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1、
第十章 計數(shù)原理
第1講
分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
一、選擇題
1．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有( )
A
B
C
D
A．72種 B．48種
C．24種 D．12種
解析 先分兩類：一是四種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，
D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24種涂法；二是用三種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝2
2、4種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72種．
答案 A
2．如圖，用6種不同的顏色把
圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域
不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有( )．
A．400種 B．460種
C．480種 D．496種
解析 從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(種)，故選C.
答案 C
3．某省高中學校自實施素質(zhì)教育以來，學生社團
3、得到迅猛發(fā)展，某校高一新生中的五名同學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團．且同學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為 ( )．
A．72 B．108 C．180 D．216
解析 設五名同學分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況：
(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有C種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個社團中，有CA種
4、方法， 故共有CCA種參加方法；
(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有C種方法，甲與丁、戊分配到其他三個社團中有A種方法，這時共有CA種參加方法；
綜合(1)(2)，共有CCA＋CA＝180種參加方法．
答案 C
4．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有( )
A．8種 B．9種
C．10種 D．11種
解析 分四步完成，共有3×3×1×1＝9種．
答案 B
5．從6人中選4人分別到
5、巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 ( )．
A．300種 B．240種 C．144種 D．96種
解析 甲、乙兩人不去巴黎游覽情況較多，采用排除法，符合條件的選擇方案有CA－CA＝240.
答案 B
6．4位同學從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有( )．
A．12種 B．24種 C．30種 D．36種
解析 分三步，第一步先從4位同學中選2人選修課程甲．
6、共有C種不同選法，第二步給第3位同學選課程，有2種選法．第三步給第4位同學選課程，也有2種不同選法．故共有C×2×2＝24(種)．
答案 B
二、填空題
7．將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)的形式隨機排列，設Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1＜N2＜N3的所有排列的個數(shù)是________．(用數(shù)字作答)
解析 由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為AA＝60；剩余的三個數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二
行的排法種數(shù)為AA＝4，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240.
答案 240
8．數(shù)字1,2,3，…，9這九個數(shù)
7、字填寫在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當數(shù)字4固定在中心位置時，則所有填寫空格的方法共有________種．
解析 必有1、4、9在主對角線上，2、3只有兩種不同的填法，對于它們的每一種填法，5只有兩種填法．對于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計數(shù)原理知共有22×3＝12種填法．
答案 12
9．如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個．
解析 當相同的數(shù)字不是1時，有C個；當相同的數(shù)字是1時，共有CC個，由分類加法計數(shù)原
8、理得共有“好數(shù)”C＋CC＝12個．
答案 12
10．給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：
由此推斷，當n＝6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有________種．(結(jié)果用數(shù)值表示)
答案 21；43
三、解答題
11．如圖所示三組平行線分別有m、n、k條，在此圖形中
(1)共有多少個三角形？
(2)共有多少個平行四邊形？
解 (1)每個三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應的，由分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個三角形．
9、
(2)每個平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應的，由分類和分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成CC＋CC＋CC個平行四邊形．
12．設集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐標平面上的點，a，b∈M.
(1)P可以表示多少個平面上的不同的點？
(2)P可以表示多少個第二象限內(nèi)的點？
(3)P可以表示多少個不在直線y＝x上的點？
解 (1)分兩步，第一步確定橫坐標有6種，第二步確定縱坐標有6種，經(jīng)檢驗36個點均不相同，由分步乘法計數(shù)原理得N＝6×6＝36(個)．
(2)分兩步，第一步確定橫坐標有3種，第二步確定縱坐標有2種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得N＝3×2＝6個
10、．
(3)分兩步，第一步確定橫坐標有6種，第二步確定縱坐標有5種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得N＝6×5＝30個．
13．現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一個人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？
解 可將星期一、二、三、四、五分給5個人，相鄰的數(shù)字不分給同一個人．
星期一：可分給5人中的任何一人，有5種分法；
星期二：可分給剩余4人中的任何一人，有4種分法；星期三：可分給除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4種分法；
同理星期四和星期五都有4種不同的分法，由分步計數(shù)原理共有5×4×4×4×4＝1 28
11、0種不同的排法．
14．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？
(2)若B中的元素0必無原象，這樣的f有多少個？
(3)若f滿足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，這樣的f又有多少個？
解 (1)顯然對應是一一對應的，即為a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個)．
(2)0必無原象，1,2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．所以不同的f共有34＝81(個)．
(3)分為如下四類：
第一類，A中每一元素都與1對應，有1種方法；
第二類，A中有兩個元素對應1，一個元素對應2，另一個元素與0對應，有C·C＝12種方法；
第三類，A中有兩個元素對應2，另兩個元素對應0，有C·C＝6種方法；
第四類，A中有一個元素對應1，一個元素對應3，另兩個元素與0對應，有C·C＝12種方法．
所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(個)．
高考數(shù)學專題復習練習第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
