大學(xué)物理：第三章 功與能、機(jī)械能守恒定律

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1、上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系第三章第三章 功與能、機(jī)械能守恒定律功與能、機(jī)械能守恒定律 沒(méi)有功勞也有苦勞。這句大俗話卻包沒(méi)有功勞也有苦勞。這句大俗話卻包含了重要的物理內(nèi)容。含了重要的物理內(nèi)容。 功和能是兩個(gè)重要的物理量，能量守功和能是兩個(gè)重要的物理量，能量守恒與轉(zhuǎn)化定律是自然界的普遍規(guī)律，更恒與轉(zhuǎn)化定律是自然界的普遍規(guī)律，更是基礎(chǔ)物理的重要內(nèi)容。是基礎(chǔ)物理的重要內(nèi)容。2,3,8,9,11,12,14,15,16,17,18,19,24上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.1 功和功率功和功率3.2 幾種力的功、勢(shì)能幾種力的功、勢(shì)能3.3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理3.4 機(jī)械能守恒定律機(jī)械

2、能守恒定律3.5 碰撞碰撞本章提要本章提要上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.1功和功率功和功率本節(jié)提要本節(jié)提要功功功率功率力矩的功和功率力矩的功和功率上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系一、功一、功 功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對(duì)功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對(duì)空間的積累效應(yīng)?？臻g的積累效應(yīng)。rFW cosFr 變力的功：變力的功：焦耳（焦耳（J）恒力的功：恒力的功：rFiiiirFW cosiiiirFW cosiiirFiirFi),(aaazyxa),(bbbzyxb3. 1 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系z(mì)FyFxFrFW

3、zyxdddddbababayyzzzyxxxzFyFxFWdddbabarFrFWddt直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系：2. 與與參照系無(wú)關(guān)，位移與參照系有關(guān)，參照系無(wú)關(guān)，位移與參照系有關(guān)，故故 W與參照系有關(guān)。與參照系有關(guān)。F1. 一般情況下，功與力和路徑有關(guān)一般情況下，功與力和路徑有關(guān)babasFrFWdcosd 說(shuō)明說(shuō)明zyxWWWbabasFsFdcosdt 上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系4. . 平均功率平均功率tWP vFtrF dd瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率瓦特瓦特(W)=(=(J/s) )3. . 合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。

4、 baiirFWd)(iiibaiWrFdtWPdd功率功率: 力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功作用力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功的瞬時(shí)功率等于作用力與質(zhì)作用力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功的瞬時(shí)功率等于作用力與質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻速度的標(biāo)積點(diǎn)在該時(shí)刻速度的標(biāo)積上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系sincosmgFsincostantmgmgFrgmWmgd解：解：tanmgF )cos1 (mglsFrFWFddt)cos1 ( mgl變力變力恒力恒力 曲線運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng) 例例 小球在水平變力小球在水平變力 作用下緩慢移動(dòng)，即在所有位作用下緩慢移動(dòng)，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態(tài)，直到繩子與豎直方向成置上均近似處于力平衡

5、狀態(tài)，直到繩子與豎直方向成 角。角。 求：求：(1) 的功，的功， (2) 重力的功。重力的功。FFmlFgm0d sinlmg0d sinlmg上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系力矩的功和功率力矩的功和功率與與 夾角夾角Frdrrd rddr90 MdFrdrdFrdFdWsincos MdtdMdtdWP質(zhì)點(diǎn)在平面上繞軸質(zhì)點(diǎn)在平面上繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi) d（無(wú)限小角位移矢量）（無(wú)限小角位移矢量）POr d F dr上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.2幾種力的功、勢(shì)能幾種力的功、勢(shì)能彈性力的功彈性力的功重力的功重力的功萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功保守力功

6、的性質(zhì)保守力功的性質(zhì)摩擦力的功摩擦力的功功和參照系的關(guān)系功和參照系的關(guān)系勢(shì)能勢(shì)能彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能 重力勢(shì)能重力勢(shì)能 引引力勢(shì)能力勢(shì)能本節(jié)提要本節(jié)提要上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系一、力場(chǎng)一、力場(chǎng)),(vtrFFxy 力矢力矢在空間的分布形象反映了力場(chǎng)在空間的分布形象反映了力場(chǎng)。3.2.1 保守力的功保守力的功xyzr)(rFmo一般地，一般地，),(rFF當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的力僅與位置有關(guān)時(shí)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的力僅與位置有關(guān)時(shí)， 即即代表質(zhì)點(diǎn)受力的空間分布，稱為代表質(zhì)點(diǎn)受力的空間分布，稱為力場(chǎng)力場(chǎng)。保守力的功只與初末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。保守力的功只與初末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。討論幾種常見(jiàn)力的功討論

7、幾種常見(jiàn)力的功上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系一、彈性力的功一、彈性力的功ikxF21ddxxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而彈性力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)。xmx2x1baOxF21dxxxkx上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系二、二、 重力的功重力的功rgmWddkmggmkzixrddd)dd(dkzixkmgW2121dmgzmgzzmgWzz 重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)， 而與所而與所經(jīng)過(guò)的經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)。rdd

8、zdxzrd gmz1z2abmxOzmgd上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系三、三、萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在M的引的引力場(chǎng)中從力場(chǎng)中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。點(diǎn)。rrMmGF3barrrrrMmGWd3rrrrrrdcosdd )11(d2barrrrGMmrrGMmWbadrrrdrd 萬(wàn)有引力的功僅由物體的始末位置決定，而與萬(wàn)有引力的功僅由物體的始末位置決定，而與路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)。rbraabMmrF上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系保守力保守力F 功的性質(zhì)功的性質(zhì)保守力的功保守力的功)(21BAL

9、cBALcddrFrFABLcBALcdd22rFrF021ABLcBALcddrFrF0rFdc此結(jié)果表明，保守力沿任一閉合路徑的線積分為零。此結(jié)果表明，保守力沿任一閉合路徑的線積分為零。即即上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系ab0Or四、回旋力的功四、回旋力的功erFFFO e：為橫向單位矢量：為橫向單位矢量babarerrFWdd barrWd 路徑路徑1： 圓弧圓弧ab boaW= 0)d(re 回旋力做功回旋力做功與路徑有關(guān)！與路徑有關(guān)！ddrs 路徑路徑2：回旋力：回旋力：erdrd00022drr上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系tfemgF babaremgrFWddt

