物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)-第3章.ppt

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衍射和傅里葉光學(xué)基礎(chǔ) 2 38 現(xiàn)代光學(xué)的一個(gè)分支 將電信理論中使用的傅里葉分析方法移植到光學(xué)領(lǐng)域而形成的新學(xué)科 在電信理論中 要研究線性網(wǎng)絡(luò)怎樣收集和傳輸電信號(hào) 一般采用線性理論和傅里葉頻譜分析方法 在光學(xué)領(lǐng)域里 光學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng) 也可采用線性理論和傅里葉變換理論 研究光怎樣在光學(xué)系統(tǒng)中的傳播 電信理論處理的是電信號(hào) 是時(shí)間的一維函數(shù) 頻率是時(shí)間頻率 只涉及時(shí)間的一維函數(shù)的傅里葉變換 在光學(xué)領(lǐng)域 處理的是光信號(hào) 它是空間的三維函數(shù) 不同方向傳播的光用空間頻率來表征 需用空間的三維函數(shù)的傅里葉變換 傅里葉光學(xué) 3 38 一門新的理論總是要完成下列幾項(xiàng)任務(wù) 邏輯上自洽 也就是講 自身要完整能夠解釋原有理論的可以解釋的那些內(nèi)容 并且得出相同的結(jié)論能夠解釋原有理論難以解釋甚至無法解釋的內(nèi)容能夠增添新的內(nèi)容 得到新的結(jié)論 開拓新的領(lǐng)域 提出新的觀點(diǎn) 傅里葉光學(xué)與光學(xué)理論 4 38 傅里葉光學(xué)自身理論是完整的它可以解釋幾何光學(xué)的成像原理它可以合理完整的解釋光的波動(dòng)學(xué)說 干涉和衍射現(xiàn)象它可以得到傳遞函數(shù) 相襯理論 全息光學(xué)等新的現(xiàn)象和新的領(lǐng)域 傅里葉光學(xué)與光學(xué)理論 5 1 傅里葉變換的基本概念及運(yùn)算 讓我們先看看為什么會(huì)有傅立葉變換 傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字 英語原名是JeanBaptisteJosephFourier 1768 1830 Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣 于1807年在法國科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文 論文里描述運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布 論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭議性的決斷 任何連續(xù)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成 當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人 其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日 JosephLouisLagrange 1736 1813 和拉普拉斯 PierreSimondeLaplace 1749 1827 當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí) 拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì) 在近50年的時(shí)間里 拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào) 如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率 法國科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望 否定了傅立葉的工作成果 直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來 