浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖象 第12講 函數(shù)概念與平面直角坐標(biāo)系講解篇

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1、 第12講　函數(shù)概念與平面直角坐標(biāo)系 1．平面直角坐標(biāo)系 考試內(nèi)容 考試 要求 定義 平面內(nèi)，兩條互相 、原點 的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系．坐標(biāo)平面內(nèi)的點與 實數(shù)對一一對應(yīng)． b 坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特征 第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ． c 坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征 x軸負(fù)半軸 ；x軸正半軸 ；y軸負(fù)半軸 ；y軸正半軸 ；原點 ．

2、象限角平分線上點的坐標(biāo)特征 一、三象限角平分線上的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)____________________； 二、四象限角平分線上的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo) ． 注意點 坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限． 2.點到坐標(biāo)軸以及原點的距離 考試內(nèi)容 考試 要求 到x軸的距離 點P(a，b)到x軸的距離為____________________. c 到y(tǒng)軸的距離 點P(a，b)到y(tǒng)軸的距離為 ． 到原點的距離 點P(a，b)到原點的距離為 ． 3.平移與對稱點的坐標(biāo)

3、 考試內(nèi)容 考試 要求 點的平移 將點P(x，y)向右(或向左)平移a個單位，得對應(yīng)點坐標(biāo)為____________________； 將點P(x，y)向上(或向下)平移b個單位，得對應(yīng)點坐標(biāo)為 ． c 關(guān)于坐標(biāo)軸對稱 點P(x，y)關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)為____________________； 點P(x，y)關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為 ． 關(guān)于原點對稱 點P(x，y)關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)為 ． 4.函數(shù)的有關(guān)概念 考試內(nèi)容 考試 要求 自變量與函數(shù) 一般

4、地，在某個變化過程中，如果有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有 的值與之對應(yīng)，那么y是x的函數(shù)，其中x是自變量． b c 函數(shù)的表示方法 列表法、圖象法、解析法． 函數(shù)自變量的取值范圍 ①函數(shù)解析式是整式，自變量取值是____________________； ②函數(shù)解析式是分式，自變量取值使得____________________； ③函數(shù)解析式是偶次根式，自變量要使得____________________為非負(fù)數(shù)； ④來源于實際問題的函數(shù)，自變量要使得實際問題有意義、式子有意義． 函數(shù)的圖象 一般地，對于一個函數(shù)，如果把

5、自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作____________________坐標(biāo)、____________________坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖象，就是這個函數(shù)的圖象． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 數(shù)形結(jié)合，為分析問題和解決問題創(chuàng)造了直觀形象的有利條件，如用函數(shù)圖象解答相關(guān)問題是典型的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． c 基本 方法 平行于x軸的直線上的點的縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的點的橫坐標(biāo)相等． 1．(2015·金華)點P(4，3)所在的象限是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第

6、一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2017·湖州)在平面直角坐標(biāo)系中，點P(1，2)關(guān)于原點的對稱點P′的坐標(biāo)是(　　) A．(1，2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－1，－2) 3．(2017·紹興)均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示(圖中OABC為折線)，這個容器的形狀可以是(　　) 4．(2015·臺州)如圖，這是臺州市地圖的一部分，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立直

7、角坐標(biāo)系，規(guī)定一個單位長度表示1km，甲、乙兩人對著地圖如下描述路橋區(qū)A處的位置．則椒江區(qū)B處的坐標(biāo)是____________________． 【問題】點P(m，1－2m)是平面直角坐標(biāo)系上一點，回答下列問題： (1)若點P在第四象限，則m的取值范圍是________； (2)若點Q(3，4)，且PQ∥x軸，則m的值是________； (3)點P關(guān)于x軸的對稱點為M(－1，－3)，則m的值是________； (4)請你再提出幾個與點P有關(guān)的問題． 【歸納】通過開放式問題解答和聯(lián)想可以對本講知識作條理性的歸納和疏理． 類型一　建立坐標(biāo)系確定位置

8、關(guān)系 　(1)(2017·濰坊)小瑩和小博士下棋，小瑩執(zhí)白子，小博士執(zhí)黑子．如圖，棋盤中心黑子的位置用(－1，0)表示，右下角黑子的位置用(0，－1)表示．小瑩將第4枚白子放入棋盤后，所有棋子構(gòu)成一個軸對稱圖形．他放的位置是(　　)　 A．(－2，1) B．(－1，1) C．(1，－2) D．(－1，－2) (2)以下是甲、乙、丙三人看地圖時對四個地標(biāo)的描述： 甲：從學(xué)校向北直走500公尺，再向東直走100公尺可到圖書館． 乙：從學(xué)校向西直走300公尺，再向北直走200公尺可到郵局． 丙：郵局在火車站西方200公尺處． 根

