2018年八年級數(shù)學下冊 18.2 特殊的平行四邊形練習 （新版）新人教版

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1、 18.2　特殊的平行四邊形 18．2.1　矩形 第1課時　矩形的性質(zhì) 01　　基礎題 知識點1　矩形的性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是(C) A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線相等 D．對邊平行 2．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，以下說法錯誤的是(D) A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD 第2題圖 第3題圖 3．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點O，則圖中等腰三角形的個數(shù)是(C) A

2、．8 B．6 C．4 D．2 4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ACB＝30°，則∠AOB的大小為(B) A．30° B．60° C．90° D．120° 第4題圖 第5題圖 5．(2017·懷化)如圖，在矩形ABCD中， 對角線AC，BD相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，則AB的長是(A) A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 6．如果矩形的一邊長為6，一條對角線的長為10，那么這個矩形的另一邊長是8． 7．如圖，已知矩形的對角線AC與BD相交于點O，若A

3、O＝1，則BD＝2． 第7題圖 第8題圖 8．(2016·昆明)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點，AB＝6，BC＝8，則四邊形EFGH的面積是24． 9．(2016·岳陽)已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求證：BF＝CD. 證明：∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠B＝∠C＝90°. ∴∠BFE＋∠BEF＝90°. ∵EF⊥DF，∴∠DFE＝90°.∴∠BFE＋∠CFD＝90°. ∴∠BEF＝∠CFD. 在△BEF和△CFD中， ∴△BEF≌△CFD(ASA)．∴BF＝CD.

4、 知識點2　直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D為AB的中點，則CD＝5cm. 第10題圖 第11題圖 11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，若CD＝5 cm，則EF＝5cm. 12．如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的長. 解：由題意得：DE是△ABC的中位線， ∴DE＝AC. ∵HF是Rt△AHC的斜邊AC的中線， ∴HF＝AC. ∴HF＝DE＝5 cm. 02　　中檔題 13．(

5、2016·荊門)如圖，在矩形ABCD中(AD>AB)，點E是BC上一點，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足為點F.在下列結(jié)論中，不一定正確的是(B) A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD C．AB＝AF D．BE＝AD－DF 第13題圖 第14題圖 14．(2016·綿陽)如圖，?ABCD的周長是26 cm，對角線AC與BD交于點O，AC⊥AB，E是BC中點，△AOD的周長比△AOB的周長多3 cm，則AE的長度為(B) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm 15．如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD

6、相交于點O，AE⊥BD于點E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，則∠EAC的度數(shù)是(C) A．18° B．36° C．45° D．72° 第15題圖 第16題圖 16．(2016·宜賓)如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB，BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是(A) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 17．(2017·廣西四市同城)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF. (1)求證：AE＝CF； (2)若AB＝6，∠CO

7、D＝60°，求矩形ABCD的面積． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°. ∵BE＝DF，∴OE＝OF. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(SAS)． ∴AE＝CF. (2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等邊三角形． ∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12. 在Rt△ABC中，BC＝＝6， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6＝36. 18．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，延長

8、CB到點E，使BE＝BC，連接AE.求證： (1)四邊形ADBE是平行四邊形； (2)若AB＝4，OB＝，求四邊形ADBE的周長． 證明：(1)∵四邊形ABCD為矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC. 又∵BE＝BC，且點C，B，E在一條直線上， ∴AD∥BE，AD＝BE. ∴四邊形ADBE是平行四邊形． (2)∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD. ∴BD＝2OB＝5. 在Rt△BAD中，AD＝＝3. 又∵四邊形ADBE為平行四邊形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5. 03　　綜合題 19．如圖，將長8 cm，寬4 cm

9、的矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，則折痕EF的長為2cm. 　　　　 習題解析 第2課時　矩形的判定 01　　基礎題 知識點1　有一個角是直角的平行四邊形是矩形 1．下列說法正確的是(D) A．有一組對角是直角的四邊形一定是矩形 B．有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形 C．對角線互相平分的四邊形是矩形 D．對角互補的平行四邊形是矩形 2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形，求證：四邊形ADBE是矩形． 解：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線， ∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°. 又∵四邊形ADBE是

