2015年海淀區(qū)高三年級第一學期期末練習數(shù)學(理)答案.doc

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海淀區(qū)高三年級第一學期期末練習 數(shù)學（理）答案及評分參考 2015.1 一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分） （1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空2分，第二空3分） （9） （10） （11） （12） （13）；4 （14） 三、解答題（共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）的值是. 的值是. （Ⅱ）由題意可得：. 所以 . 因為 ， 所以 . 所以 當，即時，取得最大值； 當，即時，取得最小值. （16）（共13分） 解：（Ⅰ）抽取的5人中男同學的人數(shù)為，女同學的人數(shù)為. （Ⅱ）由題意可得：. 因為 ， 所以 . 所以 . （Ⅲ）. （17）（共14分） 證明：（Ⅰ）連接. 在正方形中，. 因為 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. ………………1分 因為 平面， 所以 . ………………2分 在菱形中，. 因為 平面，平面，， 所以 平面. 因為 平面， 所以 . （Ⅱ）∥平面，理由如下： 取的中點，連接. 因為 是的中點， 所以 ∥，且. 因為 是的中點， 所以 . 在正方形中，∥，. 所以 ∥，且. 所以 四邊形為平行四邊形. 所以 ∥. 因為 平面，平面， 所以 ∥平面. （Ⅲ）在平面內(nèi)過點作. 由（Ⅰ）可知：平面. 以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則. 在菱形中，，所以 ，. 設(shè)平面的一個法向量為. 因為 即 所以 即. 由（Ⅰ）可知：是平面的一個法向量. 所以 . 所以 二面角的余弦值為. （18）（共13分） 解：（Ⅰ）由得：. 所以 橢圓的短軸長為. 因為 ， 所以 ，即的離心率為. （Ⅱ）由題意知：，設(shè)，則. 因為 ， 所以 . 所以 點不在以為直徑的圓上，即：不存在直線，使得點在以為直徑的圓上. 另解：由題意可設(shè)直線的方程為，. 由可得：. 所以 ，. 所以 . 因為 ， 所以 . 所以 . 所以 點不在以為直徑的圓上，即：不存在直線，使得點在以為直徑的圓上. （19）（共13分） 解：（Ⅰ）函數(shù)是偶函數(shù)，證明如下： 對于，則. 因為 ， 所以 是偶函數(shù). （Ⅱ）當時，因為 ，恒成立， 所以 集合中元素的個數(shù)為0. 當時，令，由， 得 . 所以 集合中元素的個數(shù)為1. 當時，因為 ， 所以 函數(shù)是上的增函數(shù). 因為 ， 所以 在上只有一個零點. 由是偶函數(shù)可知，集合中元素的個數(shù)為2. 綜上所述，當時，集合中元素的個數(shù)為0；當時，集合中元素的個數(shù)為1；當時，集合中元素的個數(shù)為2. （Ⅲ）函數(shù)有3個極值點. （20）（共14分） 解：（Ⅰ）因為 ， 所以 ，，，故. 因為 ，所以 . 所以 . 所以 當時，取得最大值. （Ⅱ）由的定義可知：. 所以 . 設(shè)刪去的兩個數(shù)為，則. 由題意可知：，且當其中一個不等式中等號成立，不放設(shè)時，，. 所以 . 所以. 所以 ，即. （Ⅲ）對于滿足（）的每一個集合，集合中都存在三個不同的元素，使得恒成立，理由如下： 任取集合，由（）可知， 中存在最大數(shù)，不妨記為（若最大數(shù)不唯一，任取一個）. 因為 ， 所以 存在，使得，即. 由可設(shè)集合. 則中一定存在元素使得. 否則，，與是最大數(shù)矛盾. 所以 ，，即.