新版高三數(shù)學(xué) 第31練 三角函數(shù)綜合練

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2、 1 第31練 三角函數(shù)綜合練 訓(xùn)練目標(biāo) (1)三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的應(yīng)用；(2)三角函數(shù)與解三角形的綜合． 訓(xùn)練題型 (1)討論函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象、性質(zhì)；(2)三角變換和三角函數(shù)的結(jié)合；(3)三角函數(shù)與解三角形． 解題策略 (1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)，可先進(jìn)行三角變換，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或復(fù)合函數(shù)；(2)解題中貫穿整體代換、數(shù)形結(jié)合

3、思想；(3)三角函數(shù)和解三角形的綜合問題，一定要結(jié)合正弦、余弦定理，利用三角形中的邊角關(guān)系. 一、選擇題 1．若tan α＝2tan ，則等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 3.已知A，B，C，D，E是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的五個(gè)點(diǎn)，如圖，A，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω

4、＝，φ＝ 4．在△ABC中，已知2acos B＝c，sin AsinB(2－cosC)＝sin2＋，則△ABC為(　　) A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．銳角非等邊三角形 D．鈍角三角形 5．(20xx·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 二、填空題 6．已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)它的半徑為________ cm和圓心角為________弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________ cm2. 7．當(dāng)x

5、∈時(shí)，函數(shù)y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． 8．若cosα＝，cos(α＋β)＝－，α∈，α＋β∈，則β＝________. 9.如圖，某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚 s．在A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°，則該儀器的垂直彈射高度CH＝________ m．(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s) 三、解答題 10．在△ABC中，內(nèi)角A，

6、B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin A－sin C(cosB＋sin B)＝0. (1)求角C的大??； (2)若c＝2，且△ABC的面積為，求a，b的值． 答案精析 1．C　[＝＝ ＝＝＝＝3.] 2．C　[∵sin α＋2cos α＝， ∴sin2α＋4sin α·cosα＋4cos2α＝. 用降冪公式化簡(jiǎn)得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝＝－.故選C.] 3．A　[因?yàn)锳，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為， 所以T＝4×＝π，所以ω＝2. 因?yàn)锳，所以0＝sin， 所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又

7、因?yàn)?<φ<，所以φ＝.故選A.] 4．B　[由正弦定理，得2sin AcosB＝sin C. 在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin AcosB＝sin AcosB＋cosAsinB， 整理得sin AcosB＝cosAsinB， ∴tan A＝tan B. 又∵A，B∈(0，π)，∴A＝B. ∵sin AsinB(2－cosC)＝sin2＋， ∴sin AsinB＝sin2＋， ∴sin AsinB＝， ∴sin AsinB＝. ∵A＝B，∴sin A＝sin B＝. ∵A，B∈(0，π)，∴A＝B＝. ∵A＋B＋C＝π，∴C＝

8、， ∴△ABC是等腰直角三角形．] 5．B　[因?yàn)閤＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為f(x)的圖象的對(duì)稱軸，所以－＝＋kT， 即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)， 所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值為9，故選B.] 6．1　2　1 解析　設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r cm，則2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2， ∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴當(dāng)r＝1時(shí)，(S扇形)max＝1，此時(shí)|α|＝2. 7.　2 解析　∵x∈，∴sin x∈. 又∵y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－ 2(1－sin2x)＝

9、22＋， ∴當(dāng)sin x＝時(shí)，ymin＝； 當(dāng)sin x＝－或sin x＝1時(shí)，ymax＝2. 8. 解析　∵cosα＝，α∈， ∴sin α＝. 又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈， ∴sin(α＋β)＝， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sin α＝. 又∵α∈，α＋β∈， ∴β∈(0，π)，∴β＝. 9．140 解析　由題意，設(shè)AC＝x m，則BC＝x－×340＝(x－40) m．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x

10、＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝140(m)． 故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m. 10．解　(1)由題意得，∵A＋B＋C＝π， ∴sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)， ∴sin BcosC＋sin CcosB－sin CcosB－sin BsinC＝0， 即sin B(cosC－sin C)＝0， ∵0