CD的兩條對稱軸為坐標(biāo)軸，點A的坐標(biāo)為(2，1)．一張透明紙上畫有一個點和一條拋物線，平移透明紙，使這個點與點A重合，此時拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2，再次平移透明紙，使這個點與點C重合，則該拋物線的函數(shù)表達(dá)式變?yōu)?　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14 C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3 (2)(2017·鹽城)如圖，將函數(shù)y＝(x－2)2＋1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點A(1，m)，B(4

16、，n)平移后的對應(yīng)點分別為點A′、B′.若曲線段AB掃過的面積為9(圖中的陰影部分)，則新圖象的函數(shù)表達(dá)式是(　　) A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－2)2＋7 C．y＝(x－2)2－5 D．y＝(x－2)2＋4 類型四　二次函數(shù)的綜合問題 　如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋c與x軸交于A，B兩點，它們的對稱軸與x軸交于點N，過頂點M作ME⊥y軸于點E，連結(jié)BE交MN于點F. 已知點A的坐標(biāo)為(－1，0)． (1)求該拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)； (2)求△EMF與△BNF的面積之比． 【解后感悟

17、】拋物線與x軸的交點問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法的應(yīng)用；曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；相似三角形的判定和性質(zhì)． 4． (1)(2016·長春)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C的坐標(biāo)為(4，3)，D是拋物線y＝－x2＋6x上一點，且在x軸上方，則△BCD面積的最大值為____________________． (2) (2015·湖州)如圖，已知拋物線C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都經(jīng)過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一個交點分別為M、N，如果點A與點B，點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱，則拋物線C1和C

18、2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是 和 　　　　　　　　　. 類型五　二次函數(shù)的應(yīng)用 　(2017·杭州模擬)九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，得到某種運(yùn)動服每月的銷量與售價的相關(guān)信息如下表： 售價(元/件) 100 110 120 130 … 月銷量(件) 200 180 160 140 … 已知該運(yùn)動服的進(jìn)價為每件60元，設(shè)售價為x元． (1)請用含x的式子表示： ①銷售該運(yùn)動服每件的利潤是________元；②月銷量是________件；(

19、直接填寫結(jié)果) (2) 設(shè)銷售該運(yùn)動服的月利潤為y元，那么售價為多少時，當(dāng)月的利潤最大，最大利潤是多少？ 【解后感悟】此題是二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題意，列出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵． 5．(2017·重慶模擬)我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm(鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同)，建立直角坐標(biāo)系如圖1所示(圖2是備用圖)，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2. (1)求C1和C2的解析式； (2)如果炒菜鍋里的水位高

20、度是1dm，求此時水面的直徑； (3)如果將一個底面直徑為3dm，高度為3dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由． 　　　　　 　　　 【探索研究題】 如圖，一段拋物線：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，記為C1，它與x軸交于點O，A1； 將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點A3；… 如此進(jìn)行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段拋物線C13上，則m＝________． 　　　　　　　　 【方法與對策】本題是數(shù)形規(guī)律探究能力．圖形類規(guī)律探索題，通常先把圖形型問題轉(zhuǎn)化

21、為數(shù)字型問題，再從數(shù)字的特點來尋找規(guī)律，解題關(guān)鍵從操作中前面幾個點的坐標(biāo)位置變化，猜想、歸納出一般變化規(guī)律．該題型是圖形變換和規(guī)律的探究題，是中考命題方向． 【配方漏括號】 用配方法求二次函數(shù)y＝x2－x＋圖象的頂點坐標(biāo)及對稱軸． 　　　　　　　　 參考答案 第15講　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【考點概要】 1．y＝ax2＋bx＋c　上　下　減小　增大　增大　減小 2.上　下　小　y　左　右　原點　正　負(fù)　唯一　兩個　沒有　>　<　3.y＝ax2＋bx＋c　y＝a(x－m)2＋k　y＝a(x－x1)(x

22、－x2)　4.x　橫　>　< 【考題體驗】 1．B　2.B　3.A　4.y＝(x－2)2＋3　5.2 【知識引擎】 【解析】(1)對稱軸是直線x＝1等；(2)當(dāng)x＝1時，y的最小值為－4等． 【例題精析】 例1　(1)y＝2(x＋1)2－8；(2)y＝－x2＋2x＋2；(3)y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2　例2　(1)①③④⑤⑥⑦；(2)①③④⑤　例3　(1)y＝2x2＋1；(2)y＝－2(x＋4)2＋1；(3)y＝－2(x－4)2－1　例4　(1)∵點A在拋物線y＝－x2＋2x＋c上，∴－(－1)2＋2·(－1)＋c＝0，解得：c＝3，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3

23、.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的頂點M(1，4)；(2)∵A(－1，0)，拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴點B(3，0)．∴EM＝1，BN＝2.∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF.∴＝＝＝. 例5　(1)①(x－60)；②(－2x＋400)　(2)依題意可得：y＝(x－60)×(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝－2(x－130)2＋9800，當(dāng)x＝130時，y有最大值9800.所以售價為每件130元時，當(dāng)月的利潤最大為9800元． 【變式拓展】 1．(1)y＝－x2＋2x＋3　(2)y＝x2＋x－ 2．(1)①④⑤　(2)①根據(jù)題意可得函數(shù)圖象為

24、： ②圖象都經(jīng)過點(1，0)和點(－1，4)；圖象總交x軸于點(1，0)；k取0和2時的函數(shù)圖象關(guān)于點(0，2)成中心對稱；③平移后的函數(shù)y3的表達(dá)式為：y3＝(x＋3)2－2，∴當(dāng)x＝－3時，函數(shù)y3的最小值為－2.　 3. (1)A　(2)D　 4. (1)15　(2)y＝－x2＋2x　y＝x2＋2x　 5.(1)由于拋物線C1、C2都過點A(－3，0)、B(3，0)，可設(shè)它們的解析式為：y＝a(x－3)(x＋3)；拋物線C1還經(jīng)過D(0，－3)，則有：－3＝a(0－3)(0＋3)，解得：a＝，即：拋物線C1：y＝x2－3(－3≤x≤3)；拋物線C2還經(jīng)過C(0，1)，則有：1

25、＝a(0－3)(0＋3)，解得：a＝－，即：拋物線C2：y＝－x2＋1(－3≤x≤3)．(2)當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為1dm時，y＝－2，即x2－3＝－2，解得：x＝±，∴此時水面的直徑為2dm.　(3)鍋蓋能正常蓋上，理由如下：當(dāng)x＝時，拋物線C1：y＝×－3＝－，拋物線C2：y＝－×＋1＝，而－＝3，∴鍋蓋能正常蓋上． 【熱點題型】 【分析與解】C1：y＝－x(x－3)(0≤x≤3) C2：y＝(x－3)(x－6)(3≤x≤6) C3：y＝－(x－6)(x－9)(6≤x≤9) C4：y＝(x－9)(x－12)(9≤x≤12) … C13：y＝－(x－36)(x－39)(36≤x≤39)，當(dāng)x＝37時，y＝2，所以，m＝2. 【錯誤警示】 y＝x2－x＋＝(x2－4x＋3)＝[(x－2)2－1]＝(x－2)2－，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(2，－)，對稱軸是直線x＝2. 13