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1、
小專題(二) 巧用勾股定理解決折疊與展開問題
類型1 利用勾股定理解決平面圖形的折疊問題
解決折疊問題關(guān)鍵是抓住對(duì)稱性．勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式，求線段的長時(shí)，可由此列出方程，運(yùn)用方程思想分析問題和解決問題，以簡化求解.
【例1】 直角三角形紙片的兩直角邊AC＝8，BC＝6，現(xiàn)將△ABC如圖折疊，折痕為DE，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則BE的長為．
1．(2017·黔西南)如圖，將邊長為6 cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，折痕為FH，則線段AF的長是cm.
第1題圖 第2題圖
2．如圖，在長
2、方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB＝6．
類型2 利用勾股定理解決立體圖形的展開問題
立體圖形中求表面距離最短時(shí)，需要將立體圖形展開成平面圖形，然后將條件集中于一個(gè)直角三角形，利用勾股定理求解．
【例2】 (教材P39T12變式與應(yīng)用)如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12 cm，底面半徑等于3 cm，在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)
【思路點(diǎn)撥】 要求螞蟻爬行的最短路徑，需將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形(即立體圖形的平面展開
3、圖)，把圓柱沿著過A點(diǎn)的AA′剪開，得到如圖所示的平面展開圖，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短”，所以螞蟻應(yīng)沿著平面展開圖中線段AB這條路線走．
【解答】 如圖，由題意可得：AA′＝12，A′B＝×2π×3＝9.
在Rt△AA′B中，根裾勾股定理得：AB2＝A′A2＋A′B2＝122＋92＝225.
∴AB＝15.
∴需要爬行的最短路徑是15 cm.
3．如圖是一個(gè)高為10 cm，底面圓的半徑為4 cm的圓柱體．在AA1上有一個(gè)蜘蛛Q，QA＝3 cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1＝2 cm，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是cm.(結(jié)果用帶π和根號(hào)的式子表示)
4、
第3題圖 第4題圖
4．如圖，在一個(gè)長為2 m，寬為1 m的長方形草地上，放著一根長方體的木塊，它的棱和草地寬AD平行且棱長大于AD，木塊從正面看是邊長為0.2 m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是2.60m(精確到0.01 m)．
5．如圖，長方體的高為5 cm，底面長為4 cm，寬為1 cm.
(1)點(diǎn)A1到點(diǎn)C2之間的距離是多少？
(2)若一只螞蟻從點(diǎn)A2爬到C1，則爬行的最短路程是多少？
解：(1)∵長方體的高為5 cm，底面長為4 cm，寬為1 cm，
∴A2C2＝＝(cm)．
∴A1C2＝＝(cm)．
(2)如圖1所示，A2C1＝＝5(cm)．
如圖2所示，A2C1＝＝(cm)．
如圖3所示，A2C1＝＝2(cm)．
∵5＜2＜，
∴一只螞蟻從點(diǎn)A2爬到C1，爬行的最短路程是5 cm.
3
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