10、平行四邊形， ∴四邊形ADBE是矩形． 3．(2016·內(nèi)江)如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF. (1)求證：D是BC的中點； (2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論． 解：(1)證明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCB. 又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC. 又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點． (2)四邊形AFBD是矩形． 證明：∵AF∥BC，AF＝BD， ∴四邊形AFBD是平行四邊形．

11、 ∵AB＝AC，D是BC的中點， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°. ∴四邊形AFBD是矩形． 知識點2　對角線相等的平行四邊形是矩形 4．能判斷四邊形是矩形的條件是(C) A．兩條對角線互相平分 B．兩條對角線相等 C．兩條對角線互相平分且相等 D．兩條對角線互相垂直 5．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AD∥BC，AC＝BD.試添加一個條件答案不唯一，如：AB∥CD，使四邊形ABCD為矩形． 6．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，點E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點，請問四邊形EFGH是矩形嗎？請說明理由． 解：四邊形

12、EFGH是矩形． 理由： ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO. ∴AO＝CO＝BO＝DO. ∵點E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點， ∴EO＝FO＝GO＝HO.∴OE＝OG，OF＝OH. ∴四邊形EFGH是平行四邊形． 又∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH， ∴四邊形EFGH是矩形． 知識點3　有三個角是直角的四邊形是矩形 7．已知O為四邊形ABCD對角線的交點，下列條件能使四邊形ABCD成為矩形的是(D) A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° 8．

13、已知：如圖，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分別是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分線．求證：四邊形EFGH為矩形． 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠DAB＋∠ADC ＝180°. ∵AF，DF分別平分∠DAB，∠ADC， ∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB， ∠ADF＝∠CDF＝∠ADC. ∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°. 同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°. ∴四邊形EFGH是矩形． 02　　中檔題 9．以下條件不能判定四邊形ABCD是矩形的是(D) A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝

14、OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD 10．(2016·菏澤)在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，當?ABCD的面積最大時，下列結(jié)論：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正確的有(B) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 11．如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC，AB于點D，F(xiàn)，BE⊥DF交DF的延長線于點E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是(A) A．2 B．3 C．4 D．4 第11題

15、圖 第12題圖 12．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為O，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AD，AB，BC，CD的中點．若AC＝8，BD＝6，則四邊形EFGH的面積為12． 13．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F(xiàn)為DC上一點，且FC＝AB，E為AD上一點，EC交AF于點G. (1)求證：四邊形ABCF是矩形； (2)若ED＝EC，求證：EA＝EG. 證明：(1)∵AB∥DC，F(xiàn)C＝AB， ∴四邊形ABCF是平行四邊形． 又∵∠B＝90°， ∴四邊形ABCF是矩形． (2)∵四邊形ABCF是矩形， ∴∠AFC＝∠AFD＝90°. ∴

16、∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD. ∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD. ∴∠DAF＝∠CGF. 又∵∠EGA＝∠CGF， ∴∠DAF＝∠EGA. ∴EA＝EG. 14．如圖，將?ABCD的邊AB延長至點E，使AB＝BE，連接BD，DE，EC，DE交BC于點O. (1)求證：△ABD≌△BEC； (2)若∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形． 證明：(1)∵在?ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥CB， ∴∠A＝∠EBC. 在△ABD和△BEC中， ∴△ABD≌△BEC(SAS)． (2)∵在?ABCD中，AB∥ CD，且AB＝

17、BE， BE CD.∴四邊形BECD為平行四邊形． ∴OB＝BC，OE＝ED. ∵∠BOD＝2∠A＝2∠EBC， 且∠BOD＝∠EBC＋∠BEO， ∴∠EBC＝∠BEO.∴OB＝OE.∴BC＝ED. ∴四邊形BECD是矩形． 03　　綜合題 15．如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC.設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F. (1)求證：OE＝OF； (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的長； (3)當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由． 　 視頻講解 解：(1)證明：∵CF平分∠

