12、知實(shí)數(shù)x,y滿足,若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個,則z=x+ay的最大值為_________.
考向四 利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題
用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題的一般步驟為：
（1）模型建立：正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這需要在學(xué)習(xí)有關(guān)例題解答時，仔細(xì)體會范例給出的模型建立方法．
（2）模型求解：畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解．
（3）模型應(yīng)用：將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計出最佳的方案．
注意：（1）在實(shí)際應(yīng)用問題中變量除受題目要求的條件制約外，可能還有一些隱含的制約條件不要忽略.
13、
（2）線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解不一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得，此時不能直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值，可用平移直線法、檢驗(yàn)優(yōu)值法、調(diào)整優(yōu)值法求解.
典例6 下表所示為三種食物的維生素含量及成本，某食品廠欲將三種食物混合，制成至少含44000單位維生素及48000單位維生素的混合物100千克，所用的食物的質(zhì)量分別為（千克），則混合物的成本最少為__________元．
維生素（單位：千克）
400
600
400
維生素（單位：千克）
800
200
400
成本（元/千克）
12
10
8
【答案】960
當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)，即千克，千克，
14、千克時，成本最少，為元．
典例7 某家具廠有方木料，五合板，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料、五合板；生產(chǎn)每個書櫥需要方木料、五合板.出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？最大利潤為多少？
【解析】設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元，則，即，.作出表示的可行域，如圖中陰影部分所示.
4．某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品需要煤4噸、電18千瓦;生產(chǎn)1噸B種產(chǎn)品需要煤1噸、電15千瓦.現(xiàn)因條件限制,該企業(yè)僅有煤10噸,并且供電局只能供電66千瓦,若生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品的利潤為10000元;生產(chǎn)1噸B種
15、產(chǎn)品的利潤是5000元,試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn),才能獲得最大利潤?
考向五 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題
1．斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的一類重要問題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問題，不過是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見模型或其變形形式.
2．距離問題常涉及點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離，熟悉這些模型有助于更好地求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值.
典例8 已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組,若x2+y2的最大值為m,最小值為n,則m-n=
A． B．
C．8
16、 D．9
【答案】B
x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,觀察圖形可知,原點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離|OD|的平方等于n,|OA|2=m,經(jīng)過計算可得m=13,n=,則m-n=,故選B.
典例9 已知x,y滿足,如果目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍為[0,2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
A．[0,] B．(-∞,]
C．(-∞,) D．(-∞,0]
【答案】C
【解析】作出表示的可行域，如圖中陰影部
17、分所示.
5．已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件,則|3x-4y-13|的最小值為_________.
1．在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是
A． B．
C． D．
2．若x,y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6,+∞) D．[4,+∞)
3．在平面直角坐標(biāo)系中，
18、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為
A．4 B．8
C．12 D．16
4．已知實(shí)數(shù)x,y滿足，若目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實(shí)數(shù)m的值為
A．6 B．5
C．4 D．3
5．設(shè)x,y滿足,若M=3x+y,N=()x-,則
A．M>N
19、 B．M=N
C．M0,b>0)的最大值為10,則a2+b2+2a的最小值為
A． B．
C． D．
7．關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，不等式(x﹣4)2+(y﹣3)2≤1所表示的區(qū)域記為N，若在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的概率為
20、
A． B．
C． D．
8．某顏料公司生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其中生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸；生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸，且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過噸、噸、噸，如果產(chǎn)品的利潤為元/噸，產(chǎn)品的利潤為元/噸，則該顏料公司一天內(nèi)可獲得的最大利潤為
A．元 B．元
C．元
21、D．元
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為邊界及內(nèi)部的任意一點(diǎn)，則的最大值為______________.
10．已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為______________.
11．若函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域，則 的取值范圍是______________.
12．已知x,y滿足約束條件(x-2)(x+2y-4)≤0,則x2+y2的最小值為______________.
13．已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則S=的取值范圍是______________.
14．已知點(diǎn)，，．若平面區(qū)域D由所有滿足的點(diǎn)組成，則D的面積為______________.
15．設(shè)變量x,y滿足約束條
22、件,目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為m,則當(dāng)2a+b=(a>0,b>0)時,+ 的最小值為______________.
16．某公司計劃2017年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問：該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
1．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ文科）設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
A．0
23、 B．1
C．2 D．3
2．（2017浙江）若，滿足約束條件，則的取值范圍是
A．[0，6] B．[0，4]
C．[6， D．[4，
3．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ文科）設(shè)滿足約束條件則的最小值是
A． B．
C． D．
4．（201
24、6浙江文科）若平面區(qū)域 夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是
A． B．
C． D．
5．（2016新課標(biāo)全國Ⅰ文科）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)
25、品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元.
6．（2016江蘇）已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 ．
7．（2017天津文科）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：
連續(xù)劇播放時長（分鐘）
廣告播放時長（分鐘）
收視人次（萬）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用，表示每周計劃播出的甲、乙兩
26、套連續(xù)劇的次數(shù)．
（Ⅰ）用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？
變式拓展
1．【答案】B
【解析】如圖，
由于不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，且其面積等于，
2．【答案】B
【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，
平移直線，可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，為6.故選B．
3．【答案】
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,易得A(3,2),B(1,4),C(,).
4．【解析】設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x噸
27、、B種產(chǎn)品y噸,能夠產(chǎn)生利潤z元,目標(biāo)函數(shù)為
由題意得滿足條件，作出該不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示：
5．【答案】10
【解析】方法一：設(shè)z=3x-4y,作出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示,
通過平移直線l:3x-4y-z=0知,當(dāng)l過點(diǎn)A(1,0)時,zmax=3；當(dāng)l過點(diǎn)C(1,)時,zmin=,
則10≤|3x-4y-13|≤,所以|3x-4y-13|的最小值為10.
