金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題一集合、常用邏輯用語 第一講　集合與常用邏輯用語 Word版含解析

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1、專題一　集合、常用邏輯用語、向量、復(fù)數(shù)、 算法、合情推理、不等式及線性規(guī)劃 第一講　集合與常用邏輯用語 必記公式] 1．A∩B＝A?A?B. 2．A∪B＝A?B?A. 3．若集合A的元素有n個(gè)，則A的子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2. 重要結(jié)論] 1．四種命題間的關(guān)系 (1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系； (2)一個(gè)命題的逆命題與它的否命題同真同假． 2．充分、必要條件 設(shè)集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，則有 從邏輯觀點(diǎn)看 從集合觀點(diǎn)看

2、 p是q的充分不必要條件(p?q，qp) AB p是q的必要不充分條件(q?p，pq) BA p是q的充要條件(p?q) A＝B p是q的既不充分也不必要條件 (pq，qp) A與B互不包含 　　3.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題p∨q，只要p，q有一真，即為真；命題p∧q，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對(duì)立的命題． (2)命題p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)． 4．全稱命題與特稱命題 (1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)． (2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否

3、定綈p：?x∈M，綈p(x)． 失分警示] 1．忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分類討論時(shí)要注意“?優(yōu)先”的原則． 2．集合含義理解錯(cuò)誤：集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}中代表元素意義不同，前兩個(gè)是數(shù)集，第三個(gè)是點(diǎn)集． 3．判斷充分條件和必要條件時(shí)，不能準(zhǔn)確判斷哪個(gè)是“條件”，哪個(gè)是“結(jié)論”． 4．對(duì)全稱命題和特稱命題進(jìn)行否定時(shí)，忘記“?”與“?”的變化；混淆命題的否定與否命題． 考點(diǎn)　集合的概念及運(yùn)算　　 典例示法 題型1　集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算 典例1　　(1)2016·四川高考]設(shè)集合A＝{x|－2

4、≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析]　由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1，0,1,2}，故選C. 答案]　C (2)2015·浙江高考]已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1

5、∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．77 B．49 C．45 D．30 解析]　集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn))，即圖中圓內(nèi)及圓上的整點(diǎn)．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn))，即圖中正方形ABCD內(nèi)及正方形ABCD上的整點(diǎn)．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1

6、B1C1D1內(nèi)及正方形A1B1C1D1上除去四個(gè)頂點(diǎn)外的整點(diǎn)，共7×7－4＝45個(gè)．故選C. 答案]　C 解答集合問題的策略 (1)先正確理解各個(gè)集合的含義，弄清集合元素的屬性；再依據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)求解，一般的策略為： ①若給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解． ②若給定的集合是點(diǎn)集，用圖象法求解． ③若給定的集合是抽象集合，常用Venn圖求解． 提醒：忽視空集的討論，若遇到A?B，A∩B＝A時(shí)，要考慮A為空集的可能性． (2)解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)： ①緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，

7、并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在； ②用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)． 考點(diǎn)　命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞　　 典例示法 典例3　　(1)2014·陜西高考]原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析]　先證原命題為真：當(dāng)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a－bi，則|z1|＝|z2|＝，∴

8、原命題為真，故其逆否命題為真；再證其逆命題為假：取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共軛復(fù)數(shù)，∴其逆命題為假，故其否命題也為假．故選B. 答案]　B (2)2015·河南統(tǒng)考]已知命題p：?x0∈R，使sinx0＝；命題q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0，給出下列結(jié)論： ①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(綈q)”是假命題；③命題“(綈p)∨q”是真命題；④命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題． 其中正確的結(jié)論是(　　) A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③ 解析]　∵>1，∴命題p是假命題． ∵x2＋x＋1＝2＋≥>0，∴命題q是真命

9、題，由真值表可以判斷“p∧q”為假，“p∧(綈q)”為假，“(綈p)∨q”為真，“(綈p)∨(綈q)”為真，所以只有②③正確，故選A. 答案]　A 命題真假的判定方法 (1)一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識(shí)辨別． (2)四種命題真假的判斷依據(jù)：一個(gè)命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個(gè)命題的真假無關(guān)． (3)形如p∨q，p∧q，綈p命題的真假根據(jù)真值表判定． (4)全稱命題與特稱(存在性)命題真假的判定： ①全稱命題：要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立，要判定其為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例即可； ②特稱(存在性)命題：要判定一個(gè)

