清華微積分高等數(shù)學(xué) 定積分二

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1清華微積分高等數(shù)學(xué)清華微積分高等數(shù)學(xué) 定積分二定積分二2022-5-82第十七講第十七講 定積分定積分（二）（二） 二、牛頓二、牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式一、變上限定積一、變上限定積分分三、定積分的換元積分法三、定積分的換元積分法四、定積分的分部積分法四、定積分的分部積分法第1頁/共35頁2022-5-83.,)(,)(上上也也可可積積在在則則上上可可積積在在若若xaxfbaxbaxf 上限變量上限變量積分變量積分變量的的函函數(shù)數(shù)是是上上限限 x xadttf)( )(xF記記作作)(bxa )(xF或或 xadxxf)()(bxa 一、變上限定積分一、變上限定積分第2頁/共3

2、5頁2022-5-84定理定理：,)()(,)(,)()2(; ,)(,)()1(baxxfxFbaDxFbaCxfbaCxFbaRxf 且且則則若若則則若若)()(xfdxxfdxdxa 走走過過路路程程在在時(shí)時(shí)刻刻開開始始作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)從從時(shí)時(shí)刻刻質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)以以速速度度tatv,)( tadvts )()(連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)就就有有當(dāng)當(dāng))(tv)()()(tvdvdtdtsta 注意注意 連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù) ！路程函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)路程函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)第3頁/共35頁2022-5-85證證 (1)用連續(xù)定義證明用連續(xù)定義證明,baxxbax 任任取取 xa

3、xxadttfdttfxFxxF)()()()( axxxadttfdttf)()( xxxdttf )(,)(, 0,baxMxfMbaRf xxxxxxdttfdttfxFxxF )()()()(0 xM )0(0 x 第4頁/共35頁2022-5-86xxFxxFxFx )()(lim)(),1(0 有有由由 xxxxdttfx )(1lim0證證 (2)用導(dǎo)數(shù)定義證明用導(dǎo)數(shù)定義證明,baxxbax 任任取取利利用用積積分分中中值值定定理理得得到到,)(baCxf )(lim)(1lim)(00 fdttfxxFxxxxx )(xf xxxxx 0之之間間與與介介于于第5頁/共35頁20

4、22-5-87 211)2(;)1(1xtxtdtedxddtedxd求求例例所所以以有有是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)因因?yàn)闉?xexxtedtedxd 1)1( 21)2(xtdtedxd222xuxexe dxdudtedudut 1解解2xu 令令第6頁/共35頁2022-5-88 232xxtdtedxd求求例例 232311xtxtxxtdtedtedte32)3(22xxexxe 322311xtxtxxtdtedxddtedxddtedxd32232xxexxe 3211xtxtdtedte解解第7頁/共35頁2022-5-89.),(0sin30202dxdyxyydttdtexyt求

5、求能能確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)由由方方程程例例 得得到到求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì),x0sin22 xdxdyey得得解解出出,dxdy2sin2xedxdyy 解解注意注意 變上限定積分給出一種表示函數(shù)的方變上限定積分給出一種表示函數(shù)的方 法，對(duì)這種函數(shù)也可以討論各種性態(tài)。法，對(duì)這種函數(shù)也可以討論各種性態(tài)。第8頁/共35頁2022-5-810.,),(cos,sin42200dxyddxdyxyydydxtt求求確確定定函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)參參數(shù)數(shù)方方程程例例 )()(txtydxdy )()(22txdxydtdxdytttcotsincos tttsin)cot(t3sin1解解第9頁/共35

6、頁2022-5-81125020)cos1(lim5xdttxx 求求極極限限例例利利用用洛洛比比達(dá)達(dá)法法則則”“,00232525210020)cos1 (lim)cos1 (limxxxdttxxxx 205)cos1(limxxx 1015lim22210 xxx解解第10頁/共35頁2022-5-812恒恒有有具具有有什什麼麼性性質(zhì)質(zhì)的的函函數(shù)數(shù)試試問問例例,:6f),()()(baxCdttfdxxfxa ),()()(,baxCdttfdxxfbaCfxa 則有則有若若第11頁/共35頁2022-5-813思考題：思考題： 1.有原函數(shù)的函數(shù)是否一定連續(xù)？有原函數(shù)的函數(shù)是否一定連續(xù)