方法二：因?yàn)閨3x-4y-13|=5×,所以求|3x-4y-13|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)到直線3x-4y-13=0的距離的最小值的5倍. 作出約束條件表示
28、的可行域,如方法一的圖中陰影部分所示.由圖可知,當(dāng)點(diǎn)P位于A(1,0)位置時,P到直線3x-4y-13=0的距離最小,為d==2,所以|3x-4y-13|的最小值為10.
考點(diǎn)沖關(guān)
1．【答案】B
2．【答案】D
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,
由z=x+2y,得y=x+,∴是直線y=x+在y軸上的截距,根據(jù)圖形知,當(dāng)直線y=x+過A點(diǎn)時,取得最小值.
由得x=2,y=1,即A(2,1),此時z=4,∴z≥4,故選D.
3．【答案】B
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,
該平面區(qū)域是兩個全等的等腰直角三角形,
29、所以平面區(qū)域的面積為S=
4．【答案】B
【解析】由得,作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,
5．【答案】A
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,
由此可知一定有M>N,選A.
6．【答案】C
【解析】方法一：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因?yàn)閍>0,b>0,所以由可行域得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(4,6)時，z取得最大值,所以4a+6b=10.a2+b2+2a=(a+1)2+b2-1的幾何意義是直線4a+6b=10上任意一點(diǎn)(a,b)到點(diǎn)(-1,0)的距離的平方減去1,那么其最小值是點(diǎn)(-1,0)到直線4a+6b=
30、10的距離的平方減去1,則a2+b2+2a的最小值是()2-1=.
方法二：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因?yàn)閍>0,b>0,所以
7．【答案】A
【解析】關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，面積為，不等式(x﹣4)2+(y﹣3)2≤1所表示的區(qū)域記為N，且滿足不等式組，則面積為,
故在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的概率為，故選A.
8．【答案】A
【解析】依題意，將題中數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：
每噸產(chǎn)品
每噸產(chǎn)品
染料最高用量
甲染料（單位：噸）
乙染料（單位：噸）
丙染料（單位：噸）
設(shè)該
31、公司一天內(nèi)安排生產(chǎn)產(chǎn)品噸、產(chǎn)品噸，所獲利潤為元.依據(jù)題意得目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為，欲求目標(biāo)函數(shù)的最大值，先畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示，
9．【答案】3
【解析】依題意，作出可行域，設(shè)，當(dāng)直線過點(diǎn)時，有最大值3，故填3.
10．【答案】4
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖陰影區(qū)域所示，要想取得最大值，只需取得最大值即可.觀察可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時，有最大值16，故的最大值為4.
11．【答案】
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示：
12．【答案】
13．【答案】[,4]
【解析】作出表示的平面區(qū)域，如圖中
32、陰影部分所示.
易知目標(biāo)函數(shù)S=+·,它表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與Q(,-)連線的斜率的一半再
加上，易得A(1,3)、B(3,1),所以直線QA的斜率kQA=7,直線QB的斜率kQB=,
數(shù)形結(jié)合可知,+kQB≤S≤+kQA,所以S=的取值范圍是[,4].
14．【答案】3
可得，，，則，
又直線與直線間的距離，
故D的面積為.
15．【答案】9
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.
成立).
16．【解析】設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，
由題意得，目標(biāo)函數(shù)為．
二元一次不等式組等價于，作出該二
33、元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如
圖中陰影部分所示：
如圖，作直線，即．
收益為70萬元.
直通高考
1．【答案】D
【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時z取得最大值，故，故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最值取法或值域范圍．
2．【答案】D
【解析】如圖，可行域?yàn)橐婚_放區(qū)域，所以直線過點(diǎn)時取最小值4
34、，無最大值，選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍．
3．【答案】A
【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或
35、最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.
4．【答案】B
【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
【名師點(diǎn)睛】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再根據(jù)可行域的特點(diǎn)確定取得最值的最優(yōu)解，代入計算．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯誤．
5．【答案】
【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為、件，利潤之和為元，那么由題意得約束條件 目標(biāo)函數(shù).
約束條件等價于 ①
作出二元一次不等式組①表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示.
將變形，得，作直線：并平移，當(dāng)直線經(jīng)
【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R點(diǎn),一般以客觀題的形式出現(xiàn),基本題型是給
36、出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見的結(jié)合方式有：縱截距、斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離,解決此類問題常利用數(shù)形結(jié)合.本題運(yùn)算量較大,失分的一個主要原因是運(yùn)算失誤.
6．【答案】
【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域（圖略），由圖可知原點(diǎn)到直線的距離的平方為 的最小值，計算得最小值為，原點(diǎn)到直線與的交點(diǎn) 的距離的平方為的最大值，計算得最大值為，因此的取值范圍為
【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線（一般不涉及虛線），其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函
37、數(shù)的最值或值域.
7．【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)甲、乙連續(xù)劇總的播放時間不多于600分鐘，可得，根據(jù)廣告時間不少于30分鐘，得到，根據(jù)甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍，可得，同時注意，需滿足，這一隱含條件，建立不等式組，畫出平面區(qū)域；（Ⅱ）根據(jù)的幾何意義即可求最值，同時注意，．
【解析】（Ⅰ）由已知，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為，即．
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中陰影部分內(nèi)的整點(diǎn)（包括邊界）：
（圖1） （圖2）
所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值．求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫、二移、三求，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義．常見的目標(biāo)函數(shù)有：①截距型：形如，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；②距離型：形如；③斜率型：形如．本題屬于截距型，同時應(yīng)注意實(shí)際問題中的最優(yōu)解一般是整數(shù)．
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（全國通用）2018年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 專題25 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（含解析）文