10、f ba abte 摩擦力做功摩擦力做功與路徑有關(guān)！與路徑有關(guān)！fFabbaSFsmgfd 3.2.1摩擦力的功摩擦力的功的路程到為baSab上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系總結(jié)：總結(jié)： abcd保守力：保守力：作功與作功與路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。，只與始末位置有關(guān)的力。 保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。作功不僅與始末位置有關(guān)，還與作功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)路徑有關(guān)的。的。如：重力，引力，彈性力等。如：重力，引力，彈性力等。如：摩擦力，回旋力等。如：摩擦力，回旋力等。非保守力：非保守力：而而(一對(duì)一對(duì))摩擦力作功始終是摩擦力作功始

11、終是負(fù)負(fù)的，的，又稱為耗散力。又稱為耗散力。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系 有心力：有心力： rrfF )( 有心力一定是保守力。有心力一定是保守力。判據(jù)判據(jù) 如：如： 引力引力rrMmGF3 靜電力靜電力rrqqkF321是非保守力。是非保守力。(0， 則為耗散力則為耗散力)是保守力。是保守力。FF任意閉任意閉合路徑合路徑上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系解：解：)dd(d yFxFsFWyxACOAOACyxxyyxxyW)d4d2()d4d2(22) J (16d4d210220yxxy例例 已知已知 , C點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)為為(2，1)。 求：求： (1) 的功的功 a. 沿路

12、徑沿路徑 OACb. 沿路徑沿路徑 OBCc. 沿路徑沿路徑 OCjxi yF242FF (2) 是否為保守力是否為保守力?(1)xOABC(2, 1)y上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系BCOBOBCxyxyyxW202) J (4d2d2d4yxxyyxxyWOCOCd4d2)d4d2(102202 2:yxOC(2) 非保守力，因?yàn)樽龉εc路徑有關(guān)。非保守力，因?yàn)樽龉εc路徑有關(guān)。xOABC(2, 1)y7.33(J) d16d 10220yyxxWOC上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系jdyjayrdFABCDA1取任意路徑取任意路徑ABCDAGHEFGHEEFbxdybxdyrd

13、F2為保守力。為保守力。1F為非保守力。為非保守力。2F例例 設(shè)以下兩個(gè)力場(chǎng)：設(shè)以下兩個(gè)力場(chǎng)：)(01yjayF)(02xjbxF),(0ba, 畫出力矢圖，畫出力矢圖， 并判斷是保守力還是非保守力。并判斷是保守力還是非保守力。解：解：取矩形路徑取矩形路徑EFGHE1FxyABCD2FxyEFGH1y2y1x2x0aydy0)()(212121yybxyybx上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系n 一對(duì)內(nèi)力的功之和與參照系無(wú)關(guān)。一對(duì)內(nèi)力的功之和與參照系無(wú)關(guān)。3.2.3 功和參照系的關(guān)系功和參照系的關(guān)系n 外力的總功與參照系有關(guān)。外力的總功與參照系有關(guān)。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系j

14、jiiijrFrFWdddjiijrrrijijrFWdd 相對(duì)元位移相對(duì)元位移 )(ddjiijrrrjrdjbFijFjiijrirdrijribjaiaOij 一對(duì)內(nèi)力的功：一對(duì)內(nèi)力的功：rijirdjrdijijrrdijrd相對(duì)位矢相對(duì)位矢 )(djiijrrF)dd(jiijrrF上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系1. 系統(tǒng)內(nèi)一對(duì)內(nèi)力的功一般不為零系統(tǒng)內(nèi)一對(duì)內(nèi)力的功一般不為零2. 一對(duì)內(nèi)力做功之和與所選的參照系無(wú)關(guān)一對(duì)內(nèi)力做功之和與所選的參照系無(wú)關(guān)ijijrrd,與參照系無(wú)關(guān)。與參照系無(wú)關(guān)。0ddffijrFW0ddNNijrFWijrFdN一對(duì)摩擦力做功一對(duì)摩擦力做功: Wf

15、 = - f l (地面系，木塊系，子彈系地面系，木塊系，子彈系)說(shuō)明說(shuō)明 ijrijijrdfF fFNFN Fv ijrijijrrdsl子彈子彈木塊木塊上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系外力的總功與參照系有關(guān)外力的總功與參照系有關(guān)外力對(duì)系統(tǒng)所作的功外力對(duì)系統(tǒng)所作的功iiirFWde設(shè)設(shè)S系相對(duì)于系相對(duì)于S系以速度系以速度 v 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)dtvrriiddiiirFWdedtvFWieiiidtvrF)d(iiiidtvFrFdeeWW 外力的總功與參照系有關(guān)外力的總功與參照系有關(guān)上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系外力的總功外力的總功外力對(duì)系統(tǒng)所作的功是指每一個(gè)外力所作功之和，而非外

16、力對(duì)系統(tǒng)所作的功是指每一個(gè)外力所作功之和，而非合外力所作的功。合外力所作的功。 特例特例若外力為重力若外力為重力 iiiiiiiiiiirFrFrrFrFWdddddcce外力矢量和對(duì)質(zhì)心外力矢量和對(duì)質(zhì)心做的功做的功外力在質(zhì)心系中對(duì)外力在質(zhì)心系中對(duì)各質(zhì)點(diǎn)所做的功各質(zhì)點(diǎn)所做的功iiiiiiiiirmgrgmrFddd0dddc tvmgtvmgtvmgiiiiiii質(zhì)心系中的質(zhì)心速度質(zhì)心系中的質(zhì)心速度上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系規(guī)定：系統(tǒng)相對(duì)位置變化的過(guò)程中，成對(duì)保守內(nèi)規(guī)定：系統(tǒng)相對(duì)位置變化的過(guò)程中，成對(duì)保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)內(nèi)能減少量。力做功之和等于系統(tǒng)內(nèi)能減少量。3.2.4 勢(shì)能

17、勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中的勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中的勢(shì)能勢(shì)能是由系統(tǒng)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置決定的狀態(tài)函數(shù)。勢(shì)能是由系統(tǒng)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置決定的狀態(tài)函數(shù)。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系勢(shì)能的引入勢(shì)能的引入與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢(shì)能（與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢(shì)能（Ep）。）。保守力的功是勢(shì)能變化的量度：保守力的功是勢(shì)能變化的量度： 物體在保守力場(chǎng)中物體在保守力場(chǎng)中a，b兩點(diǎn)的勢(shì)能兩點(diǎn)的勢(shì)能Epa， Epb 之差等之差等于質(zhì)點(diǎn)由于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中保守力做的功點(diǎn)過(guò)程中保守力做的功Wab。abbabaWrFEEdpp 保守力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。保守力的功等于系

