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1、第51練 空間點、線、面的位置關(guān)系
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)掌握平面的性質(zhì),能應(yīng)用這些性質(zhì)判斷線面、面面的位置關(guān)系;(2)會利用定義判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系.
訓(xùn)練題型
判斷點、線、面的位置關(guān)系.
解題策略
(1)借助幾何體,將抽象問題形象化;(2)巧用反證法、排除法、特殊位置法化難為易.
一、選擇題
1.已知平面α與平面β、γ都相交,則這三個平面可能的交線有( )
A.1條或2條 B.2條或3條
C.1條或3條 D.1條或2條或3條
2.已知直線l和平面α,無論直線l與平面α具有怎樣的位置關(guān)系,在平面α內(nèi)總存在一條直線與直線l( )
A.相交 B.平行
C.垂直
2、D.異面
3.(2017·蚌埠質(zhì)檢)已知l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是( )
A.若l1⊥l2,l1⊥l3,則l2∥l3
B.若l1⊥l2,l2∥l3,則l1⊥l3
C.若l1∥l2,l2∥l3,則l1,l2,l3共面
D.若l1,l2,l3共點,則l1,l2,l3共面
4.平面α外有兩條直線m和n,如果m和n在平面α內(nèi)的投影分別是m1和n1,給出下列四個命題:①m1⊥n1?m⊥n;②m⊥n?m1⊥n1;③m1與n1相交?m與n相交或重合;④m1與n1平行?m與n平行或重合.其中不正確的命題個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3、
5.(2016·江門模擬)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB1,BC1的中點.下列結(jié)論中,正確的是( )
A.EF⊥BB1 B.EF∥平面ACC1A1
C.EF⊥BD D.EF⊥平面BCC1B1
6.(2016·青島平度三校上學(xué)期期末)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F(xiàn),且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A-BEF的體積為定值
D.△AEF的面積與△BEF的面積相等
7.有下列命題:
①如果兩個平面有三個不共線的公共點,則這兩個平面重合;
4、
②若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α;
③若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任一直線平行;
④如果兩條平行線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行;
⑤若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任一直線都沒有公共點.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
8.(2016·上饒一模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都等于2,D在AC1上,F(xiàn)為BB1的中點,且FD⊥AC1,有下述結(jié)論:
①AC1⊥BC;
②=1;
③平面FAC1⊥平面ACC1A1;
④三棱錐D-ACF的體積為.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為(
5、 )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空題
9.如圖所示,正方體的棱長為1,B′C∩BC′=O,則AO與A′C′所成角的度數(shù)為________.
10.α,β是兩平面,AB,CD是兩條線段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一個條件,就能得出BD⊥EF,現(xiàn)有下列條件:
①AC⊥β;②AC與α,β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.其中能成為增加條件的序號是________.
11.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,給出以下幾個命題:
①設(shè)a⊥b,b⊥c,則a∥c;
②若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則
6、a,c也是異面直線;
③若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交.
其中真命題的個數(shù)是________.
12.已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),M分別是線段AB、AD、AA1的中點,又P、Q分別在線段A1B1、A1D1上,且A1P=A1Q=x(0
7、少有一條直線與直線l垂直;當(dāng)直線l?平面α?xí)r,在平面α內(nèi)至少有一條直線與直線l垂直;當(dāng)直線l與平面α相交時,在平面α內(nèi)至少有一條直線與直線l垂直,所以無論直線l與平面α具有怎樣的位置關(guān)系,在平面α內(nèi)總存在一條直線與直線l垂直.]
3.B [兩條直線都和第三條直線垂直,這兩條直線不一定平行,故選項A不正確;一條直線垂直于兩條平行直線中的一條,則它也垂直于另一條,故B正確;三條直線相互平行,這三條直線不一定共面,如三棱柱的三條側(cè)棱所在的直線,故C不正確;三條直線相交于一點,這三條直線不一定共面,如三棱錐的三條側(cè)棱所在的直線,故D不正確.]
4.D [如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
8、AD1,AB1,B1C,A1B在底面A1B1C1D1上的投影分別是A1D1,A1B1,B1C1,A1B1.因為A1D1⊥A1B1,而AD1不垂直于AB1,故①不正確;因為AD1⊥B1C,而A1D1∥B1C1,故②不正確;因為A1D1與A1B1相交,而AD1與A1B異面,故③不正確;因為A1D1∥B1C1,而AD1與B1C異面,故④不正確.]