18、ACD，且MN∥BD， ∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO. ∴OF＝OC. 同理可證：OC＝OE. ∴OE＝OF. (2)由(1)，知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC， ∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC. ∵(∠OCF＋∠OCE)＋(∠OFC＋∠OEC)＝180°， ∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°. ∴EF＝＝＝13. 又∵OE＝OF， ∴OC＝EF＝. (3)當點O移動到AC中點時，四邊形AECF為矩形． 理由：連接AE，AF. 當點O移動到AC中點時，OA＝OC， 又∵OE＝OF， ∴四邊形AECF為平行四邊形． 又∵∠ECF＝90°，

19、 ∴四邊形AECF為矩形． 18.2.2　菱形 第1課時　菱形的性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　　　　　 01　　基礎題 知識點1　菱形的性質(zhì) 1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是(D) A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直 2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是(B) A．∠ADB＝∠CDB B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝AD 第2題圖 第3題圖 3．如圖，已知菱形ABCD的邊長等于2，∠DAB＝60°，則對角線BD的長

20、為(C) A．1 B. C．2 D．2 4．菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的邊長是(D) A．10 B．8 C．6 D．5 5．如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，若EF＝2，則菱形ABCD的周長是16． 6．如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，連接AE，AF.AE和AF有什么樣的數(shù)量關系？說明理由． 解：AE＝AF. 理由：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD. 又∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點， ∴BE＝BC，DF＝CD. ∴BE＝DF. ∴

21、△ABE≌△ADF(SAS)． ∴AE＝AF. 知識點2　菱形的面積 7. (2016·寧夏)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是AD，CD邊的中點，連接EF.若EF＝，BD＝2，則菱形ABCD的面積為(A) A．2 B. C．6 D．8 第7題圖 第8題圖 8．(2017·宜賓)如圖，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，則菱形ABCD的面積是24． 9．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面積． 解：∵四邊形ABCD是菱形，BD＝4， ∴

22、OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD. ∵在Rt△OCD中，∠OCD＝30°， ∴CD＝2OD＝4， OC＝＝＝2. ∴AC＝2OC＝4. ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8. 02　　中檔題 10．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD＝60°，則花壇對角線AC的長等于(A) A．6米 B．6米 C．3米 D．3米 第10題圖 第11題圖 11．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E為AD邊的中點，菱形ABCD的周長為28，則OE的長等于(A) A．3.5 B．4

23、 C．7 D．14 12．如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO.若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為(C) 習題解析 　 A．28° B．52° C．62° D．72° 13．(2017·南充)已知菱形的周長為4，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為(D) A．2 B. C．3 D．4 14．(2017·東營)如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP＋AP的最小值為2． 15．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，

24、O為對角線BD的中點，過O點作OE⊥AB，垂足為E. (1)求∠ABD的度數(shù)； (2)求線段BE的長． 解：(1)∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD為等邊三角形． ∴∠ABD＝60°. (2)由(1)可知BD＝AB＝4， 又∵O為BD的中點，∴OB＝2. 又∵OE⊥AB，∠ABD＝60°， ∴∠BOE＝30°. ∴BE＝OB＝1. 16．(2016·蘇州)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E. (1)求證：四邊形ACDE是平行四邊形； (2)若AC＝8，BD＝6，求

25、△ADE的周長． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD. ∴AE∥CD. 又∵DE⊥BD， ∴DE∥AC. 又∵AE∥CD， ∴四邊形ACDE是平行四邊形． (2)∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝＝5. ∵四邊形ACDE是平行四邊形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8. ∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18. 03　　綜合題 17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上． (1)如圖1，若E是BC的中點，∠AEF＝60°，求證：BE＝D

26、F； (2)如圖2，若∠EAF＝60°，求證：△AEF是等邊三角形． 證明：(1)連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD. ∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形． ∵E是BC的中點，∴AE⊥BC. ∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°. 又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°. ∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF. 又∵BC＝CD， ∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF. (2)連接AC，由(1)，得△ABC是等邊三角形， ∴AB＝AC. ∵∠BAE＋∠EAC＝60°， ∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60