JosephFourier 1768 1830 FourierwasobsessedwiththephysicsofheatanddevelopedtheFourierseriesandtransformtomodelheat flowproblems 誰是對(duì)的呢 看從什么角度 正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào) 拉格朗日是對(duì)的 但是 我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它 逼近到兩種表示方法不存在能量差別 基于此 傅立葉是對(duì)的 7 8 為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢 如我們也還可以用方波或三角波來代替呀 分解信號(hào)的方法是無窮多的 但分解信號(hào)的目的是為了更加簡單地處理原來的信號(hào) 用正余弦來表示原信號(hào)會(huì)更加簡單 因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì) 正弦曲線保真度 一個(gè)正余弦曲線信號(hào)輸入后 輸出的仍是正余弦曲線 只有幅度和相位可能發(fā)生變化 但是頻率和波的形狀仍是一樣的 且只有正余弦曲線才擁有這樣的性質(zhì) 正因如此我們才不用方波或三角波來表示 9 10 1 傅立葉級(jí)數(shù)的定義 設(shè)f x 是周期為T0的周期函數(shù) 滿足狄里赫利條件 即 1 在區(qū)間 T0 2 T0 2 分段連續(xù) 2 只存在有限個(gè)極值點(diǎn) 3 只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) 4 絕對(duì)可積 即 則f x 可以展開為傅立葉級(jí)數(shù) 1 稱為傅立葉系數(shù) 2 3 4 連續(xù)可積 11 令 則有 5 6 7 可用cn來統(tǒng)一表示 稱cn為復(fù)數(shù)形式的傅立葉系數(shù) 8 于是f x 的傅立葉級(jí)數(shù)可以用復(fù)數(shù)形式表示為 亦可簡稱為傅立葉系數(shù) 12 傅立葉系數(shù)cn 9 函數(shù)f x 的周期T0的倒數(shù) 稱作f x 的基頻 表示為 f0 1 T0 而fn n T0 nf0 稱作f x 的諧頻 亦可簡稱為頻率 如果f x 代表時(shí)間函數(shù) 則fn代表時(shí)間頻率 如果f x 代表空間函數(shù) 則fn代表空間頻率 表明 周期函數(shù)f x 可以分解為一系列頻率為fn 復(fù)振幅為cn的諧波 反之 若將各個(gè)諧波線性疊加 則可以精確的綜合出原函數(shù)f x 8 13 2 頻譜的概念 一個(gè)周期變化的物理量在x域 時(shí)間域或空間域 內(nèi)用f x 來表示 9 8 而在fn域 時(shí)間頻率域或空間頻率域 內(nèi)用cn來表示 由于cn表示頻率為fn的諧波成分的復(fù)振幅 所以cn按fn的分布圖形稱為f x 的頻譜 因?yàn)橐话鉩n是復(fù)數(shù) 所以cn的模值 cn 隨fn的分布圖叫做f x 的振幅頻譜 而cn的幅角隨fn的分布圖叫做f x 的位相頻譜 可見這兩種表示是等效的 14 15 將一個(gè)系統(tǒng)的輸入函數(shù)f x 展開為傅立葉級(jí)數(shù) 在頻率域中分析各個(gè)諧波的變化 然后綜合出系統(tǒng)的輸出函數(shù) 這種處理方法稱為頻譜分析方法 為了認(rèn)識(shí)復(fù)雜的光學(xué)現(xiàn)象以及進(jìn)行光信息處理 可采用頻譜分析的方法 2 一維傅立葉變換的定義及其運(yùn)算舉例 16 17 傅立葉變換和傅立葉逆變換常常用運(yùn)算符號(hào)表示 F F f x 12 f x F 1 F 13 設(shè)f x 是定義在實(shí)數(shù)域x上的一維函數(shù) 若f x 滿足狄里赫利條件 即f x 分段連續(xù) 在任意有限區(qū)間內(nèi)只存在有限個(gè)極值點(diǎn)和有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) 并且在區(qū)間 上絕對(duì)可積 