9、據(jù)三人的描述，若從圖書館出發(fā)，判斷下列哪一種走法，其終點是火車站(　　) A．向南直走300公尺，再向西直走200公尺 B．向南直走300公尺，再向西直走600公尺 C．向南直走700公尺，再向西直走200公尺 D．向南直走700公尺，再向西直走600公尺 (3)某雷達(dá)探測目標(biāo)得到的結(jié)果如圖所示，若記圖中目標(biāo)A的位置為(3，30°)，目標(biāo)B的位置為(2，180°)，目標(biāo)C的位置為(4，240°)，則圖中目標(biāo)D的位置可記為________． 【解后感悟】(1)首先確定x軸、y軸的位置，然后根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷；(2)根據(jù)描述畫出示意圖是解題的關(guān)鍵；(3)閱讀理解定義，結(jié)合圖形

10、直觀地解答． 1．(1)如圖為小杰使用手機(jī)內(nèi)的通訊軟件跟小智對話的記錄． 根據(jù)圖中兩人的對話記錄，若下列有一種走法能從郵局出發(fā)走到小杰家，則此走法為(　　) A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺 B．向北直走100公尺，再向東直走700公尺 C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺 D．向北直走400公尺，再向東直走300公尺 (2)如圖是紹興市行政區(qū)域圖，若上虞市區(qū)所在地用坐標(biāo)表示為(1，2)，諸暨市區(qū)所在地用坐標(biāo)表示為(－5，－2)，那么嵊州市區(qū)所在地用坐標(biāo)可表示為____________________． (3)如圖，在平面內(nèi)，兩條直線l1，l

11、2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1，l2的距離，則稱(p，q)為點M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述規(guī)定，“距離坐標(biāo)”是(2，1)的點共有____________________個． 類型二　平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征 　(1)(2017·寧波模擬)點P(a，a－3)在第四象限，則a的取值范圍是________． (2)(2017·蕭山模擬)已知點A是直線x＝2上的點，且到x軸的距離等于3，則點A的坐標(biāo)為________． (3)(2017·通川模擬)已知點P的坐標(biāo)(2－a，3a＋6)，且點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點P的坐標(biāo)是________． 【解后感悟】

12、(1)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征是解題的關(guān)鍵；(2)點到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的絕對值，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的絕對值是解題的關(guān)鍵；(3)點到兩坐標(biāo)軸的距離相等，即到坐標(biāo)軸形成的角的兩邊距離相等，這個點一定在各象限的角平分線上. 2．(1)(2017·威海模擬)若點A(a＋1，b－2)在第二象限，則點B(－a，b＋1)在第____________________象限． (2)(2017·溫州模擬)已知點P在第二象限，且P到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為4，則P點的坐標(biāo)為____________________． (3)(2017·臺州模擬)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點P(1，1)為圓心、為半徑

13、作圓，則該圓與y軸的交點坐標(biāo)是____________________． (4)(2017·宜賓模擬)如果點P(x，y)的坐標(biāo)滿足x＋y＝xy，那么稱點P為和諧點．請寫出一個和諧點的坐標(biāo)：____________________. 類型三　點的對稱和平移 　(1)在平面直角坐標(biāo)系中，點P(3，－2)關(guān)于x軸的對稱點是________，關(guān)于y軸的對稱點是________，關(guān)于原點的對稱點是________，將點P先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，則平移后點P的坐標(biāo)為________． (2)點P(4，5)關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標(biāo)是________，關(guān)于直線y＝－2的對稱點的坐標(biāo)

14、是________． 【解后感悟】(1)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)；關(guān)于平移，根據(jù)“橫坐標(biāo)，左－，右＋，縱坐標(biāo)，上＋，下－”的原則進(jìn)行對坐標(biāo)的變化；(2)點的對稱和平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵，關(guān)于直線x＝a的對稱點的坐標(biāo)用畫圖方法解決． 3．(1)(2017·蕭山模擬)點(a－2，b＋2)經(jīng)過平移變換得到點(a，b)，則這個平移變換是(　　) A．先向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度 B．先向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度 C．先向右平移2個單位長度，