18、統(tǒng)勢(shì)能的減少。ppp)(EEEWabab上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系0 0pbbEz重力勢(shì)能重力勢(shì)能mgzE p)()(ppabbaabEEzzmgW 如：如：選地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)選地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)重力勢(shì)能重力勢(shì)能上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系引力勢(shì)能引力勢(shì)能0 pbbErrGMmEp)()11(ppabababEErrGMmW選兩質(zhì)點(diǎn)相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)選兩質(zhì)點(diǎn)相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)引力勢(shì)能引力勢(shì)能上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能0 0pbbEx2p21kxE )(2121pp22abbaabEEkxkxW 選彈簧為自然長(zhǎng)度的位置作為彈性勢(shì)選彈簧為

19、自然長(zhǎng)度的位置作為彈性勢(shì)能零點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)能零點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系0d)()()(0ppprrrFrErErE 空間某點(diǎn)的勢(shì)能空間某點(diǎn)的勢(shì)能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力作的功。勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力作的功。n勢(shì)能的大小只有相對(duì)的意義，相對(duì)于勢(shì)能的大小只有相對(duì)的意義，相對(duì)于勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)而而言。言。勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選取。勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選取。n勢(shì)能是相互作用有保守力的系統(tǒng)的屬性。勢(shì)能是相互作用有保守力的系統(tǒng)的屬性。說(shuō)明說(shuō)明 設(shè)空間設(shè)空間 點(diǎn)為點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn) 的勢(shì)能為：的勢(shì)

20、能為：0rr上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 輕彈簧原長(zhǎng)輕彈簧原長(zhǎng)l0 ，勁度系數(shù)為，勁度系數(shù)為k，下端懸掛質(zhì)量為，下端懸掛質(zhì)量為m的的重物。已知彈簧重物在重物。已知彈簧重物在O點(diǎn)達(dá)到平衡，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)了點(diǎn)達(dá)到平衡，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)了x0 ，現(xiàn)取，現(xiàn)取x 軸向下為正，原點(diǎn)位于：軸向下為正，原點(diǎn)位于： (1) 彈簧原長(zhǎng)位置彈簧原長(zhǎng)位置, (2)力的平衡位置。若取原點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的勢(shì)能力的平衡位置。若取原點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)，分別計(jì)算重物在任一位置零點(diǎn)，分別計(jì)算重物在任一位置 P 時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能。時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能。解：解： (1) 以彈簧原長(zhǎng)點(diǎn)以彈簧原長(zhǎng)點(diǎn)O 為坐為坐標(biāo)原點(diǎn)

21、，系統(tǒng)總勢(shì)能：標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)總勢(shì)能： xmgxkE2p21xmO OPx0 x上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系(2) 若以重力與彈性力合力的若以重力與彈性力合力的平衡位置為原點(diǎn)，則有：平衡位置為原點(diǎn)，則有： 任意位置任意位置 x 處的系統(tǒng)總勢(shì)能：處的系統(tǒng)總勢(shì)能：00kxmgkmgx 0001pd)(xxxxkEmgxkxxxkE2020p21)(21xmO OPx0 xmgxkxxkx2021221kx上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系保守力與勢(shì)能的關(guān)系保守力與勢(shì)能的關(guān)系1. 積分關(guān)系積分關(guān)系2. 微分關(guān)系微分關(guān)系pddEWzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEdddd

22、ppppxEFxpyEFypzEFzp0pppd)(rrFE上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系kzEjyEixEFppp矢量式：矢量式：pEzkyjxi稱梯度算子。稱梯度算子。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系mgzzkyjxiEFp1mgzE p) 1 (例例 已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)，已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)， 求保守力。求保守力。c)2(prGMmEp2EF解：解：kmg)(1sin1rGMmrerererrerGMm 2上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3、勢(shì)能曲線、勢(shì)能曲線 雙原子分子的勢(shì)能曲線：雙原子分子的勢(shì)能曲線：OrpE1E2Er12r0r3r 0dd)(11rrrErF,011prEE0

23、dd)(00rrrErF0dd)(33rrrErF322p0rrEEozpE重力勢(shì)能曲線重力勢(shì)能曲線pEor引力勢(shì)能曲線引力勢(shì)能曲線oxpE彈性勢(shì)能曲線彈性勢(shì)能曲線上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 已知地球半徑已知地球半徑 R，物體質(zhì)量，物體質(zhì)量 m，處在地面，處在地面 2R 處。求處。求勢(shì)能勢(shì)能:（1）地面為零勢(shì)能點(diǎn)；（）地面為零勢(shì)能點(diǎn)；（2）無(wú)限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)。）無(wú)限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)。解：解：babaEErFWppdp32d ) 1 (ErrGMmWRRGMmRRRGMmE32)311(pRrrGMmE32pd )2(mgR32mgRRGMm3131上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系

24、物理系例例人造地球衛(wèi)星人造地球衛(wèi)星(m)，圓軌道，圓軌道(r)。(1)總機(jī)械能；總機(jī)械能；(2)受微小受微小阻力阻力f，假設(shè)繞一平均圓軌道運(yùn)動(dòng)，求每運(yùn)行一周半徑的改變，假設(shè)繞一平均圓軌道運(yùn)動(dòng)，求每運(yùn)行一周半徑的改變量量 r；(3)每運(yùn)行一周動(dòng)能改變量每運(yùn)行一周動(dòng)能改變量 Ek。解：解：(1)rGMmmvErmvrGMmk221222rGMmEprGMmEEEpk2（2）rrGMmErfd2d22GMmfrr34d上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系（3）rGMmmvEk2212rfrrGMmEk 2d2d2GMmfrr34dkGErfWd2 kGErrGMmWd2d202drfEk ?引力做

25、功，一半用于克服阻力，一半用于增加動(dòng)能。引力做功，一半用于克服阻力，一半用于增加動(dòng)能。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系解：解：220pxaEE xEFxddp而而Fx=0 ( x 0 )xaE202 ( 0 x a )例例 已知一帶正電的點(diǎn)電荷在某電場(chǎng)中的電勢(shì)能曲線如圖已知一帶正電的點(diǎn)電荷在某電場(chǎng)中的電勢(shì)能曲線如圖所示，所示，OA段為拋物線，且段為拋物線，且 x= a 處處 Ep=E0，若點(diǎn)電荷的總能，若點(diǎn)電荷的總能量為量為 E0，求，求: (1) 點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力及點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力及 F 與與 x 的關(guān)系曲的關(guān)系曲線。線。(2) 點(diǎn)電荷的動(dòng)能及點(diǎn)電荷的動(dòng)能及 Ek 與與 x 的關(guān)系

