浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第38講 閱讀理解型問題講解篇

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1、 第38講　閱讀理解型問題 內(nèi)容 特性 閱讀理解型問題是指通過閱讀材料，理解材料中所提供的新方法或新知識，并靈活運用這些新方法或新知識，去分析、解決類似或相關(guān)的問題. 解題 策略 解決閱讀理解問題的基本思路是“閱讀→分析→理解→解決問題”，具體做法： ①認(rèn)真閱讀材料，把握題意，注意一些數(shù)據(jù)、關(guān)鍵名詞； ②全面分析，理解材料所蘊含的基本概念、原理、思想和方法，提取有價值的數(shù)學(xué)信息； ③對有關(guān)信息進行歸納、整合，并且和方程、不等式、函數(shù)或幾何等數(shù)學(xué)模型結(jié)合來解答. 基本 思想 方程思想，類比思想，化歸思想；分析法，比較法等．這是解決閱讀理解題常用的數(shù)學(xué)思想

2、方法. 類型一　應(yīng)用型：閱讀－理解－建模－應(yīng)用 　(2015·湖州)如圖，已知拋物線C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都經(jīng)過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一個交點分別為M、N，如果點A與點B，點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱，則拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是__________和__________． 【解后感悟】此題通過閱讀二次函數(shù)的圖象與幾何變換，用到的知識點是姐妹拋物線的定義、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定，理解構(gòu)建根據(jù)姐妹拋物線的定義得出姐妹拋

3、物線的二次項的系數(shù)，一次項系數(shù)、常數(shù)項之間的關(guān)系，利用矩形知識對定義的應(yīng)用． 1．(2015·孝感)我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AB＝CB，AD＝CD.對角線AC，BD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn).求證OE＝OF. 類型二　猜想型：閱讀－理解－歸納－驗證 　(2015·衢州)小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題： 定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2＋b1x＋c1(a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù))與y＝a2x2＋b2x＋c2(a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù))滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c

4、2＝0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 求函數(shù)y＝－x2＋3x－2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 小明是這樣思考的：由函數(shù)y＝－x2＋3x－2可知，a1＝－1，b1＝3，c1＝－2，根據(jù)a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 請參考小明的方法解決下面問題： (1)寫出函數(shù)y＝－x2＋3x－2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”； (2)若函數(shù)y＝－x2＋mx－2與y＝x2－2nx＋n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求(m＋n)2015的值； (3)已知函數(shù)y＝－(x＋1)(x－4)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1，B1，

5、C1，試證明經(jīng)過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝－(x＋1)(x－4)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 　　　　　　　　 　　　 　　 　　　 【解后感悟】在仔細(xì)閱讀后，正確理解新定義，理解其中的內(nèi)容、方法和思想，閱讀特殊范例，歸納驗證一般結(jié)論． 2．(2015·株洲)P表示n邊形的對角線的交點個數(shù)(指落在其內(nèi)部的交點)，如果這些交點都不重合，那么P與n的關(guān)系式是： P＝·(n2－an＋b)(其中，a，b是常數(shù)，n≥4) (1)填空：通過畫圖可得：四邊形時，P＝____________________(填數(shù)字)，五邊形時，P＝____________________(填數(shù)字)；

6、 (2)請根據(jù)四邊形和五邊形對角線交點的個數(shù)，結(jié)合關(guān)系式，求a，b的值． (注：本題的多邊形均指凸多邊形) 　　　　　　　　 類型三　概括型：閱讀－理解－概括－拓展 　(2016·臺州)定義：有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形． (1)三等角四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，求∠A的取值范圍； (2)如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點E，F(xiàn)分別落在邊BE，BF上的點A，C處，折痕分別為DG，DH.求證：四邊形ABCD是三等角四邊形； (3)三等角四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若CB＝CD＝4，則當(dāng)AD的長為何值時，AB的長最大，其最大值是

7、多少？并求此時對角線AC的長． 【解后感悟】本題要對新定義閱讀和理解，通過前面問題的解答積累經(jīng)驗，再概括、拓展解決新問題，要注意分類討論．解題時關(guān)鍵要領(lǐng)會題中所體現(xiàn)的解題方法，運用已有知識深刻理解解題方法的內(nèi)涵，予以拓展、應(yīng)用，解決所提問題． 3．(2017·紹興)定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形． (1)如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°， ①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求對角線BD的長； ②若AC⊥BD，求證：AD＝CD； (2)如圖2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，點P是對角線BD上

