高三復(fù)習(xí)中如何串點(diǎn)成線

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1、高三復(fù)習(xí)中如何“串點(diǎn)”成“線” —————從一道高考題談起 江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 金鵬215011 然而，我們需要得到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的課堂，卻成為了“知識(shí)中轉(zhuǎn)站”（單向傳授）、“思維屠宰場(chǎng)”（機(jī)械訓(xùn)練）；小學(xué)就開(kāi)始華羅庚數(shù)學(xué)、奧數(shù)培訓(xùn)，如此云云種種，天天都在數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)還是學(xué)不好。另外，課業(yè)負(fù)擔(dān)重、機(jī)械的訓(xùn)練、睡眠時(shí)間不足、可自由支配時(shí)間太少……不尊重學(xué)生，何來(lái)學(xué)習(xí)的愉快？肯學(xué)、想學(xué)、樂(lè)學(xué)、善學(xué)……何談創(chuàng)新型人才培養(yǎng)？ 　　有人撰文提出，我國(guó)數(shù)學(xué)教育的不足也是明顯的。從數(shù)學(xué)教育內(nèi)部看，其中最主要的是教學(xué)沒(méi)有真正抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，常常糾纏在細(xì)枝末節(jié)上，存在脫離數(shù)學(xué)本

2、源的現(xiàn)象，學(xué)生訓(xùn)練得太多太苦，時(shí)間、精力投入太大，教學(xué)效益不理想。具體地，以下問(wèn)題是主要的。 　　1、數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然”，強(qiáng)加于人，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動(dòng)機(jī)都有不利影響； 　　2、缺乏問(wèn)題意識(shí)，解答“結(jié)構(gòu)良好”的問(wèn)題多引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題少，對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題的能力培養(yǎng)不力； 　　3、重結(jié)果輕過(guò)程，結(jié)論記憶多關(guān)注知識(shí)背景和應(yīng)用少，“掐頭去尾燒中段”，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過(guò)程不完整； 　　4、重解題技能技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，導(dǎo)致機(jī)械模仿多獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高； 　　5、“講邏輯而不講思想”，強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)多關(guān)注基本概念、核心數(shù)學(xué)思想少，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利

3、。 克里希那穆提：“教育的真正意義，在于培養(yǎng)你的智慧，借著它找出問(wèn)題的答案。你知道智慧是什么？它是一種無(wú)限的包容力，允許你自由地思想；沒(méi)有恐懼，沒(méi)有公式，然后你才能發(fā)現(xiàn)什么是真實(shí)的、正確的事。”《一生的學(xué)習(xí)》P.18 我們的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)根本就沒(méi)有任何興趣可言！在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)道路上，總是磕磕碰碰、傷痕累累、淚流滿(mǎn)面、曲折前行。沒(méi)有興趣可言，何談學(xué)好，更何談應(yīng)用？有人認(rèn)為，我們需要提高練習(xí)的有效性、針對(duì)性，多以中高檔題為主。這種觀點(diǎn)，適用應(yīng)試教育的數(shù)學(xué)教學(xué)策略，可稱(chēng)為寶典、秘笈。然而，這還是沒(méi)有脫離數(shù)學(xué)的取向——“數(shù)學(xué)，作為人類(lèi)思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)倪壿嬐评砑皩?duì)完美

4、境界的追求?！? 　　很現(xiàn)實(shí)地說(shuō)，我們學(xué)了數(shù)學(xué)究竟什么用呢？很多學(xué)生在學(xué)習(xí)期間，是感受不到的。只聽(tīng)說(shuō)，“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”，其實(shí)什么都怕。我們也沒(méi)有足夠的生活空間與時(shí)間及資本去想到數(shù)學(xué)的真理何在。 每年有大量題都能在課本中找到“影蹤”，如2013年高考有8成以上的題取自課本或由課本題改編。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)要全面、系統(tǒng)掌握。要“回歸”近幾年的高考題。應(yīng)重視解題思路的訓(xùn)練、提高運(yùn)算求解能力。一般情況下，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間有一年的時(shí)間，在這一年的時(shí)間里，各種基礎(chǔ)題、中檔題及它們的變式題也至少做過(guò)三、四遍了。而高考卷中基礎(chǔ)題、中檔題占了百分之八十以上，一百六十分的試卷（江蘇高考卷）中，基礎(chǔ)題、中