10、特稱(存在性)命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)成立即可，否則，這一特稱(存在性)命題就是假命題． 針對(duì)訓(xùn)練 1．2014·遼寧高考]設(shè)a，b，c是非零向量．已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中真命題是(　　) A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q) 答案　A 解析　由題意知命題p為假命題，命題q為真命題，所以p∨q為真命題．故選A. 2．2016·貴州七校聯(lián)考]以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不

11、小于1”的逆命題； ②存在正實(shí)數(shù)a，b，使得lg (a＋b)＝lg a＋lg b； ③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定是“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”； ④在△ABC中，A

12、是真命題；對(duì)于④，根據(jù)題意，結(jié)合邊角的轉(zhuǎn)換，以及正弦定理，可知A

13、件p，所以p是q的必要不充分條件，選A. 答案]　A (2)2016·唐山統(tǒng)考]“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析]　∵方程＋＝1表示雙曲線，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A. 答案]　A (2)題中將“k<9”改為“k>9”，將“雙曲線”改為“橢圓”，那么正確答案是(　　) 答案　B 解析　方程＋＝1表示橢圓， 則即99是方程＋＝1為橢圓的必要不充分條件，故選B.

14、 判斷充分、必要條件的方法及關(guān)注點(diǎn) (1)充分、必要條件的判斷方法 先判斷p?q與q?p是否成立，然后再確定p是q的什么條件． (2)判斷充分、必要條件時(shí)的關(guān)注點(diǎn) ①要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. ②要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行，可以嘗試通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明． ③要注意轉(zhuǎn)化：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，那么p是q的充要條件． 針對(duì)訓(xùn)練 1．2015·天津高考]設(shè)x∈R，則“|

15、x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　|x－2|<1?－10?x<－2或x>1. 由于(1,3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)， 所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要條件． 2．2015·北京高考]設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α.則“m∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　若m?α

16、且m∥β，則平面α與平面β不一定平行，有可能相交；而m?α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件． 全國卷高考真題調(diào)研] 1．2016·全國卷Ⅰ]設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意得A＝{x|12n，則綈p為(　　) A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n 答案　C 解析　

17、命題p是一個(gè)特稱命題，其否定是全稱命題，故選C. 3．2014·全國卷Ⅰ]不等式組的解集記為D.有下面四個(gè)命題： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2； p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中的真命題是(　　) A．p2，p3 B．p1，p2 C．p1，p4 D．p1，p3 答案　B 解析　不等式組表示的平面區(qū)域D如下圖陰影區(qū)域所示． 設(shè)z＝x＋2y，作出基本直線l0：x＋2y＝0，經(jīng)平移可知直線l：z＝x＋2y經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)時(shí)z取得最小值0，無最大值．對(duì)于命題p1

18、：由于z的最小值為0，所以?(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立，因此命題p1為真命題；由于?(x，y)∈D，x＋2y≥0，故?(x，y)∈D，x＋2y≥2，因此命題p2為真命題；由于z＝x＋2y的最小值為0，無最大值，故命題p3與p4錯(cuò)誤，故選B. 其它省市高考題借鑒] 4．2016·浙江高考]命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n

19、的概念可知，選D. 5．2015·天津高考]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，則集合A∩?UB＝(　　) A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 答案　A 解析　由已知得?UB＝{2,5,8}，∴A∩?UB＝{2,5}，故選A. 6．2015·安徽高考]設(shè)p：11，則p是q成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　q：2x>1?x>0，且(1,2)?(0，＋

20、∞)，所以p是q的充分不必要條件． 一、選擇題 1．2016·鄭州質(zhì)檢]設(shè)全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，則?U(A∩B)＝(　　) A．{1,2,3} B．{1,2,4} C．{1,3,4} D．{2,3,4} 答案　A 解析　因?yàn)閁＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以?U(A∩B)＝{1,2,3}，故選A. 2．2016·沈陽質(zhì)檢]設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{－1,1}，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A∩B＝{－1} B．(?RA)∪B＝(－∞，0) C．A∪B＝(0，＋∞) D．(?RA

21、)∩B＝{－1} 答案　D 解析　集合A＝{x|x>0}，從而A、C錯(cuò)，?RA＝{x|x≤0}，則(?RA)∩B＝{－1}，故選D. 3．2015·福建高考]若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虛數(shù)單位)，B＝{1，－1}，則A∩B等于(　　) A．{－1} B．{1} C．{1，－1} D．? 答案　C 解析　因?yàn)锳＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故選C. 4．2015·遼寧五校聯(lián)考]設(shè)集合M＝{x|x2＋3x＋2<0}，集合N＝，則M∪N＝(　　) A．{x|x≥－2} B．{x|x>－1} C．{x|x<－1}