8、一點，且BP＝2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長． 　　　　　　　　 類型四　探究型：閱讀－理解－嘗試－探究 　(2015·紹興)如果拋物線y＝ax2＋bx＋c過定點M(1，1)，則稱此拋物線為定點拋物線． (1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案：y＝2x2＋3x－4，請你寫出一個不同于小敏的答案； (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y＝－x2＋2bx＋c＋1，求該拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小時的解析式，請你解答． 　　　　　　

9、　　 　　　　　　　　 【解后感悟】此題是二次函數(shù)的知識基礎(chǔ)上的新定義題，題目較新穎，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題意所給的信息，嘗試、探究新問題：拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小時的解析式，即要構(gòu)建一個函數(shù)，頂點縱坐標(biāo)為y＝(b－1)2＋1來解決問題． 4．(2015·自貢)觀察下表 序號 1 2 3 圖形 我們把某格中字母和所得的多項式稱為特征多項式，例如第1格的“特征多項式”為4x＋y，回答下列問題： (1)第3格的“特征多項式”為____________________，第4格的“特征多項式”為____________________，第n格的

10、“特征多項式”為____________________； (2)若第1格的“特征多項式”的值為－10，第2格的“特征多項式”的值為－16， ①求x，y的值； ②在此條件下，第n格的特征多項式是否有最小值？若有，求出最小值和相應(yīng)的n值，若沒有，說明理由． 　　　　　　　　 【閱讀理解題】 已知坐標(biāo)平面上的線段AB及點P，任取AB上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段AB的距離，記作d(P→AB)． (1)如圖所示，已知長度為2個單位的線段MN在x軸上，M點的坐標(biāo)為(1，0)，求點P(1，1)到線段MN的距離d(P→MN)； (2)已知坐標(biāo)平面上點G到線段DE：

11、y＝x(0≤x≤3)的距離d(G→DE)＝，且點G的橫坐標(biāo)為1，試求點G的縱坐標(biāo)． 【方法與對策】此題屬于一次函數(shù)的綜合題，運用了點到直線的距離、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．重視這種題型，該題型通過定義，使學(xué)生了解概念，再通過第(1)題解答，有更深入的感受來解答第(2)題．這是中考命題方向． 【對材料的理解不正確，而造成解題錯誤】 閱讀下列材料，然后解答下面的問題： 我們知道方程2x＋3y＝12有無數(shù)組解，但在實際生活中，我們往往只需要求出其正整數(shù)解，例：由2x＋3y＝12，得y＝＝4－

12、x(x、y為正整數(shù))，而則有0

13、精析】 例1　連結(jié)AB，根據(jù)姐妹拋物線的定義，可得姐妹拋物線的二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項系數(shù)相等且不等于零，常數(shù)項都是零，設(shè)拋物線C1的解析式為y＝ax2＋bx，根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得：OA＝OM，∵OA＝MA，∴△AOM是等邊三角形，設(shè)OM＝2，則點A的坐標(biāo)是(1，)，則解得：則拋物線C1的解析式為y＝－x2＋2x，拋物線C2的解析式為y＝x2＋2x，故答案為：y＝－x2＋2x；y＝x2＋2x(答案不唯一，只要符合條件即可)．　 例2　(1)∵a1＝－1，b1＝3，c1＝－2，∴－1＋a2＝0，b2＝3，－2＋c2＝0，∴a2＝1，b2＝3，c2＝2，∴函數(shù)y＝－x2＋3x

14、－2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝x2＋3x＋2；(2)根據(jù)題意得m＝－2n，－2＋n＝0，解得m＝－3，n＝2，∴(m＋n)2015＝(－3＋2)2015＝－1；(3)證明：當(dāng)x＝0時，y＝－(x＋1)(x－4)＝2，則C(0，2)，當(dāng)y＝0時，－(x＋1)(x－4)＝0，解得x1＝－1，x2＝4，則A(－1，0)，B(4，0)，∵點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，∴點A1(1，0)，B1(－4，0)，C1(0，－2)，設(shè)經(jīng)過點A1，B1、C1的二次函數(shù)解析式為y＝a2(x－1)(x＋4)，把C1(0，－2)代入得a2·(－1)·4＝－2，解得a2＝，∴經(jīng)過點A1，B1，C1的二次函

15、數(shù)解析式為y＝(x－1)(x＋4)＝x2＋x－2，而y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋x＋2，∴a1＋a2＝－＋＝0，b1＝b2＝，c1＋c2＝2－2＝0，∴經(jīng)過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝－(x＋1)(x－4)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．　 例3　(1)∵∠A＝∠B＝∠C，∴3∠A＋∠ADC＝360°，∴∠ADC＝360°－3∠A.∵0°＜∠ADC＜180°，∴0°＜360°－3∠A＜180°，∴60°＜∠A＜120°；(2)證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°.∵DE＝DA，DF＝DC，∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠DCF，∵∠DAE＋∠DAB＝18