26、曲線。的關(guān)系曲線。（1）Ep與與 x 的關(guān)系的關(guān)系axEpE0OAxOaFxaE02( 0 x a )上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系(2) p0kEEE( 0 x a )Ek= E0 ( x a )1 (2202200kaxExaEEEOxaEkE0axEpE0OA上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例3-11 已知雙原子分子的勢(shì)函數(shù)為：已知雙原子分子的勢(shì)函數(shù)為： ，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖，如果分子的總能量為零。為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖，如果分子的總能量為零。求：求：(1) 雙原子之間的最小距離；雙原子之間的最小距離； (2) 雙原子之間平衡位置雙原子之間平衡位置的距離；的距離

27、； (3) 雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離；雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離； (4) 勢(shì)阱深度勢(shì)阱深度Ed； (5) 畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。作用力曲線。解：解：0kpEEE0612xbxa6minbax 612pxbxaExEp(1)xmin當(dāng)動(dòng)能當(dāng)動(dòng)能 Ek=0 時(shí)，時(shí)，Ep為最大，兩為最大，兩原子之間有最小距離原子之間有最小距離:上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系平衡位置的條件為平衡位置的條件為F=0，0)(dddd612pxbxaxxEF612bax 最大引力的條件為：最大引力的條件為： 0ddxF0612dd713xbx

28、ax62726bax (2) 雙原子之間平衡位置的距離雙原子之間平衡位置的距離(3) 雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離xEpx1xminx2上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系將平衡位置兩原子之間的距離將平衡位置兩原子之間的距離 x1 代入勢(shì)函數(shù)公式，得勢(shì)阱深度：代入勢(shì)函數(shù)公式，得勢(shì)阱深度：abxbxaE4261121d在位置在位置x1處，保守力處，保守力F為零。為零。在勢(shì)能曲線的拐點(diǎn)位置在勢(shì)能曲線的拐點(diǎn)位置 x2 處，處，保守力保守力F有最小值。有最小值。(4) 勢(shì)阱深度勢(shì)阱深度Ed (5) 畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作

29、用力曲線。相互作用力曲線。xEpx1xminx2xF上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系kkkEEEW0 注：動(dòng)能定理只在慣性系中成立。注：動(dòng)能定理只在慣性系中成立。合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量3.3.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和動(dòng)能定理rdFWWd)dvvdvvdvm(vzzyyxxrddtvdmvdvm20222121d21d01mvmvvmWWvv)vvd(v212z2y2xm2dv21m功與能與參照系有關(guān)功與能與參照系有關(guān)3.3動(dòng)能定理動(dòng)能定理上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理20

30、22121iiiiivmvmWIeiiiWWW其中其中對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和iiiiiiiiiivmvmWW202Ie2121討論討論總動(dòng)能總動(dòng)能2c22121vmvmEiiiiik上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2222121 iiiiikRmvmE對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的任一點(diǎn)，其動(dòng)能：對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的任一點(diǎn)，其動(dòng)能：整個(gè)剛體動(dòng)能：整個(gè)剛體動(dòng)能：2222221)(2121 IRmRmEEiiiiiiiik對(duì)于繞對(duì)于繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，受到力矩軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，受到力矩M：dtdIdtLdM 力矩的功：力矩的功：221 I

31、dIddtdIdMW2022121 IIW 合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量（剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理）上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 均質(zhì)細(xì)棒均質(zhì)細(xì)棒m， l ，水平軸水平軸O，開(kāi)始棒處于水平狀態(tài)，由，開(kāi)始棒處于水平狀態(tài)，由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時(shí)：靜止釋放，求棒擺到豎直位置時(shí)： (1) 棒的角速度，棒的角速度，(2) 棒棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，(3) 質(zhì)心的加速度，質(zhì)心的加速度，(4) 軸的支反力。軸的支反力。解：解：02212lmgI lg3 (2)2k21 IE (3) 232

32、2cngla FxFy0ct maFx(4)cnmamgFymgmgmgFy2523(1)2lmg02 ct la提供向向心加速度提供向向心加速度豎直位置時(shí)無(wú)外力矩豎直位置時(shí)無(wú)外力矩上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 細(xì)桿細(xì)桿A ： (m, L)可繞可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，水平處?kù)o止釋放，水平處?kù)o止釋放，在在豎直位置與靜止物塊豎直位置與靜止物塊B； (m) 發(fā)生彈性碰撞，求碰后發(fā)生彈性碰撞，求碰后： (1) vB B ，(2) 2 ， (3) max 。212121 ImgL LgmLI3 3112 解：解：2222121212121BBmvIILmvII LggLvB321 3212 碰后

33、反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。碰后反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。BA上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系max22cos12121 mgLI1 .41 43cosmaxmax BA上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.4機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律本節(jié)提要本節(jié)提要功能原理功能原理機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)滾動(dòng)滾動(dòng)上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.4.1 功能原理功能原理CIW保守內(nèi)力的總功保守內(nèi)力的總功 NIW非保守內(nèi)力的總功非保守內(nèi)力的總功IW內(nèi)力的總功內(nèi)力的總功k0kkCINIeEEEWWWpp0pCI)(EEEW)()(p0k0pkNIeEEEEWWEEE0質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：質(zhì)點(diǎn)

34、系的功能原理： 質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所有外力的質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所有外力的功和非保守內(nèi)力的功的總和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。功和非保守內(nèi)力的功的總和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系1. 明確系統(tǒng)及初、末狀態(tài)。明確系統(tǒng)及初、末狀態(tài)。2. 適用于慣性系。適用于慣性系。p0k0pk0EEEEE0, 0NIeWW3. 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律系統(tǒng)中的動(dòng)能和勢(shì)能可以轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中的動(dòng)能和勢(shì)能可以轉(zhuǎn)換, , 各質(zhì)點(diǎn)間的機(jī)械能各質(zhì)點(diǎn)間的機(jī)械能也可以互換也可以互換, , 但保持系統(tǒng)的總機(jī)械能不變。但保持系統(tǒng)的總機(jī)械能不變。 說(shuō)明說(shuō)明)()(p0k0pkNIeEEEEWW若若 上海交通

