第四章 剛體的轉動 問題與習題解答

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1、10級應用數學本1、2班《普通物理（含實驗）B》 第五版 剛體的轉動 第四章 剛體的轉動 問題與習題解答 問題：4-2、4-5、4-9 4-2 如果一個剛體所受合外力為零，其合力矩是否也一定為零？如果剛體所受合外力矩為零，其合外力是否也一定為零？ 答： 一個剛體所受合外力為零，其合力矩不一定為零，如圖a所示。剛體所受合外力矩為零，其合外力不一定為零，例如圖b所示情形。 4-5 為什么質點系動能的改變不僅與外力有關，而且也與內力有關，而剛體繞定軸轉動動能的改變只與外力矩有關，

2、而與內力矩無關？ 答： 因為合外力對質點所作的功，等于質點動能的增量；而質點系中內力一般也做功，故內力對質點系的動能的增量有貢獻。而在剛體作定軸轉動時，任何一對內力對轉軸的力矩皆為一對大小相等、方向相反的力矩，且因定軸轉動時剛體轉過的角度都一樣，故其一對內力矩所作的功，其內力功總和也為零，因而根據剛體定軸轉動的動能定理可知：內力矩對其轉動動能的增量無貢獻。 4-9 一人坐在角速度為的轉臺上，手持一個旋轉的飛輪，其轉軸垂直地面，角速度為。如果突然使飛輪的轉軸倒轉，將會發(fā)生什么情況？設轉臺和人的轉動慣量為，飛輪的轉動慣量為。 答： （假設人坐在轉臺中央，且飛輪的轉軸與轉臺的轉軸重合

3、）視轉臺、人和飛輪為同一系統。 （1）如開始時飛輪的轉向與轉臺相同，則系統相對于中心軸的角動量為： 飛輪轉軸快速倒轉后，飛輪的角速度大小還是，但方向與原來相反；如設轉臺此時的角速度為，則系統的角動量為： 在以上過程中，外力矩為零，系統的角動量守恒，所以有： 即 ，轉臺的轉速變大了。 （2）如開始時飛輪的轉向與轉臺相反，則系統相對于中心軸的角動量為： 飛輪轉軸快速倒轉后，飛輪的角速度大小還是，但方向與原來相反；如設轉臺此時的角速度為，則系統的角動量為： 在以上過程中，外力矩為零，系統的角動量守恒，所以有： 即 ，轉臺的轉速變慢了。

4、 習題：4-1、4-2、4-3、4-4、4-5、（選擇題） 4-11、4-14、4-15、4-17、4-27、4-30、4-34 4-1 有兩個力作用在一個有固定轉軸的剛體上： （1）這兩個力都平行于軸作用時，它們對軸的合力矩一定是零； （2）這兩個力都垂直于軸作用時，它們對軸的合力矩可能是零； （3）當這兩個力的合力為零時，它們對軸的合力矩也一定是零； （4）當這兩個力對軸的合力矩為零時，它們的合力也一定是零。 對上述說法，下述判斷正確的是（ B ） （A）只有（1）是正確的 （B）（1）、（2）正確，（3）、（4）錯誤

5、（C）（1）、（2）、（3）都正確，（4）錯誤 （D）（1）、（2）、（3）、（4）都正確 4-2 關于力矩有以下幾種說法： （1）對某個定軸轉動剛體而言，內力矩不會改變剛體的角加速度； （2）一對作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零； （3）質量相等、形狀和大小不同的兩個剛體，在相同力矩的作用下，它們的運動狀態(tài)一定相同。 對上述說法，下述判斷正確的是（ B ） （A）只有（2）是正確的 （B）（1）、（2）是正確的 （C）（2）、（3）是正確的 （D）（1）、（2）、（3）都是正確的

6、 4-3 均勻細棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉動，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺到豎直位置的過程中，下述說法正確的是（ C ） （A）角速度從小到大，角加速度不變 （B）角速度從小到大，角加速度從小到大 （C）角速度從小到大，角加速度從大到小 （D）角速度不變，角加速度為零 4-4 一圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的水平軸轉動，軸間摩擦不計。如圖射來兩個質量相同、速度大小相同、方向相反并在一條直線上的子彈，它們同時射入圓盤并且留在盤內，在子彈射入后的瞬間，對于圓盤和子彈系統的角動量L以及圓盤的角速度則有（ C