則下述積分變換成立 10 11 稱作傅立葉變換的核 它表示一個(gè)頻率為 的諧波成分 表明 一個(gè)物理量既可以在域x中用函數(shù)f x 來表示 也可以通過傅立葉變換 在頻率域 內(nèi)用函數(shù)F 來描述 1 一維傅立葉變換的定義 稱作函數(shù)f x 的傅立葉變換 稱作傅立葉逆變換 18 2 一維傅立葉變換的舉例 例1 求矩形函數(shù)f x rect ax 的傅立葉變換 在物理光學(xué)中 習(xí)慣將F 的主瓣寬度定義為矩形函數(shù)的頻帶寬度 由圖2可見 rect ax 的頻帶寬度為2a 解 19 首先 于是根據(jù)定義 函數(shù)f x 的傅立葉變換為 解 有 因?yàn)閏os x x是奇函數(shù) sin x x是偶函數(shù) 所以有 20 1 2 0 1 2 1 2 21 例3 負(fù)指數(shù)函數(shù)的傅立葉變換負(fù)指數(shù)函數(shù)的定義為 則它的傅立葉變換為 易見 F 是復(fù)函數(shù) 它的振幅為 相位為 22 例4 高斯函數(shù)的f x exp x2 傅立葉變換 Possion積分 可見 高斯函數(shù)具有自傅立葉變換的性質(zhì) 解 23 3 傅立葉變換的性質(zhì)及有關(guān)定理 1 線性2 對(duì)稱性3 迭次傅立葉變換4 縮放性5 平移性6 相移性7 面積對(duì)應(yīng)公式8 復(fù)共軛函數(shù)的傅立葉變換 3 1傅立葉變換的性質(zhì) 24 1 線性設(shè)F f x F F g x G a b為任意常數(shù) 則 F af x bg x aF bG 即函數(shù)線性組合的傅立葉變換等于各函數(shù)傅立葉變換的線性組合 這表明傅立葉變換是線性變換 線性是什么意思 數(shù)學(xué)上是指一次方的函數(shù)關(guān)系 物理上指不變形 2 4 1傅立葉變換的性質(zhì) 25 2 對(duì)稱性若F f x F 則F F x f 3 迭次傅立葉變換若F f x F 則F F f x 26 4 縮放性 相似性定理和尺度變換定理 F f ax 若F f x F a為不等于零的常數(shù) 則有 即原函數(shù)在空域坐標(biāo) x y 的 伸展 a b 1時(shí) 將導(dǎo)致其頻譜函數(shù)在頻域坐標(biāo) fx fy 中的 收縮 以及整個(gè)頻譜幅度的一個(gè)總體變化 且其收縮和展寬的因子相同 27 5 平移性若F f x F x0為任意實(shí)常數(shù) 則有 F f x x0 exp j2 x0 F 即函數(shù)f x 在空域或時(shí)域平移 只引起其頻譜的相位線性平移 而不改變其振幅頻譜 6 相移性若F f x F 0為任意實(shí)常數(shù) 則有 F exp j2 0 x f x F 0 即原函數(shù)在空域中的相移會(huì)引起其頻譜函數(shù)在頻域的平移 28 7 面積對(duì)應(yīng)公式 8 復(fù)共軛函數(shù)的傅立葉變換若F f x F 則有 F f x F F f x F 若F f x F 則有 F 0 等于f x 曲線下的面積 f 0 則等于F 的曲線下的面積 兩個(gè)面積相等 對(duì)于二維傅立葉變換 面積 當(dāng)換成 體積 29 4 光波的傅里葉分析 4 1平面波基元函數(shù)分析方法 按照傅里葉分析的觀點(diǎn) 平面 x y 上一個(gè)任意的光場復(fù)振幅分布A x y 可以表示為一系列空間頻率為 fx fy 振幅密度為a fx fy 的簡諧平面波的線性疊加 上述振幅密度函數(shù)a fx fy 可通過A x y 的二維傅里葉變換求出 返回 處理線性系統(tǒng)常用方法 線性系統(tǒng)的分析與綜合 傅立葉分析 一個(gè)復(fù)雜輸入 分解 多個(gè)簡單 基元 輸入 計(jì)算每個(gè) 基元 輸入的響應(yīng) 總響應(yīng) 疊加 傅立葉分析提供了一個(gè)進(jìn)行信號(hào)分解的手段 基元函數(shù) 權(quán)重因子 基元函數(shù)的意義 代表了傳播方向?yàn)?cos fx cos fy的單位振幅的平面波 逆傅立葉變換的物理意義 物函數(shù)f x y 可看作是無數(shù)振幅不同 F fx fy