35、大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系4. 對(duì)孤立系統(tǒng)對(duì)孤立系統(tǒng)EWNI0 0NIEW0 0NIEW若若能量轉(zhuǎn)換和守恒定律能量轉(zhuǎn)換和守恒定律其他形式的能量轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。其他形式的能量轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。則：則：)()(p0k0pkNIeEEEEWW, 0eW上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系 當(dāng)只有保守內(nèi)力作功，而外力和非保守內(nèi)當(dāng)只有保守內(nèi)力作功，而外力和非保守內(nèi)力不作功或其作功的代數(shù)和為零時(shí)，系統(tǒng)力不作功或其作功的代數(shù)和為零時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變。的機(jī)械能保持不變。3.4.2 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律00非外當(dāng)常量WWEE上海交通大學(xué)上海交

36、通大學(xué) 物理系物理系3.4.3 功與能的定理與參照系的關(guān)系功與能的定理與參照系的關(guān)系在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒械能不一定守恒。NIW 與參照系無(wú)關(guān)與參照系無(wú)關(guān), 而而eW 與參照系有關(guān)。與參照系有關(guān)。動(dòng)能與參照系有關(guān)。動(dòng)能與參照系有關(guān)。勢(shì)能與參照系無(wú)關(guān)。勢(shì)能與參照系無(wú)關(guān)。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 已知鐵鏈質(zhì)量已知鐵鏈質(zhì)量m，長(zhǎng)，長(zhǎng) l ，與桌面摩擦系數(shù)為，與桌面摩擦系數(shù)為 。問(wèn)：?jiǎn)枺?(1) a 為多少為多少 時(shí)鐵鏈開(kāi)始下滑時(shí)鐵鏈開(kāi)始下滑? (2) 金屬鏈全部離開(kāi)桌面金屬鏈全部離開(kāi)桌面時(shí)時(shí) v 為多少

37、為多少?解：解：alxxalgxfW0fd)(d(1)galga)( la1(2) 摩擦力做負(fù)功，以摩擦力做負(fù)功，以 a 處為坐標(biāo)原點(diǎn)處為坐標(biāo)原點(diǎn)gxalf )(lm/下垂部分重力下垂部分重力 等于摩擦力時(shí)等于摩擦力時(shí)Oxdxa上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系22f)(21)(alalgW2)(21alg利用功能原理，以桌面為零勢(shì)能點(diǎn)：利用功能原理，以桌面為零勢(shì)能點(diǎn)：2222212121 )(21gaglvlalg1glvEWfOxdxa221vl 2p21)2( gllglE 00kE221mvEkmghE p0221)2(gaaga 上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 計(jì)算第

38、一、第二宇宙速度。計(jì)算第一、第二宇宙速度。一、第一宇宙速度一、第一宇宙速度已知：地球半徑為已知：地球半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，衛(wèi)星，衛(wèi)星質(zhì)量為質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距地面。要使衛(wèi)星在距地面h 高度繞高度繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。解：解：設(shè)發(fā)射速度為設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v。機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：hRMmGmvRMmGmv2212121萬(wàn)有引力提供向心力：萬(wàn)有引力提供向心力：hRvmhRMmG22RMm上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系得：得：hRGMRGMv212RmMGmg gRRGM)2(1hRRgRvRh

39、 131sm109 . 7gRv第一宇宙速度第一宇宙速度上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系二、第二宇宙速度二、第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度。宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度。(1) 脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或等于零。脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或等于零。(2) 脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。由機(jī)械能守恒：由機(jī)械能守恒：021pk22EERMmGmv得：得：1312sm102 .11222vgRRGMv上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.4.4 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)n整個(gè)剛體可看成是所有質(zhì)

40、元都以質(zhì)心的整個(gè)剛體可看成是所有質(zhì)元都以質(zhì)心的速度作平動(dòng)速度作平動(dòng)n質(zhì)元繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)元繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的質(zhì)心被約束在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且剛體上所剛體的質(zhì)心被約束在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都在與上述平面平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，稱剛有質(zhì)點(diǎn)都在與上述平面平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，稱剛體的平面運(yùn)動(dòng)。體的平面運(yùn)動(dòng)。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)設(shè)剛體質(zhì)心的位矢為設(shè)剛體質(zhì)心的位矢為 (對(duì)地對(duì)地)cr為第為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)元的位矢?jìng)€(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)元的位矢(對(duì)地對(duì)地) ir則有則有cicirrricr為第為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心C的位矢的位矢 icrcrCiri上海交通大學(xué)上海交通大學(xué)

41、 物理系物理系剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)則有則有cicivvvcricrirCiicv為第為第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的速度個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的速度icr由于剛體不會(huì)變形由于剛體不會(huì)變形( 不變不變)icr相對(duì)于質(zhì)心的速度僅是由于相對(duì)于質(zhì)心的速度僅是由于 的方向的方向變化引起變化引起ivcvicvivcvicv上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系n 滾動(dòng)：圓形物體在平面或曲面上的滾動(dòng)，通常，滾動(dòng)：圓形物體在平面或曲面上的滾動(dòng)，通常，質(zhì)心即圓心。質(zhì)心即圓心。n 有滑動(dòng)滾動(dòng)有滑動(dòng)滾動(dòng)接觸面之間有相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)，摩擦力為滑動(dòng)摩擦力接觸面之間有相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)，摩擦力為滑動(dòng)摩擦力n 無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)

42、接觸面之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)，也稱純滾動(dòng)，為靜接觸面之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)的滾動(dòng)，也稱純滾動(dòng)，為靜摩擦力。摩擦力。 應(yīng)滿足約束條件應(yīng)滿足約束條件, 。和。和 是質(zhì)心的速度和加速度的大小，和是是質(zhì)心的速度和加速度的大小，和是角速度和角加速度，為圓半徑。角速度和角加速度，為圓半徑。RVcRaccVcaR滾動(dòng)中的摩擦力滾動(dòng)中的摩擦力上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系 若物體是一輪子，在地上滾動(dòng)，已知其質(zhì)心若物體是一輪子，在地上滾動(dòng)，已知其質(zhì)心平動(dòng)速度為平動(dòng)速度為cV則輪子在則輪子在 時(shí)間內(nèi)質(zhì)心向前平移時(shí)間內(nèi)質(zhì)心向前平移 的路程的路程dtdtVc輪子的著地點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心向后移動(dòng)了輪子的著地點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心向后移動(dòng)

