2018屆高考數(shù)學(xué) 考點精析精訓(xùn) 考點09 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義 文

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1、 考點9 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義 【考點剖析】 1.最新考試說明： 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景； 2. 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 3. 會用課本給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如的導(dǎo)數(shù)） 2.命題方向預(yù)測： 導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等是重點知識，基礎(chǔ)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.導(dǎo)數(shù)的幾何意義為高考熱點內(nèi)容，考查題型多為選擇、填空題，也常出現(xiàn)在解答題中前一問，難度較低．歸納起來常見的命題探究角度往往有： (1)求切線方程問題． (2)確定切點坐標(biāo)問題． (3)已知切線問題求參數(shù)． (4)切線的綜合應(yīng)用． 3.課

2、本結(jié)論總結(jié)： 1. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′ (x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(

3、g(x)≠0)． 3. 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)幾何意義： 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線和斜率，即. 相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 4.名師二級結(jié)論： 當(dāng)一個函數(shù)是多個函數(shù)復(fù)合而成時，就按照從外層到內(nèi)層的原則進(jìn)行求導(dǎo)，求導(dǎo)時要注意分清層次，防止求導(dǎo)不徹底，同時，也要注意分析問題的具體特征，靈活恰當(dāng)選擇中間變量，同時注意可先化簡，再求導(dǎo)，實際上，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，通常稱為鏈條法則，這是由于求導(dǎo)過程像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能漏掉其中的任何一環(huán). 5.課本經(jīng)典習(xí)題： (1)新課標(biāo)A版選修2-2第6頁，例1 將原油精煉為汽油

4、、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果在第時，原油的溫度（單位：℃）為.計算第與第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義. 【經(jīng)典理由】結(jié)合具體的實例，給出了結(jié)論：反映了原油溫度在時刻附近的變化情況，闡述了導(dǎo)數(shù)的意義：導(dǎo)數(shù)可以描述瞬時變化率. (2) 新課標(biāo)A版選修2-2第17頁，例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）其中，均為常數(shù)； 【解析】（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有；（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有；（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有. 【經(jīng)典理由】結(jié)合具體的例題，說明了

5、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的一般方法. 6.考點交匯展示： (1)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象相結(jié)合 例1.【2018屆甘肅省蘭州市西北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三一調(diào)】已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)，則下列不等式正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B (2)導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合 例2.【2018屆山東省菏澤第一中學(xué)高三上第一次月考】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù). （1）過點的切線斜率為，求實數(shù)的值； （2）當(dāng)時，求證：. 【答案】（1）（2）見解析 【解析】試題分析：(1)對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可知點A在函數(shù)f(x)圖像上，=2可求得a的值。（2）即 ，構(gòu)造函數(shù)g

6、,x>0,利用導(dǎo)數(shù)證明。 【考點分類】 熱點1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足,則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以選B. 2.已知是的導(dǎo)函數(shù)，且，則實數(shù)的值為（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由題意可得，由可得，解之得，故選B. 3.【2018屆江西省橫峰中學(xué)、鉛山一中、德興一

7、中高三上第一次月考】曲線在點處切線為，則 等于( ) A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】由題意可得,而==，選C. 【方法規(guī)律】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時，要注意以下幾點： 1. 盡可能的把原函數(shù)化為冪函數(shù)和的形式； 2. 遇到三角函數(shù)求導(dǎo)時，往往要對原函數(shù)進(jìn)行化簡，從而可以減少運(yùn)算量； 3. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，要合理地選擇中間變量. 熱點2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1.【2018屆江西省高三階段性檢測二】曲線在點處的切線方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2.曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)為（

8、） A． B． C．和 D． 【答案】C. 【解析】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗，點，均不在直線上，故選C． 3.【2017課標(biāo)1，文14】曲線在點（1，2）處的切線方程為______________． 【答案】 【解析】 【方法規(guī)律】 曲線的切線的求法： 若已知曲線過點，求曲線過點的切線則需分點是切點和不是切點兩種情況求解． (1)點是切點的切線方程為． (2)當(dāng)點不是切點時可分以下幾步完成： 第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)； 第二步：寫出過的切線方程為； 第三步：將點的坐標(biāo)代入切線方程求出； 第四步：將的值代入方程可得過點的切線方程