5、檔題就占了一百三十分左右。而在高考中得分在一百三十分以上的學(xué)生是很少的。相同類(lèi)型的題如果將某些部分進(jìn)行改造，學(xué)生不能保證會(huì)做……筆者在教高三時(shí)常常提醒自己，如何使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？多年來(lái)的體會(huì)是，將那些看似孤立的題所形成的“點(diǎn)”有機(jī)地串成一條“線”， 是提高復(fù)習(xí)效率的一個(gè)重要方法。 一道高考題：已知函數(shù)為上的增函數(shù)，則的取值范圍是 （2006年北京高考第5題）。 這道題一出現(xiàn)，立時(shí)風(fēng)靡全國(guó)，幾乎所有的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料都會(huì)選它。這道題主要考察兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：基本初等函數(shù)的單調(diào)性；分段函數(shù)中每個(gè)函數(shù)的單調(diào)性與整個(gè)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系（后文簡(jiǎn)稱(chēng)【問(wèn)題1】）。本人在講評(píng)這

6、道題時(shí)，力爭(zhēng)將這個(gè)問(wèn)題放大，“放虎歸山”讓它牽出一串的問(wèn)題，集中進(jìn)行解決。 1. 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的深入理解 首先回顧函數(shù)單調(diào)性的概念（略），給出題組一。 題組一 判斷下列說(shuō)法是否正確: （1）若定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)； （2）若定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù). 此題是課本上的原題（蘇教版2007版，第7題），筆者把原題的前后次序進(jìn)行了調(diào)整。 它對(duì)單調(diào)性的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的研究：如果一個(gè)函數(shù)的定義區(qū)間被一分為二，函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上是相同的單調(diào)性

7、，還不能保證這個(gè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上具有一致的單調(diào)性，為了保證這個(gè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上具有一致的單調(diào)性，在兩個(gè)區(qū)間的銜接處的函數(shù)值要有一定的大小關(guān)系，比如本題（1）就可以作出如下【圖1】的反例圖行，而第（2）題因?yàn)橐ＷC在區(qū)間銜接點(diǎn)處的函數(shù)值要相同，因此，圖像應(yīng)該是如【圖2】所示是連續(xù)的。 2. 相似情景下的變式訓(xùn)練，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)同類(lèi)問(wèn)題的解決方法的深刻理解 題組一從抽象函數(shù)的角度對(duì)【問(wèn)題1】做了初步的分析，為了讓學(xué)生有更深入的理解，還要以許多具體的函數(shù)作為載體，在各種變式題中強(qiáng)化對(duì)概念的本質(zhì)理解。 題組二 （1）已知函數(shù)且在上為減函數(shù)，求的取值范圍；

8、 （2）已知函數(shù)且在上為減 函數(shù)，求的取值范圍； (3) 已知函數(shù)且在上為增函數(shù)，求的取值范圍； （4）已知函數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足，且為遞增數(shù)列，求的取值范圍。 本題組的前三道題分別以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)為工具，對(duì)【問(wèn)題1】進(jìn)行了研究，它是對(duì)題組一的討論的繼續(xù)：從抽象到具體，從問(wèn)題的正面到知識(shí)的逆過(guò)程。在講解時(shí)要講清兩點(diǎn)：要保證函數(shù)整體上是增（或減），首先要保證每個(gè)函數(shù)在自身所在的定義區(qū)間上是一致的增（或減）；其次，兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間銜接點(diǎn)處的函數(shù)值要有恰當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系。 對(duì)于第（4）小題，它是一道用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題的典型題，但是很