7、？ 2.有原函數(shù)的函數(shù)是否一定黎曼可積有原函數(shù)的函數(shù)是否一定黎曼可積？ 3.黎曼可積的函數(shù)是否一定存在原函黎曼可積的函數(shù)是否一定存在原函 數(shù)？數(shù)？第12頁/共35頁2022-5-814則則有有上上的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在是是設(shè)設(shè),)()(,)(baxfxFbaCxf babaxFaFbFdxxf)()()()( 二、牛頓二、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式定理定理2：定定積積分分變變上上限限知知故故由由定定理理因因?yàn)闉?1,)(baCxf 證證 xadttfxG)()(. 0)(,)( aGbaxf且且上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在是是)1()()()()(aGbGdttfbGba

8、第13頁/共35頁2022-5-815CxGxF )()(故故有有一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)上上的的任任意意在在是是又又已已知知,)()(baxfxF)()()()(,aFbFaGbG 于于是是有有)()()(aFbFdxxfba 便便得得到到式式代代入入,(1)第14頁/共35頁2022-5-816dxx 10111計(jì)計(jì)算算例例|1010)1ln(11xdxx 2ln1ln2ln 解解 牛頓牛頓萊布尼茲公式將定積分的萊布尼茲公式將定積分的計(jì)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的一個(gè)原函算問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)的問題數(shù)的問題.第15頁/共35頁2022-5-817dxx 0sin12計(jì)計(jì)算算例例dxd

9、xxxx 0220cossin21sin1dxxx 0222)cos(sindxxx 02cos2sindxxxdxxx 22)2cos2(sin)2sin2(cos0|22)2sin22cos2()2cos22sin2(0 xxxx ) 12( 4 解解第16頁/共35頁2022-5-818的的大大小小。與與試試比比較較設(shè)設(shè)21202201,)cos(sin,)sin(sinIIdxxIdxxI 例例33 解解 利用估值定理利用估值定理,sin,2,0 xxx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,2,0時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) x),cos(sincos,sin)sinsin(xxxx 因因而而有有,cos,sin xx第

10、17頁/共35頁2022-5-8191,cossin)sin(sin202020 xxdxdxx1,sincos)cos(sin202020 xxdxdxx 2020)cos(sin)sin(sin dxxdxx所以所以即即21II 因因此此第18頁/共35頁2022-5-820 dtttfdxxfbabtaCttxbaCxfba)()()(,)(,)()3(;)()2(; ,)()1(),(,)(1則則有有滿滿足足三三個(gè)個(gè)條條件件：作作變變換換設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)三、定積分的換元積分法三、定積分的換元積分法定理定理1: (1: (定積分的換元積分法定積分的換元積分法) )第19頁/共35頁2022-

11、5-821txoab )(tx txoab )(tx 證證 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是設(shè)設(shè))()(xfxF)()()()()()()(ttftxftxFdttdF )()()()( FFdtttf badxxfaFbF)()()(第20頁/共35頁2022-5-822)0(1022 adxxaa求求定定積積分分例例)20(sin ttax令令2,; 0,0 taxtx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)dttadxtaxacoscos22 dttadxxaa202022cos2 4)2sin21(2)2cos1(220202|22attadtta 解解 于是由換元公式于是由換元公式第21頁/共35頁2022

12、-5-823dxex 2ln012求求定定積積分分例例tex 1令令) 1ln(2 tx即即dtttdxex 10222ln012122)arctan( 2)111 (2|10102 ttdtt 解解 于是由換元公式得于是由換元公式得第22頁/共35頁2022-5-824有有為為偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則上上連連續(xù)續(xù)在在對(duì)對(duì)稱稱區(qū)區(qū)間間若若例例,)()1(,)(3xfaaxf aaadxxfdxxf0)(2)(0)( aadxxf有有為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()2(xf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(為為偶偶函函數(shù)數(shù)知知又又由由作作變變換換對(duì)對(duì)于于右右端端第第一一項(xiàng)項(xiàng))(:

13、,xftx 證證(1)(1)()()(tftfxf 第23頁/共35頁2022-5-825 000)()()(aaadttfdttfdxxf為什麼為什麼? ? adxxf0)(定積分與積分變量定積分與積分變量 所用字母無關(guān)！所用字母無關(guān)！ aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( aaadxxfdxxfdxxf000)(2)()(0 2121221arcsindxxxx例如例如: :從從而而由由換換元元公公式式第24頁/共35頁2022-5-826例例 33291)3(dxxx計(jì)計(jì)算算 222sin1cossin dxxxx計(jì)計(jì)算算2 33291)3(dxxx例例解解解解 332913

14、dxx 3329dxx 202sin1cos2 dxxx 222sin1cossin dxxxx29 第25頁/共35頁2022-5-827可可以以證證明明：利利用用定定積積分分的的換換元元法法 , TTaadxxfdxxfaTxf0)()(,)(有有則則對(duì)對(duì)任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)是是一一個(gè)個(gè)以以若若 202202sin4sin xdxxdx)()()(00為為正正整整數(shù)數(shù)ndxxfndxxfTnT 第26頁/共35頁2022-5-828分分部部積積分分公公式式則則有有有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)上上在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(),(,)(),(xvxuba

15、xvxu bababadxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(|四、定積分的分部積分法四、定積分的分部積分法定理定理2: (2: (定積分的分部積分法定積分的分部積分法) )第27頁/共35頁2022-5-829)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 得得公公式式利利用用是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)從從而而左左端端函函數(shù)數(shù)由由條條件件上上式式右右端端是是連連續(xù)續(xù),. )()(,LNxvxu |)()( )()(babaxvxudxxvxu bababadxxvxudxxvxudxxvxuxvxu)()()()()()()()(而而右右端端的的積積分分為為 證證 利用牛頓利用

16、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式第28頁/共35頁2022-5-830|)()()()()()(bababaxvxudxxvxudxxvxu 于于是是得得到到 bababadxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(| )()()()()()(| bababaxudxvxvxuxvdxu成成分分部部積積分分公公式式也也可可以以寫寫注注意意即即第29頁/共35頁2022-5-831 411lnln41dxxxdxxx原原式式 441ln1dxxx計(jì)計(jì)算算例例)2ln2(114141| dxxxxx|41141)4ln2()4ln2(xxxxxx 22ln6 )2ln2(4141| dxx

17、xxx 解解 第30頁/共35頁2022-5-832dxxxn 102)1(2計(jì)計(jì)算算例例dxxxnxxndxxxnnn 1011021102)1 (12)1 (11)1 (|dxxnnxxnnnn 102102)1()2)(1(2)1()2)(1(2| 解解 )3)(2)(1(2)1 ()3)(2)(1(2|103 nnnxnnnn第31頁/共35頁2022-5-833)(sin320NndxxInn 計(jì)計(jì)算算：例例21200 dxI1cossin|20201 xdxxI 解解 201)cos(sin xxdInndxxxnn 2022cossin)1( 201201)(sin)cos(si

18、n)cos(| xdxxxnndxxxnn 2022)sin1(sin)1( nnnInInI)1()1(2 第32頁/共35頁2022-5-834得得到到時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),2kn 2! ! )2(! ! ) 12(sin2022 kkdxxIkk)2(12 nInnInn得得到到時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),12 kn1! ! ) 12(! ! )22(sin201212 kkdxxIkk 第33頁/共35頁2022-5-835例例如如： 3252246135sin206 dxx35161357246sin207 dxx )(sincos2020Nndxxdxxnn 可可以以證證明明dxx 4082cos tx 2令令dtt 208cos21 153610522468135721 第34頁/共35頁