dfxdfy 方向不同 cos fx cos fy 的平面波線性疊加的結(jié)果 傅立葉分解 基元函數(shù) 權(quán)重因子 逆傅立葉變換提供了分解函數(shù)的一種手段 線性系統(tǒng)的基本特點(diǎn) 它對(duì)同時(shí)作用的幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)的響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)函數(shù)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和 系統(tǒng)對(duì)任一輸入函數(shù)的響應(yīng)可用基元函數(shù)響應(yīng)的線性組合來表示 基元函數(shù) 指不能再分解的基本函數(shù)單元 且它們的響應(yīng)是比較易于確定的 在光學(xué)系統(tǒng)中 常用的基元函數(shù)有三種 函數(shù) 復(fù)指數(shù)函數(shù) 余弦函數(shù) 線性系統(tǒng)對(duì)某種 基元 激勵(lì)的響應(yīng) 34 光波的傅立葉分析 1 實(shí)際光源發(fā)出的光波是復(fù)雜的 其時(shí)間參量里包含各種時(shí)間頻率 其空間分布上很復(fù)雜 其等相面具有復(fù)雜的形狀 2 研究復(fù)雜光波的有效方法是將它分解為一系列簡諧平面波的線性組合 分析各個(gè)簡諧平面波成分傳播規(guī)律 最后綜合出復(fù)雜光波的傳播規(guī)律 3 凡是符合傅立葉變換存在條件的一切復(fù)雜波 都可以用傅立葉變換作為分解的手段 4 對(duì)復(fù)雜波分解的方法步驟是 首先 將空間各考察點(diǎn)處的振動(dòng)分解為各種時(shí)間頻的簡諧振動(dòng)的線性組合 即時(shí)間域分解 然后 將每個(gè)簡諧波分解為一系列不同空間頻率的平面波的線性組合 即空間域分解 最后 將復(fù)雜波表示為一系列簡諧平面波的線性組合 35 一 時(shí)間域分解 設(shè)A x y z t 表示一個(gè)復(fù)雜波在考察點(diǎn) x y z 處的振動(dòng)函數(shù) 通過時(shí)間域的傅立葉變換 可以求出該復(fù)雜振動(dòng)的時(shí)間頻譜 9 于是 按照傅立葉變換 復(fù)雜波可以表示為 10 表明 復(fù)雜波A x y z t 可以分解為一系列頻率為 振幅密度為的簡諧波的疊加 即 36 10 但在空間考察 每個(gè)簡諧波的等相面形狀仍然很復(fù)雜 對(duì)此可以對(duì)每個(gè)簡諧波作空間域的傅立葉分解 將其分解為一系列不同空間頻率的簡諧平面波的線性疊加 設(shè)簡諧波復(fù)振幅的空間頻譜為 11 12 表明 復(fù)雜波被分解為一系列空間頻率為 fx fy fz 振幅密度為的簡諧平面波的疊加 二 空間域的分解 看作簡諧波之一 37 三個(gè)空間頻率分量 fx fy fz 并不獨(dú)立 它們和時(shí)間頻率之間滿足約束關(guān)系 這樣計(jì)算的空間頻譜時(shí)只需進(jìn)行二維的傅立葉變換 對(duì)復(fù)雜波進(jìn)行空間分解時(shí)有兩點(diǎn)必須注意 首先 視作時(shí)間域簡諧波 看作常數(shù) 時(shí)間因子 可暫時(shí)不考慮 其次 13 如果已知復(fù)雜波在 x y 平面上的振幅分布時(shí) 只需求出 分解出各個(gè)空間頻率為 fx fy 的平面波分量即可 38 A x y z t 綜合上述兩步時(shí)間和空間分解過程 可將復(fù)雜波表示為 14 在空間 時(shí)間域描述波動(dòng) 在空間 時(shí)間頻率域內(nèi)描述波動(dòng)行為 在空間頻率域 時(shí)間頻率域內(nèi)描述波動(dòng)行為 被稱做波函數(shù)A x y z t 在確定空間考察點(diǎn) x y z 的時(shí)間頻譜函數(shù) 被稱做波函數(shù)A x y z t 的空間 時(shí)間頻譜函數(shù) 能夠描述同一個(gè)波動(dòng)行為 三個(gè)函數(shù) 知道其中任何一個(gè) 便可以通過傅立葉變換或逆變換求出其它兩個(gè) 39 天才 模仿 高效率 持久性