27、°， ∴∠BAE＝∠CAF. ∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴∠ACF＝∠BCD＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF. 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等邊三角形． 第2課時　菱形的判定 01　　基礎題 知識點1　有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如圖，若要使?ABCD成為菱形，則可添加的條件是(C) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 第1題圖 第2題圖 2．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件中能夠判定四邊形A

28、CED為菱形的是(B) A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60° 3．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求證：四邊形AEDF是菱形． 證明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF為平行四邊形． ∴∠FAD＝∠EDA. ∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠EAD＝∠FAD. ∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED. ∴四邊形AEDF是菱形． 知識點2　對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 4．如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，且滿足AO＝CO，請你添加一個適當?shù)臈l件B

29、O＝DO(答案不唯一)，使四邊形ABCD成為菱形．(只需添加一個即可) 5．(2017·岳陽)求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 小紅同學根據(jù)題意畫出了圖形，并寫出了已知和求證的一部分，請你補全已知和求證，并寫出證明過程． 已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD． 求證： 四邊形ABCD是菱形． 證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴BO＝DO. ∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD. ∴AB＝AD. ∴四邊形ABCD為菱形． 知識點3　四條邊相等的四邊形是菱形 6．(2016·大慶)下列說法正確的是(D)

30、 A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．矩形的對角線互相垂直 C．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 D．四邊相等的四邊形是菱形 7．(2017·寧夏)在△ABC中，M是AC邊上的一點，連接BM.將△ABC沿AC翻折，使點B落在點D處，當DM∥AB時，求證：四邊形ABMD是菱形． 證明：∵AB∥DM， ∴∠BAM＝∠AMD. 由折疊性質(zhì)得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM. ∴∠DAM＝∠AMD. ∴DA＝DM＝AB＝BM. ∴四邊形ABMD是菱形． 02　　中檔題 8．(2017·聊城)如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要

31、判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是(D) A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC 9．如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是(B) A．矩形 B．菱形 C．一般的四邊形 D．平行四邊形 第9題圖 第10題圖 10．(2016·蘭州)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，則四邊形OCED的面積

32、為(A) A．2 B．4 C．4 D．8 11．(2016·沈陽)如圖，△ABC≌△ABD，點E在邊AB上，CE∥BD，連接DE. 求證： (1)∠CEB＝∠CBE； (2)四邊形BCED是菱形． 證明：(1)∵△ABC≌△ABD， ∴∠ABC＝∠ABD. ∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD. ∴∠CEB＝∠CBE. (2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD. 由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD. 又∵CE∥BD，∴四邊形BCED是平行四邊形． 又∵BC＝BD，∴四邊形BCED是菱形． 12．(2016·聊城)如

33、圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點E是AC的中點，AC＝2AB，∠BAC的平分線AD交BC于點D，作AF∥BC，連接DE并延長交AF于點F，連接FC.求證：四邊形ADCF是菱形． 證明：∵AF∥CD， ∴∠AFE＝∠CDE. 在△AFE和△CDE中， ∴△AFE≌△CDE(AAS)．∴AF＝CD. ∵AF∥CD， ∴四邊形ADCF是平行四邊形． ∵點E是AC的中點，AC＝2AB，∴AE＝AB. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠BAD. 又∵AD＝AD，∴△AED≌△ABD(SAS)． ∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC. ∴四邊形ADCF是菱形．

34、 03　　綜合題 13．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC. (1)求證：AD＝BC； (2)若E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分． 證明：(1)延長DC至K，使CK＝AB.連接BK. ∵AB CK， ∴四邊形ABKC是平行四邊形． ∴AC BK.∴∠ACD＝∠K. ∵BD＝AC，AC＝BK， ∴BD＝BK.∴∠BDC＝∠K. ∴∠ACD＝∠BDC. 在△ACD和△BDC中， ∴△ACD≌△BDC(SAS)． ∴AD＝BC. (2)分別連接EH，HF，F(xiàn)G和GE. ∵E，H分別