43、了 的距離。的距離。Rdt RdtdtVdtVCA 摩擦力方向判別方法如下：摩擦力方向判別方法如下： 角速度為角速度為滾動(dòng)時(shí)，輪與地面接觸點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)，輪與地面接觸點(diǎn)A 相對(duì)于地面滑動(dòng)的距離為相對(duì)于地面滑動(dòng)的距離為上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系(a) 若若 ，則，則 。輪子向前。輪子向前滑動(dòng)，輪所受的摩擦力向后。此力阻止滑動(dòng)，輪所受的摩擦力向后。此力阻止 增加，而其力矩卻使增加，而其力矩卻使 增加。增加。0RdtdtVC 0dtVAcV (c) 只有靜摩擦只有靜摩擦力，這時(shí)作純滾動(dòng)。所以力，這時(shí)作純滾動(dòng)。所以，為純，為純滾動(dòng)條件。歸納：摩擦力總是調(diào)節(jié)滾動(dòng)時(shí)滾動(dòng)條件。歸納：摩擦力總是調(diào)節(jié)滾動(dòng)

44、時(shí)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，使兩者向平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，使兩者向的的狀態(tài)變化，即趨于純滾動(dòng)。狀態(tài)變化，即趨于純滾動(dòng)。, 0, 0 fRdtdtVC則若RVc Rvc (b) ，則，則 向前，輪向后滑向前，輪向后滑動(dòng)動(dòng) ,使使 增加，其力矩使增加，其力矩使 減小。減小。0RdtdtVC 若 fcV f上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系 此力為自行車前進(jìn)的力，所以必須加強(qiáng)這個(gè)力。此力為自行車前進(jìn)的力，所以必須加強(qiáng)這個(gè)力。例：分析自行車的滾動(dòng)例：分析自行車的滾動(dòng)由于腳蹬鏈條，通過(guò)后輪齒輪，給由于腳蹬鏈條，通過(guò)后輪齒輪，給后輪加一個(gè)力偶作用。后輪加一個(gè)力偶作用。在力偶矩的作用下，后輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向在力偶矩的作用下

45、，后輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向?Af摩擦力方向摩擦力方向?輪的著地點(diǎn)輪的著地點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)?上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系若無(wú)若無(wú) ，則前輪與地的接觸，則前輪與地的接觸點(diǎn)點(diǎn)B向前運(yùn)動(dòng)向前運(yùn)動(dòng). f自行車前輪，由于車身在后輪摩擦力自行車前輪，由于車身在后輪摩擦力的作用下前進(jìn)，可近似認(rèn)為牽引力作的作用下前進(jìn)，可近似認(rèn)為牽引力作用于圓心用于圓心O上上(通過(guò)支架給于通過(guò)支架給于O)Bf前輪與地的接觸點(diǎn)前輪與地的接觸點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)方向?前輪摩擦力方向前輪摩擦力方向?上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系 剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不論運(yùn)動(dòng)如何復(fù)雜，總可剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不論運(yùn)動(dòng)如何復(fù)雜，總可以分解為隨質(zhì)心的

46、平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。以分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。求解剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本方程：求解剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本方程： cccIMamFi加上初始條件、約束條件加上初始條件、約束條件 , , , ccav動(dòng)能：動(dòng)能：2c2ck2121 ImvE剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系一、一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能iiiiiirmvmE222k2121 2c mdII22ck21 mdIE2c2c2121mvI 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為剛體繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和隨質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為剛體繞過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和隨質(zhì)心（繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng)）的平動(dòng)。（繞定軸作圓周

47、運(yùn)動(dòng)）的平動(dòng)。221 I2c21mv剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理oc由平行軸定理：由平行軸定理：222c2121 mdI221 I上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r的輪子以角速度的輪子以角速度 旋轉(zhuǎn)。將它輕輕放到地面上，設(shè)地面的旋轉(zhuǎn)。將它輕輕放到地面上，設(shè)地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，求輪子最后的前進(jìn)，求輪子最后的前進(jìn)速度和角速度速度和角速度 ，達(dá)到此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)了，達(dá)到此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？多少時(shí)間？0例例上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系 rvc經(jīng)過(guò)時(shí)間經(jīng)過(guò)時(shí)間t后達(dá)到只滾不滑的勻速滾動(dòng)狀態(tài)。令此時(shí)后達(dá)到只滾不滑的勻

48、速滾動(dòng)狀態(tài)。令此時(shí)的質(zhì)心速度為的質(zhì)心速度為 ，角速度為，角速度為 ，則有，則有cv解：解：輪子剛落地時(shí)接觸點(diǎn)向后滑，故摩擦力輪子剛落地時(shí)接觸點(diǎn)向后滑，故摩擦力f向向前，前，f 的作用：的作用：n推動(dòng)輪子加速前進(jìn)推動(dòng)輪子加速前進(jìn)n使它的轉(zhuǎn)動(dòng)減緩使它的轉(zhuǎn)動(dòng)減緩mgf ),0(cvmmgt ),(0 cImgrtcImrr201 )1 (20cImrgr rvctf 作用在質(zhì)心上的沖量和沖量矩得作用在質(zhì)心上的沖量和沖量矩得上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系cmaF ccJFdM2c121mlJ 2c12 mlFdmFa解：解： d =0 時(shí)，時(shí)， =0，剛體只有平動(dòng)沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)。，剛體只有平動(dòng)沒(méi)有轉(zhuǎn)

49、動(dòng)。例例 長(zhǎng)長(zhǎng) l 質(zhì)量質(zhì)量 m 的勻質(zhì)細(xì)桿放在光滑的水平面上，以水平的勻質(zhì)細(xì)桿放在光滑的水平面上，以水平力力 垂直作用在細(xì)桿上，作用點(diǎn)距質(zhì)心為垂直作用在細(xì)桿上，作用點(diǎn)距質(zhì)心為 d ，計(jì)算，計(jì)算 作用作用瞬間細(xì)桿的角加速度和質(zhì)心的加速度。瞬間細(xì)桿的角加速度和質(zhì)心的加速度。FFc.dF上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 一勻質(zhì)圓球一勻質(zhì)圓球(r )從靜止開(kāi)始沿一粗糙斜面純滾動(dòng)而下，從靜止開(kāi)始沿一粗糙斜面純滾動(dòng)而下，斜面傾角為斜面傾角為 ，球從上端滾到下端球心高度相差為，球從上端滾到下端球心高度相差為 h ，計(jì)算小球滾到下端時(shí)質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。計(jì)算小球滾到下端時(shí)質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