15、再向下平移2個單位長度 D．先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度 (2)(2017·上海模擬)已知點P(3，2)，則點P關(guān)于y軸的對稱點P1的坐標(biāo)是____________________，點P關(guān)于原點O的對稱點P2的坐標(biāo)是____________________． (3)(2017·南京模擬)將點A(3，2)沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，點A′關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是____________________． 類型四　確定自變量的取值范圍及函數(shù)圖象 　(1)(2016·南寧)下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是(　　) 【解后感悟】注意函數(shù)的意義反映在圖象上簡單

16、的判斷方法是：作垂直x軸的直線在左右平移的過程中與函數(shù)圖象只會有一個交點． (2)(2015·內(nèi)江)函數(shù)y＝＋中自變量x的取值范圍是(　　) A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1 【解后感悟】本題是函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮： (1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)； (2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0； (3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)． 　(2015·臺州)圖1中的摩天輪可抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度y(m)與旋轉(zhuǎn)時間x(min)之間的關(guān)系如

17、圖2所示． (1)根據(jù)圖2填表： x(min) 0 3 6 8 12 … y(m) … (2)變量y是x的函數(shù)嗎？為什么？ (3)根據(jù)圖中的信息，請寫出摩天輪的直徑． 　　　　　　　　 【解后感悟】此類題主要是函數(shù)圖象的讀圖能力和函數(shù)與實際問題結(jié)合的應(yīng)用．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論．而本題是函數(shù)圖象的動點問題，解決函數(shù)圖象的動點問題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢． 4． (1)(2015·呼和浩特)如果兩個變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)值

18、y的取值范圍是(　　) A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 (2)(2015·荊門)在一次800米的長跑比賽中，甲、乙兩人所跑的路程s(米)與各自所用時間t(秒)之間的函數(shù)圖象分別為線段OA和折線OBCD，則下列說法正確的是(　　) A．甲的速度隨時間的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第180秒時，兩人相遇 D．在起跑后第50秒時，乙在甲的前面 類型五　求點的坐標(biāo)問題 　(1)已知點A(4，－3)，B(x，－3)，若AB∥x軸，且線段AB的長為5，x＝________. (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A

19、(2，0)，B(0，4)，作△BOC，使△BOC與△ABO全等，則點C坐標(biāo)為________________． (3)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(－，0)，B(，0)，點C在坐標(biāo)軸上，且AC＋BC＝6，寫出滿足條件的所有點C的坐標(biāo)______． 【解后感悟】(1)平行于x軸得出縱坐標(biāo)相等是關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀，要注意全面考慮到各種情況；(2)解題的關(guān)鍵在于根據(jù)點C的位置分情況討論全等三角形；(3)解題時，要分類討論，以防漏解． 5．(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(2，3)，在坐標(biāo)軸上找一點P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有_______________

20、_____個． (2)(2017·杭州模擬)已知點P在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0，1)，O為坐標(biāo)原點，∠QPO＝150°，且P到Q的距離為2，則Q的坐標(biāo)為____________________． 【探索規(guī)律題】 (2015·河南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3，…組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動，速度為每秒個單位長度，則第2015秒時，點P的坐標(biāo)是(　　) A．(2014，0) B．(2015，－1) C．(2015，1) D．(2016，0) 【方法與對策】本題是坐標(biāo)

21、位置確定，根據(jù)題目信息探究點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，并理解每4秒為一個循環(huán)組依次循環(huán)，這是解題的關(guān)鍵．這類探索規(guī)律題是中考的熱點題． 【求實際問題時忽視自變量的范圍】 【問題】矩形的周長是8 cm，設(shè)一邊長為x(cm)，另一邊長為y(cm)． (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)作出函數(shù)的圖象． 參考答案 第12講　函數(shù)概念與平面直角坐標(biāo)系 【考點概要】 1．垂直　重合　有序　(＋，＋)　(－，＋)　(－，－)　(＋，－)　(－，0)　(＋，0)　(0，－)　(0，＋)　(0，0) 相等　互為相反數(shù)　2.|b|　|a|　　3.(x＋

