新版與名師對話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時跟蹤訓(xùn)練：第四章 三角函數(shù)　解三角形 課時跟蹤訓(xùn)練24 Word版含解析

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2、 1 課時跟蹤訓(xùn)練(二十四) [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1．已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a，燈塔A在C的北偏東20°，燈塔B在C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) B.a C.a D．2a [解析]　如圖所示，由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2得AB＝a.故選B. [答案]　B 2．如

3、圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點(diǎn)的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m [解析]　由題意得∠B＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝50(m)． [答案]　A 3．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東10° D．南偏西10° [解

4、析]　燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80°， ∠CAB＝∠CBA＝50°， 則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°. [答案]　B 4．在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)(　　) A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m [解析]　依題意畫出示意圖． 則＝ ∴CM＝×10 ≈37.3. [答案]　C 5．張曉華同學(xué)騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15

5、 min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點(diǎn)B時與電視塔S的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．3 km D．2 km [解析]　畫出示意圖如圖， 由條件知AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3. [答案]　B 6．在200米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為(　　) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 [解析]　作出示意圖如右圖， 由已知，在Rt△OAC中，O

6、A＝200，∠OAC＝30°，則OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝. 在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30°， 則BD＝AD·tan∠BAD＝·tan30°＝， ∴BC＝CD－BD＝200－＝. [答案]　A 二、填空題 7．一船以每小時15 km的速度向正東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________km. [解析]　 如圖所示，依題意有： AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°， ∠AMB＝45°， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30

7、(km)． [答案]　30 8．(20xx·廣東廣州市高三綜合測試)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m. [解析]　如圖，由題意知，OA＝30， ∠OAM＝45°，∠OAN＝30°， ∠MON＝30°. 在Rt△AOM中，OM＝OA· tan∠OAM＝30·tan45°＝30. 在Rt△AON中，ON＝OA·tan∠OAN＝30·tan30°＝10. 在△MON中，由余弦定理得 MN＝ ＝ ＝＝10(m)． [答案]　10

8、9．(20xx·山西大學(xué)附中檢測)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于________m. [解析]　如圖，∠ACD＝30°， ∠ABD＝75°，AD＝60 m, 在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝ ＝60(2－)(m)， ∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)． [答案]　120(－1) 三、解答題 10.港口A北偏東30°方向的C處有一檢查站，港口正東方向的B處有一輪船，距離檢查站為31海里，該輪船從B處沿正西方向航行20海里

9、后到達(dá)D處觀測站，已知觀測站與檢查站距離21海里，問此時輪船離港口A還有多遠(yuǎn)？ [解]　在△BDC中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－， ∴sin∠CDB＝. ∴sin∠ACD＝sin＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin ＝. 在△ACD中，由正弦定理知＝?AD＝×21÷＝15. ∴此時輪船距港口還有15海里． [能力提升] 11．(20xx·山西太原模擬)某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0 °，則山的高度BC為(　　) A．500(＋1)m

10、B．500 m C．500(＋1)m D．1000 m [解析]　 過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E，因為∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理，得AB＝＝＝500(＋)(m) 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(＋1)(m)． [答案]　A 12．某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．12米

11、 [解析]　如圖，設(shè)塔高為h， 在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30°， 則OD＝h， 在△OCD中，∠OCD＝120°， CD＝10， 由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD， 即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°， ∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)． [答案]　C 13．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，則甲船應(yīng)取方向________才能追上乙船；追上時甲船行駛了________海里．

12、 [解析]　如圖所示，設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v， 則BC＝tv，AC＝tv，B＝120°， 由正弦定理知＝， ∴＝， ∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°， ∴BC＝AB＝a， ∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120° ＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a. [答案]　北偏東30°　a 14. (20xx·廣東省五校協(xié)作體高三一診)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處

13、，又測得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝________. [解析]　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由內(nèi)角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根據(jù)正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cosθ＝－1. [答案]?。? 15.海島B上有一座高為10米的塔，塔頂有一個觀測站A，上午11時測得一游船位于島北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，一分鐘后測得該游船位于島北偏西75

14、°方向上，且俯角為45°的D處．(假設(shè)游船勻速行駛) (1)求該船行駛的速度(單位：米/分鐘)； (2)又經(jīng)過一段時間后，游船到達(dá)海島B的正西方向E處，問此時游船距離海島B多遠(yuǎn)？ [解]　(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝10， 則BC＝10米； 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝10，則BD＝10米； 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 則CD＝ ＝20米． 所以速度v＝＝20米/分鐘． (2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又因為∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°. 在△BCE中，由正弦定理可知＝， 所以EB＝＝5米． [延伸拓展] 　(20xx·江西宜春段考)某工廠實施煤改電工程防治霧霾，欲拆除高為AB的煙囪，測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C，D，測得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝40米，并在點(diǎn)C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30°，且CE＝1米，則煙囪高AB＝________米． [解析]　∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝45°， 在△CBD中，根據(jù)正弦定理得BC＝＝20， ∴AB＝1＋tan30°·CB＝1＋20(米)． [答案]　1＋20