35、是AB，BD的中點， ∴EH為△ABD的中位線． ∴EH＝AD. 同理：GF＝AD，EG＝BC，HF＝BC. 又由(1)知AD＝BC，∴EH＝HF＝FG＝GE. ∴四邊形EHFG是菱形． ∴線段EF與線段GH互相垂直平分． 18.2.3　正方形 01　　基礎題 知識點1　正方形的性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(A) A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相垂直平分且相等 2．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝3，則此正方形的面積為(C) A．3

36、 B．12 C．18 D．36 第2題圖 第3題圖 3．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為(C) A．14 B．15 C．16 D．17 4．如圖，有一?ABCD與一正方形CEFG，其中E點在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，則∠B的度數(shù)為(C) A．50° B．55° C．70° D．75° 5．(2016·龍巖)如圖，將正方形紙片按如圖折疊，AM為折痕，點B落在對角線AC上的點E處，則∠CME＝45°. 第5題圖

37、 第6題圖 6．如圖，在正方形ABCD中，以AB為邊在正方形內(nèi)作等邊△ABE，連接DE，CE，則∠CED的度數(shù)為150°． 7．(2016·哈爾濱中考改編)已知，如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P.求證：AP＝BQ. 證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∴∠BAQ＋∠DAP＝90°. ∵DP⊥AQ， ∴∠APD＝90°.∴∠ADP＋∠DAP＝90°. ∴∠ADP＝∠BAQ. ∵AQ⊥BE，∴∠BQA＝90°. 在△DAP和△ABQ中， ∴△DAP≌△ABQ(AAS)．∴AP＝BQ.

38、 知識點2　正方形的判定 8．已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是(D) A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 9．兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形是(D) A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 10．如圖，菱形ABCD 的對角線AC，BD 相交于點O，分別延長OA，OC 到點E，F(xiàn)，使AE ＝CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點． (1)求證：△BAE≌△BCF； (2)若∠ABC ＝50°，則當∠EBA ＝20° 時，四邊

39、形BFDE 是正方形． 證明：∵在菱形ABCD 中，BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA.∴∠BAE＝∠BCF. 在△BAE和△BCF 中， ∴△BAE≌△BCF(SAS)． 02　　中檔題 11．(2016·臺州)小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了(B) A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 12．(2017·蘭州)在?ABCD中，對角線AC與DB相交于點O.要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝

40、AD，且AC＝BD.其中正確的序號是①③④． 13．如圖，正方形ABCD的面積為5，正方形BEFG面積為4，那么△GCE的面積是－2． 14．已知，如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是AB和AD延長線上的點，且BE＝DF. (1)求證：CE＝CF； (2)求∠CEF的度數(shù)． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴DC＝BC，∠B＝∠ADC＝90°. 在△CDF和△CBE中， ∴△CDF≌△CBE(ASA)． ∴CE＝CF. (2)∵△CDF≌△CBE， ∴∠DCF＝∠BCE. ∴∠ECF＝∠DCB＝90°. ∵CF＝CE， ∴∠CEF＝

41、45°. 15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE＝OD，連接AE，BE. (1)求證：四邊形AEBD是矩形； (2)當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形？并說明理由． 解：(1)證明：∵點O為AB的中點， ∴OA＝OB. 又∵OE＝OD， ∴四邊形AEBD是平行四邊形． ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°. ∴四邊形AEBD是矩形． (2)當∠BAC＝90°時，矩形AEBD是正方形．理由： ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線， ∴B

42、D＝CD. 又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD. ∴矩形AEBD是正方形． 03　　綜合題 16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE. (1)求證：CE＝AD； (2)當D為AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； (3)若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 解：(1)證明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE. 又∵M

43、N∥AB，即CE∥AD， ∴四邊形ADEC是平行四邊形． ∴CE＝AD. (2)四邊形BECD是菱形．理由： ∵D為AB中點，∴AD＝BD. 又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE. 又∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形． 又∵DE⊥BC， ∴四邊形BECD是菱形． (3)當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形．理由： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. 又∵D為AB中點，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°. 又∵四邊形BECD是菱形， ∴四邊形BECD是正方形． ∴當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形． 30