9、． 熱點3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 1.【2018屆山東、湖北部分重點中學(xué)高三第一次聯(lián)考】已知點P在曲線C: 上，則曲線C在P處切線的傾斜角的取值范圍是 _________. 【答案】 【解析】由，所以 2.【2017天津，文10】已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為 . 【答案】 【解析】 3.【2018屆廣東省中山市第一中學(xué)高三第一次統(tǒng)測】若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解題技巧】 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用除研究切線方程外，還有許多應(yīng)用，如： （1） 因為有些物理量，如

10、瞬時速度，瞬時加速度，瞬時功率，瞬時電流和瞬時感應(yīng)電動勢等與導(dǎo)數(shù)有著直接或間接的關(guān)系，在解題時應(yīng)緊扣這些聯(lián)系來解決問題； （2） 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍問題，解決這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，即根據(jù)題設(shè)條件，利用導(dǎo)數(shù)工具所列出所需的方程或方程組，然后加以求解即可. 【易錯點睛】 利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立或存在性問題的基本思想是轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性求七最值，在過程中，通常會用到分離變量法或者含參討論以及構(gòu)造函數(shù).此外，在分析題目描述的問題是需分析清楚到底是恒成立問題還是存在性問題. 【熱點預(yù)測】 1.【2016高考山東文數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得

11、函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由函數(shù)的圖象在兩點處的切線互相垂直可知，存在兩點處的切線斜率的積，即導(dǎo)函數(shù)值的乘積為負(fù)一. 當(dāng)時，，有，所以在函數(shù)圖象存在兩點使條件成立，故A正確；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不符合題意，故選A. 2.【2017浙江，7】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是 【答案】D 【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且由增變減時，極值點大于0，因此選D． 3.【2018屆江西省蓮塘一中高三9月】設(shè)曲線 (

12、∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為，則的值為 (　　). A. B. －1 C. D. 1 【答案】B 4. 設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 5.【2018屆湖南省邵陽市洞口一中、隆回一中、武岡二中高三上第二次月考】已知函數(shù)若直線過點,且與曲線相切,則直線的方程為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)切點為則切線方程為，從而斜率解得所以的方程為即故選C. 6.【20

13、18屆山東、湖北部分重點中學(xué)高三第一次聯(lián)考】已知曲線恰好存在兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)直線為它們的公切線，聯(lián)立可得① 求導(dǎo)可得，令可得，所以切點坐標(biāo)為，代入可得②.聯(lián)立①②可得，化簡得。令， ， 在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， 。 有兩條公切線， 方程有兩解， ，所以答案為D. 7.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為___________. 【答案】 【解析】，， 切線方程 ，即. 8.已知，為拋物線上兩點，點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A

14、的縱坐標(biāo)為_________． 【答案】. 9.【2018屆河南省南陽一中高三上第三次考】經(jīng)過原點作函數(shù)圖像的切線，則切線方程為__________． 【答案】y=0或9x+4y=0 【解析】由題可得 ．設(shè)切線的斜率為 （1）當(dāng)切點是原點時 所以所求曲線的切線方程為 （2）當(dāng)切點不是原點時，設(shè)切點是 則有 又 由①②得方程組無解，故曲線的切線方程是 故答案為 10.【2018屆江蘇省南通中學(xué)高三10月月考】已知函數(shù)，若曲線在點處的切線經(jīng)過圓：的圓心，則實數(shù)的值是________. 【答案】 【解析】由題意可得：， 且， 據(jù)此可得，切線方程為：， 圓

15、的圓心為，切線過圓心，則：. 11.已知偶函數(shù)在R上的任一取值都有導(dǎo)數(shù)，且，則曲線在處的切線的斜率為 ． 【答案】． 12.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則 ． 【答案】 【解析】由函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該點的切線的斜率可知，有點必在切線上，代入切線方程，可得，所以有． 13.已知點在曲線（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則 的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，又因為，所以，故. 14.【2018屆福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上三校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在

16、處的切線方程為． （Ⅰ）求實數(shù)的值； （Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值． 【答案】(I) 和. (II) . 【解析】試題分析: (I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,又點(1, )為切點,列出方程解出a,b的值; (II)把a(bǔ),b的值代入解析式,對函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)區(qū)間寫出函數(shù)的最值. 試題解析:(I) ， ∵函數(shù)在 處的切線方程為. ∴ 解得 所以實數(shù)的值分別為和. (II)由(I)知， ， ， 當(dāng)時，令 ，得， 令， 得, ∴ 在[，2)上單調(diào)遞增，在(2，e]上單調(diào)遞減， 在 處取得極大值這個極大值也是 的最大值. 又 ， 所以，函數(shù)在上的最大值為. - 13 -