50、。cgmNFtF解：解：ctsinmaFmg0cosNmgFctJrFra csin75cga 2c52mrJ 純滾動(dòng)條件：純滾動(dòng)條件：rv cghr7101上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系savcc2也可由機(jī)械能守恒計(jì)算：也可由機(jī)械能守恒計(jì)算：2c2c2121Jmvmghghr7101ghha710sin/2csin75cga rv c上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 均勻圓柱體均勻圓柱體A，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，在其中部繞一根，在其中部繞一根細(xì)繩，繩的一端固定。設(shè)圓柱體初速度為零。求：當(dāng)圓柱細(xì)繩，繩的一端固定。設(shè)圓柱體初速度為零。求：當(dāng)圓柱體從靜止開(kāi)始下落體從

51、靜止開(kāi)始下落 h 時(shí)，軸心的速度和繩子拉力。時(shí)，軸心的速度和繩子拉力。cmaTmg解：解：221mRTR Rac得：得：ga32cghhav3322ccmgagmT31)(hRgm上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系3.5碰撞碰撞本節(jié)提要本節(jié)提要碰撞與守恒定律碰撞與守恒定律彈性碰撞彈性碰撞完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞 上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系體系動(dòng)量守恒體系動(dòng)量守恒?碰撞與守恒定律碰撞與守恒定律體系角動(dòng)量守恒體系角動(dòng)量守恒?系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒 ?沒(méi)有外力，沒(méi)有外力，沒(méi)有外力矩，沒(méi)有外力矩，碰撞類型碰撞類型上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系碰撞過(guò)程碰撞過(guò)程1

52、. 壓縮階段壓縮階段2. 恢復(fù)階段恢復(fù)階段碰撞問(wèn)題碰撞問(wèn)題微觀粒子：碰撞微觀粒子：碰撞 散射散射 彈性碰撞：彈性碰撞：碰撞后物體的形變可以完全恢復(fù)，且碰碰撞后物體的形變可以完全恢復(fù)，且碰撞前后系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒。撞前后系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒。 非彈性碰撞：非彈性碰撞：碰撞后物體的形變只有部分恢復(fù)，系碰撞后物體的形變只有部分恢復(fù)，系統(tǒng)有部分機(jī)械能損失。統(tǒng)有部分機(jī)械能損失。 完全非彈性碰撞：完全非彈性碰撞：碰撞后物體的形變完全不能恢復(fù)，碰撞后物體的形變完全不能恢復(fù)，兩物體合為一體一起運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)有機(jī)械能損失。兩物體合為一體一起運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)有機(jī)械能損失。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系(1) 彈性碰撞

53、彈性碰撞v2v1v20v102211202101vmvmvmvm動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒：動(dòng)能守恒：動(dòng)能守恒：2222112202210121212121vmvmvmvm21202102112mmvmvmmv21101201222mmvmvmmv201012vvvv上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系1. 當(dāng)當(dāng)m1=m2時(shí)，時(shí)， 則則:102201vvvv討論討論 在一維彈性碰撞中在一維彈性碰撞中, 質(zhì)量相等的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在碰撞中交質(zhì)量相等的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在碰撞中交換彼此的速度。換彼此的速度。2. 若若v20=0，且，且 m2m1，則，則:21202102112mmvmvmmv21101201222mmvm

54、vmmv02101vvv質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很大的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后，調(diào)轉(zhuǎn)運(yùn)質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很大的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后，調(diào)轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方向，而質(zhì)量很大的質(zhì)點(diǎn)幾乎保持不動(dòng)。動(dòng)方向，而質(zhì)量很大的質(zhì)點(diǎn)幾乎保持不動(dòng)。3. 若若v20=0， 且且m2m1， 則則:1021012vvvv質(zhì)量很大的入射質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很小的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后速度幾質(zhì)量很大的入射質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很小的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后速度幾乎不變，但質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)卻以近兩倍的速度運(yùn)動(dòng)起來(lái)。乎不變，但質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)卻以近兩倍的速度運(yùn)動(dòng)起來(lái)。上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系(2) 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒：vmmvmvm)(212021012120

55、2101mmvmvmv機(jī)械能損失：機(jī)械能損失：)2121()(21220221012210kkvmvmvmmEEE)(2)(212201021mmvvmmEvv20v10上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒：(3) 非彈性碰撞：非彈性碰撞：2211202101vmvmvmvm碰撞定律：碰撞定律： 碰撞后兩球的分離速度碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)與碰撞前與碰撞前兩球的接近速度兩球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由兩成正比。比值由兩球的質(zhì)料決定。球的質(zhì)料決定。201012vvvve恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)v2v1v20v10上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系碰后兩球

56、的速度：碰后兩球的速度：2120102101)(1 (mmvvemvv2120101202)(1 (mmvvemvv機(jī)械能損失：機(jī)械能損失：2201021212k)()1 (21vvmmmmeE完全非彈性碰撞：完全非彈性碰撞： e =0 v2=v1非彈性碰撞：非彈性碰撞： 0 e 1 彈性碰撞：彈性碰撞： e =1 （v2-v1）= （v10-v20）201012vvvve上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例：在光滑的桌面上有一質(zhì)量為例：在光滑的桌面上有一質(zhì)量為M、長(zhǎng)、長(zhǎng) 的細(xì)桿，一質(zhì)量為的細(xì)桿，一質(zhì)量為m的小球沿桌面以速率的小球沿桌面以速率 垂垂直地撞擊在細(xì)桿的一端。設(shè)碰直地撞擊在細(xì)桿的

57、一端。設(shè)碰撞是完全彈性的，求碰后球和撞是完全彈性的，求碰后球和桿的運(yùn)動(dòng)情況。在什么條件下桿的運(yùn)動(dòng)情況。在什么條件下細(xì)桿旋轉(zhuǎn)半圈后會(huì)第二次撞在細(xì)桿旋轉(zhuǎn)半圈后會(huì)第二次撞在小球上？小球上？l 20vl 20vMm上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系)4(60Mmlmv ,4)4(01MmvMmvMmmvv4202設(shè)碰撞后小球和桿的質(zhì)心速度分別為設(shè)碰撞后小球和桿的質(zhì)心速度分別為 和和 ，桿繞質(zhì)，桿繞質(zhì)心的角速度為心的角速度為1v2v解解：210Mvmvmv動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒cIvvml)(10角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒（以桿的質(zhì)心為參考點(diǎn)）（以桿的質(zhì)心為參考點(diǎn)）222212021212121 cIMvmvm

