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1、
小專題(一) 二次根式的運算
類型1 與二次根式有關(guān)的計算
1．計算：
(1)6×；
解：原式＝(6×)
＝2
＝4.
(2)(－4)÷5；
解：原式＝－4÷(5×)
＝－4÷3
＝－.
(3)－＋2；
解：原式＝6－＋6
＝12－
＝.
(4)(2＋)×(2－)．
解：原式＝(2)2－()2
＝20－3
＝17.
2．計算：
(1)3÷(－)；
解：原式＝[3÷(－)]
＝－6
＝－6
＝－.
(2)(＋×)×；
解：原式＝3＋5×
＝3＋15
＝18.
(3)3×(－)
2、÷7；
解：原式＝3×(－1)×÷7
＝－3÷7
＝－
＝－.
(4)(－4)－(3－4);
解：原式＝2－－＋2
＝＋.
(5)(3－)2－(－3－)2.
解：原式＝(3－)2－(3＋)2
＝18＋6－12－(18＋6＋12)
＝－24.
3．計算：
(1)(2 018－)0＋|3－|－；
解：原式＝1＋2－3－2
＝－2.
(2)(2017·呼和浩特)|2－|－×(－)＋.
解：原式＝－2－＋＋
＝2－1.
類型2 與二次根式有關(guān)的化簡求值
4．已知a＝3＋2，b＝
3、3－2，求a2b－ab2的值．
解：原式＝a2b－ab2＝ab(a－b)．
當a＝3＋2，b＝3－2時，
原式＝(3＋2)(3－2)(3＋2－3＋2)
＝4.
5．已知實數(shù)a，b，定義“★”運算規(guī)則如下：a★b＝求★(★)的值．
解：由題意，得★＝.
∴★(★)＝★＝＝2.
6．已知x＝2＋，求代數(shù)式(7－4)x2＋(2－)x＋的值．
解：當x＝2＋時，
原式＝(7－4)×(2＋)2＋(2－)×(2＋)＋
＝(7－4)×(7＋4)＋4－3＋
＝49－48＋1＋
＝2＋.
7．(2017·襄陽)先化簡，再求值：(＋)÷，其中x＝＋2，y＝－
4、2.
解：原式＝ ·y(x＋y)
＝.
當x＝＋2，y＝－2時，
原式＝
＝.
8．小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均為正整數(shù))，則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
這樣小明就找到了一種把a＋b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
(1)當a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝m2＋3n2，b＝2mn；
(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：4＋2＝(1＋)2；(答案不唯一)
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．
解：根據(jù)題意，得
∵2mn＝4，且m，n為正整數(shù)，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝7或13.
5
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