22、 D．{x|x≤－2} 答案　A 解析　因?yàn)镸＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－20，∴“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要條件，故選A. 6．2016·西安質(zhì)檢]已知命題p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，則(　　) A．p是假命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0

23、B．p是假命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p是真命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0 答案　B 解析　本題主要考查命題的真假判斷、命題的否定． ∵3x>0，∴3x＋1>1，則log2(3x＋1)>0， ∴p是假命題；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故應(yīng)選B. 7．2016·廣州模擬]下列說法中正確的是(　　) A．“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件 B．若p：?x0∈R，x－x0－1>0，則綈p：?x∈R，x2－x－1<0 C．若p∧q為假命題，則p，q均為假

24、命題 D．命題“若α＝，則sinα＝”的否命題是“若α≠，則sinα≠” 答案　D 解析　本題主要考查命題的相關(guān)知識(shí)及充要條件．f(0)＝0，函數(shù)f(x)不一定是奇函數(shù)，如f(x)＝x2，所以A錯(cuò)誤；若p：?x0∈R，x－x0－1>0，則綈p：?x∈R，x2－x－1≤0，所以B錯(cuò)誤；p，q只要有一個(gè)是假命題，則p∧q為假命題，所以C錯(cuò)誤；否命題是將原命題的條件和結(jié)論都否定，D正確． 8．下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①對(duì)于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1>0； ②m＝3是直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂

25、直的充要條件； ③已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為(4,5)，則線性回歸方程為＝1.23x＋0.08； ④若實(shí)數(shù)x，y∈－1,1]，則滿足x2＋y2≥1的概率為. A．1 B．3 C．4 D．5 答案　A 解析　①錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)是綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②錯(cuò)，當(dāng)m＝0時(shí)，兩直線也垂直，所以m＝3是兩直線垂直的充分不必要條件；③正確，將樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)代入，滿足方程；④錯(cuò)，實(shí)數(shù)x，y∈－1,1]表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，而x2＋y2<1所表示的平面區(qū)域的面積為π，所以滿足x2＋y2≥1的概率為. 9．給定下列四個(gè)命題： 命

26、題p：當(dāng)x>0時(shí)，不等式ln x≤x－1與ln x≥1－等價(jià)； 命題q：不等式ex≥x＋1與ln (x＋1)≤x等價(jià)； 命題r：“b2－4ac≥0”是“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有極值點(diǎn)”的充要條件； 命題s：若對(duì)任意的x∈，不等式a<恒成立，則a≤. 其中為假命題的是(　　) A．(綈s)∧p B．(綈q)∧s C．(綈r)∧p D．綈(q∧p) 答案　A 解析　由>0，ln x≤x－1，得ln ≤－1，即ln x≥1－，故命題p為真命題；由于x的取值范圍不同，故命題q是假命題；當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，故命題r是假命題；設(shè)h(

27、x)＝，由于函數(shù)h(x)＝在上是減函數(shù)，故>，a≤，即命題s是真命題．根據(jù)復(fù)合命題的真值表可知選A. 10．2016·武昌調(diào)研]“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與充要條件．當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝|x|在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝(－ax＋1)x＝－ax，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|

28、的圖象大致如圖： 函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上有增有減，從而a≤0是函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的充要條件，故選C. 二、填空題 11．2015·山東高考]若“?x∈，tanx≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為________． 答案　1 解析　由已知可得m≥tanx恒成立．設(shè)f(x)＝tanx，顯然該函數(shù)為增函數(shù)，故f(x)的最大值為f＝tan＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即實(shí)數(shù)m的最小值為1. 12．2016·貴陽監(jiān)測(cè)]已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有兩個(gè)元素的子集，且滿足下列三個(gè)條件：①若a1∈A，則a2∈

29、A；②若a3?A，則a2?A；③若a3∈A，則a4?A.則集合A＝________.(用列舉法表示) 答案　{a2，a3} 解析　若a1∈A，則a2∈A，則由若a3?A，則a2?A可知，a3∈A，假設(shè)不成立；若a4∈A，則a3?A，則a2?A，a1?A，假設(shè)不成立，故集合A＝{a2，a3}． 13．已知命題p：實(shí)數(shù)m滿足m2＋12a2<7am(a>0)，命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為________． 答案　 解析　由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0. 由＋＝1表示

30、焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得2－m>m－1>0，解得1