22、a，y)[或(x－a，y)]　(x，y＋b)[或(x，y－b)]　(x，－y)　(－x，y)　(－x，－y)　4.唯一確定　全體實數(shù) 分母不等于0　被開方數(shù)　點的橫　縱 【考題體驗】 1．A　2.D　3.D　4.(10，8) 【知識引擎】 【解析】(1)m＞；　(2)－1.5；　(3)－1；　(4)如：點P到x軸的距離是2，則m的值是________．(－或) 【例題精析】 例1　(1)B；(2)A；(3)(5，120°)．　例2　(1)∵點P(a，a－3)在第四象限，∴得0＜a＜3.故答案為0＜a＜3；　(2)∵點A是直線x＝2上的點，且到x軸的距離等于3，∴點A的橫坐標(biāo)為2，

23、縱坐標(biāo)為±3，∴點A的坐標(biāo)為(2，3)或(2，－3)．故答案為(2，3)或(2，－3)；　(3)∵點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等就是橫縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，∴有以下兩種情況：①橫縱坐標(biāo)相等時，即當(dāng)2－a＝3a＋6時，解得a＝－1，∴點P的坐標(biāo)是(3，3)；②橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)時，即當(dāng)(2－a)＋(3a＋6)＝0時，解得a＝－4，∴點P的坐標(biāo)是(6，－6)．故答案為(3，3)或(6，－6)．　例3　(1)(3，2)，(－3，－2)，(－3，2)，(6，－4)；(2)(－2，5)，(4，－9)．　例4　(1)根據(jù)函數(shù)的意義可知：對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng)，故D正確．故選D.　(2)

24、2－x≥0且x－1≠0，解得：x≤2且x≠1，故選B.　例5　(1)表格中分別填寫：5，70，5，54，5.　(2)變量y是x的函數(shù)．理由：因為在這個變化過程中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，所以變量y是x的函數(shù)．　(3)摩天輪的直徑是70－5＝65m.　例6　 (1)－1或9；(2)如圖，點C在x軸負(fù)半軸上時，∵△BOC與△ABO全等，∴OC＝OA＝2，∴點C(－2，0)；點C在第一象限時，∵△BOC與△ABO全等，∴BC＝OA＝2，OB＝BO＝4，∴點C(2，4)；點C在第二象限時，∵△BOC與△ABO全等，∴BC＝OA＝2，OB＝BO＝4，∴點C(－2，4)；

25、綜上所述，點C的坐標(biāo)為(－2，0)或(2，4)或(－2，4)．故答案為：(－2，0)或(2，4)或(－2，4)； (3)如圖，①當(dāng)點C位于y軸上時，設(shè)C(0，b)．則＋＝6，解得b＝2或b＝－2，此時C3(0，2)或C4(0，－2)．如圖，②當(dāng)點C位于x軸上時，設(shè)C(a，0)．則|－－a|＋|a－|＝6，即2a＝6或－2a＝6，解得a＝3或a＝－3，此時C1(－3，0)或C2(3，0)．綜上所述，點C的坐標(biāo)是：(0，2)，(0，－2)，(－3，0)，(3，0)．故答案是：(0，2)，(0，－2)，(－3，0)，(3，0)． 【變式拓展】 1．(1)A　(2)(0，－3)　(3)4　2

26、.(1)一　(2)(－4，3) (3)(0，3)，(0，－1)　(4)(2，2)　3.(1)C　(2)(－3，2) (－3，－2)　(3)(1，2)　4.(1)D　(2)D　5.(1)8 (2)(1，1＋)或(－1，1＋) 【熱點題型】 【分析與解】由題意得半圓周的周長是π，四分之一圓周是π，因為半徑為1，根據(jù)P點的速度得：1秒時P點坐標(biāo)是(1，1)；2秒時P點坐標(biāo)是(2，0)；3秒時P點坐標(biāo)是(3，－1)；4秒時P點坐標(biāo)是(4，0)；5秒時P點坐標(biāo)是(5，1)…，當(dāng)秒數(shù)為偶數(shù)時，P點落在x軸上，P點橫坐標(biāo)和秒數(shù)相同，縱坐標(biāo)是0，所以排除A，D；P點落在第一象限的秒數(shù)是1，5，9，13…，第n個點的規(guī)律是4n－3；P點落在第四象限的秒數(shù)是3，7，11，15…第n個點的規(guī)律是4n－1；當(dāng)4n－3＝2015時，n不是整數(shù)值，4n－1＝2015時，n是整數(shù)值，故第2015秒落在第四象限，∴P(2015，－1)，故選B. 【錯誤警示】 (1)由題意，得2(x＋y)＝8，則y＝4－x，據(jù)實際情況，x，y表示矩形的邊長，則即解得故自變量x的取值范圍為0