7、 ） 4-3圖 4-4圖 （A）L不變，增大 （B）兩者均不變 （C）L不變，減小 （D）兩者均不確定 4-5 假設衛(wèi)星環(huán)繞地球中心作橢圓運動，則在運動過程中，衛(wèi)星對地球中心的（ B ） （A）角動量守恒，動能守恒 （B）角動量守恒，機械能守恒 （C）角動量不守恒，機械能守恒 （D）角動量不守恒，動量也不守恒 （E）角動量守恒，動量也守恒

8、 4-11 用落體觀測法測定飛輪的轉動慣量，是將半徑為的飛輪支承在點上，然后在繞過飛輪的繩子的一端掛一質量為的重物，令重物以初速度為零下落，帶動飛輪轉動（如圖）。記下重物下落的距離和時間，就可算出飛輪的轉動慣量。試寫出它的計算式。（假設軸承間無摩擦） 解： （方法一）如圖，設繩子張力為,則根據轉動定律，有： 而對m來說，根據牛頓定律，有： 另有： 由上三式解出： ， m作勻加速直線運動，故下落的時間t和距離h的關系為： ， 即： 所以，飛輪的

9、轉動慣量為： （方法二）根據能量守恒定律，將地球、飛輪和m視為同一系統，且設m開始下落的位置為重力勢能的零勢能點， 則有： 另有： ，，， 故解出： 4-14 質量為和的兩物體A、B分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設兩輪的半徑分別為和，兩輪的轉動慣量分別為和，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計，繩的質量也略去不計。試求兩物體的加速度和繩的張力。 解： A、B及組合輪的受力情況

10、如右圖所示，根據牛頓運動定律及剛體的轉動定律，得： 又因為： 聯立求解，得： ， ， 4-15 如圖所示裝置，定滑輪的半徑為，繞轉軸的轉動慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質量為和的物體A、B。A置于傾角為的斜面上，它和斜面間的摩擦因數為，若B向下作加速運動時，求：（1）其下落的加速度大小；（2）滑輪兩邊繩子的張力。（設繩的質量及伸長均不計，繩與滑輪間無滑動，滑輪軸光滑） 解： 用隔離法分析A、B和定滑輪的受力，如圖（b）所示。 由牛頓定律和剛體的定軸轉動定律，得： ， ， , 而由于繩子不可伸長，故有： ， 聯立上幾式，可得：

11、 ， 4-17 一半徑為、質量為的勻質圓盤，以角速度繞其中心軸轉動，現將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數為。（1）求圓盤所受的摩擦力矩；（2）問經多少時間后，圓盤轉動才停止？ 解： （1）取面元dS為細圓環(huán)，， 所受摩擦力矩的大小為 ， 所以， （2）由角動量定理，得： ， 而 ，所以，有： 4-27 一質量為1.12kg，長為1.0m的均勻細棒，支點在棒的上端點，開始時棒自由懸掛。當以100N的力打擊它的下端點，打擊時間為0.02s時，（1）若打擊前棒是靜止的，求打擊時其角動量的變化；（2）求棒的最大偏轉角。 解： （

12、1）設打擊后細棒獲得的初角速度為，由角動量定理，得： ， 求得 所以， ； （2）細棒的上擺過程，機械能守恒： ， 解得： 4-30 如圖所示，一質量為的小球由一繩索系著，以角速度在無摩擦的水平面上，繞以半徑為的圓周運動。如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力，小球則以半徑為的圓周運動。試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功。 解： （1）因為指向轉軸O點，故其力不產生力矩，則根據角動量守恒定律，有： , 即 ， 解得： ； （2）由剛體轉動的動能定理，得其拉力所作的功為： 4-34 如圖所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉動，轉動慣量為，環(huán)的半徑為，初始的角速度為，今有一質量為的小球靜止在環(huán)內A點，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到達B、C點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？（假設環(huán)內壁光滑。） 解： 取環(huán)、小球為轉動系統，重力與轉軸平行，合外力矩為零，故根據角動量守恒定律，有： ， 取環(huán)、小球和地球為同一系統， 根據系統的機械能守恒定律，得： （或： ， 為m在B點的速率。） 解出此時環(huán)的角速度為： 小球相對于環(huán)的線速度為： 同理，小球在C點時，有： ， 解出： ， 7