16、0°，∠DCF＋∠DCB＝180°，∠E＋∠EBF＝180°，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABC，∴四邊形ABCD是三等角四邊形；(3)①當(dāng)60°＜∠A＜90°時，如圖1，過點D作DF∥AB，DE∥BC，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC＝∠B＝∠DEA，∴EB＝DF，DE＝FB，∵∠A＝∠B＝∠C，∠DFC＝∠B＝∠DEA，∴△DAE∽△DCF，AD＝DE，DC＝DF＝4，設(shè)AD＝x，AB＝y(tǒng)，∴AE＝y(tǒng)－4，CF＝4－x，∵△DAE∽△DCF，∴＝，∴＝，∴y＝－x2＋x＋4＝－(x－2)2＋5，∴當(dāng)x＝2時，y的最大值是5，即：當(dāng)AD＝2時，AB的最大值為5，②當(dāng)∠A＝90°時，三等角四

17、邊形是正方形，∴AD＝AB＝CD＝4，③當(dāng)90°＜∠A＜120°時，∠D為銳角，如圖2，∵AE＝4－AB＞0，∴AB＜4，綜上所述，當(dāng)AD＝2時，AB的長最大，最大值是5；此時，AE＝1，如圖3，過點C作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，∵DA＝DE，DN⊥AB，∴AN＝AE＝，∵∠DAN＝∠CBM，∠DNA＝∠CMB＝90°，∴△DAN∽△CBM，∴＝，∴BM＝1，∴AM＝4，CM＝＝，∴AC＝＝＝.　 例4　(1)答案不唯一，如y＝x2－2x＋2.(2)∵y＝－(x－b)2＋c＋b2＋1，∴該拋物線頂點坐標(biāo)為(b，c＋b2＋1)．又∵定點拋物線y＝－x2＋2bx＋c＋1過定點M(1，1)，

18、∴1＝－1＋2b＋c＋1，即c＝1－2b.∴頂點縱坐標(biāo)為c＋b2＋1＝1－2b＋b2＋1＝(b－1)2＋1.∴b＝1，c＝－1時，c＋b2＋1最小，即拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小，此時，拋物線的解析式為y＝－x2＋2x. 【變式拓展】 1． 證明：在△ABD和△CBD中∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.　 2. (1)1　5　(2)將上述值代入公式可得：化簡得：解之得：　 3.(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，

19、∴四邊形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝.②如圖1，連結(jié)AC、BD.∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD. (2)若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，∴此時四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合題意．若EF與BC不垂直，①當(dāng)AE＝AB時，如圖2，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴AE＝AB＝5.②當(dāng)BF＝AB時，如圖3，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5，∴AE＝9－2.5＝6.5，綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5. 4．(1

20、)12x＋9y　16x＋16y　4nx＋n2y　(2)①∵第1格的“特征多項式”的值為－10，第2格的“特征多項式”的值為－16，∴依題意得：解之得：∴x＝－3，y＝2； ②設(shè)最小值為W，則依題意得：W＝4nx＋n2y＝－12n＋2n2＝2(n－3)2－18，答：有最小值為－18，相應(yīng)的n值為3. 【熱點題型】 【分析與解】(1)∵M點的坐標(biāo)為(1，0)，點P的坐標(biāo)為(1，1)，根據(jù)定義可得PM就是點P到線段MN的距離．∴d(P→MN)＝1.(2)在坐標(biāo)平面內(nèi)作出線段DE：y＝x(0≤x≤3)．∵點G的橫坐標(biāo)為1，∴點G在直線x＝1上，設(shè)直線x＝1交x軸于點H，交DE于點K.①如圖，過點

21、G1作G1F⊥DE于點F，則G1F就是點G1到線段DE的距離．∵線段DE：y＝x(0≤x≤3)，∴△G1FK，△DHK均為等腰直角三角形，∵d(G1→DE)＝，∴KF＝，由勾股定理得G1K＝2.又∵KH＝OH＝1，∴HG1＝3.即G1的縱坐標(biāo)為3.②如圖，過點O作G2O⊥OE交直線x＝1于點G2，由題意知△OHG2為等腰直角三角形，∵OH＝1，∴G2O＝.∴點G2同樣是滿足條件的點．∴點G2的縱坐標(biāo)為－1.綜上，點G的縱坐標(biāo)為3或－1. 【錯誤警示】 (1)或　(2)C (3)設(shè)購買筆記本x本，鋼筆y支，則3x＋5y＝35，5y＝35－3x，y＝7－x.∵x、y為正整數(shù)，∴解得0