58、v動(dòng)能守恒動(dòng)能守恒231MlIc為桿繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為桿繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。mM2根據(jù)上面的結(jié)果，這要求根據(jù)上面的結(jié)果，這要求21vv 欲細(xì)桿轉(zhuǎn)半圈后再次擊中小球，它們必須走得一樣快欲細(xì)桿轉(zhuǎn)半圈后再次擊中小球，它們必須走得一樣快上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系（a）一根長(zhǎng)度為）一根長(zhǎng)度為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的木棒平放的木棒平放在無(wú)摩擦的平面上，一質(zhì)量為在無(wú)摩擦的平面上，一質(zhì)量為m的小球以速的小球以速率率 撞擊其一端（也在平面上）。假定碰撞擊其一端（也在平面上）。假定碰撞是完全彈性的，碰撞后小球的末速度撞是完全彈性的，碰撞后小球的末速度 沿著原來(lái)的運(yùn)動(dòng)路線，求小球的末速度沿著原來(lái)的運(yùn)動(dòng)

59、路線，求小球的末速度 。l 20vfv例例（b）假定棒的另一端有一支點(diǎn)使棒可繞支）假定棒的另一端有一支點(diǎn)使棒可繞支點(diǎn)在平面上無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)在平面上無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，(即轉(zhuǎn)軸與棒間無(wú)即轉(zhuǎn)軸與棒間無(wú)摩擦摩擦)其他條件同上，求小球的末速度。其他條件同上，求小球的末速度。fv上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系cfMvmvmv02222021212121 ccfIMvmvmv cfIlmvlmv02231)2(121MllMIc044vMmMmvfMm 4解（解（a）小球和棒組成的體系在水平方向不受外力作用，機(jī)械能守恒小球和棒組成的體系在水平方向不受外力作用，機(jī)械能守恒水平方向動(dòng)量守恒，水平方向動(dòng)量守

60、恒，以碰前質(zhì)心位置為考察點(diǎn)，則系統(tǒng)相對(duì)于此參考點(diǎn)無(wú)外力以碰前質(zhì)心位置為考察點(diǎn)，則系統(tǒng)相對(duì)于此參考點(diǎn)無(wú)外力矩，角動(dòng)量守恒矩，角動(dòng)量守恒fv故故 要求沿原來(lái)路線，必有要求沿原來(lái)路線，必有上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系（b）若棒另一端為支點(diǎn)，則對(duì)此點(diǎn)有角動(dòng)量守恒。）若棒另一端為支點(diǎn)，則對(duì)此點(diǎn)有角動(dòng)量守恒。（力通過(guò)轉(zhuǎn)軸），而力無(wú)位移，不作功。機(jī)械能（力通過(guò)轉(zhuǎn)軸），而力無(wú)位移，不作功。機(jī)械能守恒，但動(dòng)量不守恒（有外力）守恒，但動(dòng)量不守恒（有外力） 20)2(3122lMlmvlmvf22220)2(31212121 lMmvmvf033vMmMmvf要要 沿原路線應(yīng)沿原路線應(yīng)Mm 3fv解得解得

61、上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 均質(zhì)細(xì)棒：均質(zhì)細(xì)棒：m1、 l ，水平軸水平軸O，小球：，小球：m2與棒相與棒相碰，碰前碰，碰前 碰后碰后 如圖，設(shè)碰撞時(shí)間很短，棒保持如圖，設(shè)碰撞時(shí)間很短，棒保持豎直，求碰后棒的角速度。豎直，求碰后棒的角速度。v v系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O軸角動(dòng)量守恒軸角動(dòng)量守恒 221312v lmlmlvmlmvvm123注意：注意：系統(tǒng)總動(dòng)量一般不守恒，因?yàn)檩S承處的外力不能忽略。系統(tǒng)總動(dòng)量一般不守恒，因?yàn)檩S承處的外力不能忽略。只當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，只當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，Nx=0，系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒：，系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒：解：解：vmlmvmvmvm2121 2c12

62、3222131322)(v lmlmlvmvv O上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系解：解：(1) A球所受合外力的沖量球所受合外力的沖量例例 光滑球盤上有兩只光滑彈性小球光滑球盤上有兩只光滑彈性小球A和和B，質(zhì)量均為，質(zhì)量均為m，半徑為半徑為R，B球靜止在盤壁邊，球靜止在盤壁邊，A球以球以 m/s的的速度斜射至速度斜射至(-R，R)處與盤壁和處與盤壁和B球同時(shí)碰撞球同時(shí)碰撞, 碰撞后，若碰撞后，若A球的速度為球的速度為 ， 求求: (1) A球所受合外力的沖量。球所受合外力的沖量。 (2) A，B 組成的系統(tǒng)所受的合外力的沖量。組成的系統(tǒng)所受的合外力的沖量。 (3) 球與壁球與壁之間的恢

63、復(fù)系數(shù)。之間的恢復(fù)系數(shù)。jiv220jvA5 . 10vmvmIAA(2) A，B系統(tǒng)所受合外力的沖量系統(tǒng)所受合外力的沖量jIIAyAB(3) 球與壁之間的恢復(fù)系數(shù)球與壁之間的恢復(fù)系數(shù)xyA B)5 . 32(jimjm5 . 375. 025 . 1上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系例例 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球以入射角的小球以入射角 與一粗與一粗糙的表面發(fā)生斜碰。已知小球與表面的摩擦系數(shù)為糙的表面發(fā)生斜碰。已知小球與表面的摩擦系數(shù)為 ，恢，恢復(fù)系數(shù)為復(fù)系數(shù)為 e，求碰撞后小球的速度大小與方向。，求碰撞后小球的速度大小與方向?？紤]小球，碰撞過(guò)程，忽略重力考慮小球，碰撞過(guò)程，忽略重力由動(dòng)量定理：由動(dòng)量定理：(1) sinsincoscos0000vvvv)cos(cos00mvmvtN00sinsinmvmvtNx：y：解：解：)2(0cos0cos00mvmve恢復(fù)系數(shù)：恢復(fù)系數(shù)： v0, x 0 y0vvfN上海交通大學(xué)上海交通大學(xué) 物理系物理系本章小結(jié)本章小結(jié)本章要點(diǎn)是掌握保守力做功的特點(diǎn)，能本章要點(diǎn)是掌握保守力做功的特點(diǎn)，能正確運(yùn)用機(jī)械能守恒定律；掌握計(jì)算各類正確運(yùn)用機(jī)械能守恒定律；掌握計(jì)算各類問(wèn)題的方法；了解剛體純滾動(dòng)的特點(diǎn)。問(wèn)題的方法；了解剛體純滾動(dòng)的特點(diǎn)。