9、容易出錯(cuò)。如果借用上面三題的解決思路，會(huì)得到以下錯(cuò)誤的解法：得。但是數(shù)列的自變量是取整點(diǎn)的，為了保證數(shù)列是增數(shù)列，函數(shù)及一定要保證是增函數(shù)；另外，在銜接處，因?yàn)樽宰兞坎皇沁B續(xù)的，只需保證函數(shù)在處的值比函數(shù)在處的值小即可，因此，答案應(yīng)為。 3. 從更廣闊的視角再研究【問(wèn)題1】 對(duì)于【問(wèn)題1】，題組二是從具體函數(shù)的角度對(duì)它進(jìn)行了討論，意猶未盡，我們的視野還可以再開(kāi)闊些。 單調(diào)性揭示了自變量間的大小關(guān)系與相應(yīng)函數(shù)值間的大小關(guān)系之間的聯(lián)系，可以用下面的關(guān)系圖來(lái)表示 單調(diào)性 的大小 對(duì)應(yīng)的大小 以抽象函數(shù)為背景繼續(xù)

10、討論函數(shù)的單調(diào)性，已知一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，又已知函數(shù)值的大小，可以得到自變量的大小。將單調(diào)性的概念與【問(wèn)題1】相聯(lián)系可以引入題組三。 題組三 （1）減函數(shù)定義在上，且是奇函數(shù)，且，求的取值范圍； （2）設(shè)定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，求的取值范圍； （3）設(shè)定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，求的取值范圍。 第（1）小題是為后面兩小題作鋪墊的，在考察第（2）小題時(shí)，先得到，此時(shí)，問(wèn)題出現(xiàn)了！與它們是在區(qū)間上還是在區(qū)間上？是否需要討論？為了解決這個(gè)問(wèn)題，首先利用奇函數(shù)的性質(zhì)：奇函數(shù)在自變量關(guān)于0對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性

11、是相同的，函數(shù)在上也是遞減的。但是問(wèn)題到此還是沒(méi)有完全解決，如果出現(xiàn)了如【圖3】所示的情況，這樣就不能認(rèn)為函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，還需繼續(xù)討論與在不同區(qū)間的情況。但進(jìn)一步考察【圖3】可以發(fā)現(xiàn)，在處有了兩個(gè)不同的函數(shù)值，這與函數(shù)的定義不符：函數(shù)不能出現(xiàn)一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值的情況，因此，【圖3】的情況是不存在的，只能有如【圖4】的情況成立，后面的解決方法就與第（1）小題完全相同了。然后再與題組1的兩個(gè)問(wèn)題聯(lián)系，以鞏固對(duì)【問(wèn)題1】的認(rèn)識(shí)。 第（3）小題，利用偶函數(shù)的性質(zhì)：偶函數(shù)在自變量關(guān)于0對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性是相反的?？芍?，函數(shù)在上是遞增的。以下提供兩種常見(jiàn)的解法。 解法一：分別討論與

12、在區(qū)間，的不同情況，共有四種可能性； 解法二：因?yàn)榕己瘮?shù)具有性質(zhì)，得， 得。 要讓學(xué)生在其頭腦中形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師要善于將類(lèi)型相似的題，也就是通常說(shuō)的分散的一些“點(diǎn)”用恰當(dāng)?shù)闹R(shí)鏈條將它們串成“線”。其實(shí)，這個(gè)道理許多教師都清楚，要在教學(xué)過(guò)程中真正做好是不容易的，筆者的體會(huì)是，有兩點(diǎn)是至關(guān)重要的，第一：選的題要有典型性；第二：要選好“鏈條”，最好的“鏈條”是基本概念和基本方法。因?yàn)?，?shù)學(xué)中的各個(gè)基本概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)問(wèn)題的最基本的細(xì)胞，而基本方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最重要的鑰匙。它們也是高考考察的重點(diǎn)。再回顧【問(wèn)題1】的解決策略，它經(jīng)歷了抽象函數(shù)到具體函數(shù)再到抽象函數(shù)的過(guò)程，在過(guò)程中緊緊圍繞函數(shù)的單調(diào)性的概念進(jìn)行研究，取得了較好的效果。