5.B [如圖所示,取BB1的中點M,連接ME,MF,延長ME交AA1于P,延長MF交CC1于Q,
∵E,F(xiàn)分別是AB1,BC1的中點,
∴P是AA1的中點,Q是CC1的中點,
從而可得E是MP的中點,F(xiàn)是MQ的中點,∴EF∥PQ.
又P
9、Q?平面ACC1A1,EF?平面ACC1A1,
∴EF∥平面ACC1A1.故選B.]
6.D [因為AC⊥平面BDD1B1,
BE?平面BDD1B1,
所以AC⊥BE,故A正確;
根據(jù)線面平行的判定定理,故B正確;
因為三棱錐的底面△BEF的面積是定值,且點A到平面BDD1B1的距離是定值,所以其體積為定值,故C正確;
很顯然,點A和點B到EF的距離不一定是相等的,故D錯誤.]
7.A [①正確;②有可能相交,故錯誤;③有可能異面,故錯誤;④有可能線在面內(nèi),故錯誤;⑤正確,因此正確命題的個數(shù)為2,故選A.]
8.C [BC⊥CC1,但BC不垂直于AC,故BC不垂直于平面ACC
10、1A1,所以AC1與BC不垂直,故①錯誤;
連接AF,C1F,可得AF=C1F=.
因為FD⊥AC1,
所以可得D為線段AC1的中點,
故②正確;
取AC的中點為H,連接BH,DH,
因為該三棱柱是正三棱柱,
所以CC1⊥底面ABC,
因為BH?底面ABC,所以CC1⊥BH,
因為底面ABC為正三角形,
可得BH⊥AC,
又AC∩CC1=C,
所以BH⊥側(cè)面ACC1A1.
因為D和H分別為AC1,AC的中點,
所以DH∥CC1∥BF,
DH=BF=CC1,
可得四邊形BFDH為平行四邊形,所以FD∥BH,
所以可得FD⊥平面ACC1A1,
因為FD?平面
11、FAC1,
所以平面FAC1⊥平面ACC1A1,
故③正確;
VD-ACF=VF-ADC=·FD·S△ACD=××(×1×2)=,故④正確.故選C.]
9.30°
解析 ∵A′C′∥AC,∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC?平面BB′C′C,AB⊥平面BB′C′C,
∴OC⊥AB.又OC⊥OB,AB∩BO=B,
∴OC⊥平面ABO.又AO?平面ABO,
∴OC⊥OA.在Rt△AOC中,OC=,AC=,sin∠OAC==,∴∠OAC=30°.
即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.
10.①③
解析 由題意得,AB∥CD,∴A,B,C,D四點共面,
①中,∵
12、AC⊥β,EF?β,∴AC⊥EF,
又∵AB⊥α,EF?α,∴AB⊥EF,
∵AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABCD,
又∵BD?平面ABCD,∴BD⊥EF,故①正確;
②中,由①可知,若BD⊥EF成立,則有EF⊥平面ABCD,則有EF⊥AC成立,而AC與α,β所成角相等無法得到EF⊥AC,故②錯誤;
③中,由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知EF⊥AC,由①可知③正確;
④中,仿照②的分析過程可知④錯誤,故答案為①③.
11.0
解析 因為a⊥b,b⊥c,所以a與c可以相交,平行,異面,故①錯.
因為a,b異面,b,c異面,則a,c可能異面,相交,平行,故②錯.
由a,b相交,b,c相交,則a,c可以異面,相交,平行,故③錯.
12.④
解析 連接BD,B1D1,
∵A1P=A1Q=x,
∴PQ∥B1D1∥BD∥EF,
易證PQ∥平面MEF,
又平面MEF∩平面MPQ=l,∴PQ∥l,l∥EF,
∴l(xiāng)∥平面ABCD,故①成立;
又EF⊥AC,∴l(xiāng)⊥AC,故②成立;
∵l∥EF∥BD,
∴易知直線l與平面BCC1B1不垂直,故③成立;
當(dāng)x變化時,l是過點M且與直線EF平行的定直線,故④不成立.