2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc

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2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 2．1　實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義 某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為W＝W(t)＝t3－4t2＋10t. 問題1：t從1 s到4 s時(shí)，功W關(guān)于時(shí)間t的平均變化率是多少？ 提示：＝＝11(J/s)． 問題2：上述問題的實(shí)際意義是什么？ 提示：它表示從t＝1 s到t＝4 s這段時(shí)間內(nèi)，這個(gè)人平均每秒做功11 J. 問題3：W′(1)的實(shí)際意義是什么？ 提示：∵W′(t)＝3t2－8t＋10， ∴W′(1)＝5. 表示此人在t＝1s時(shí)每秒做功為5 J. 實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義 1．功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是功率． 2．降雨量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是降雨強(qiáng)度． 3．生產(chǎn)成本關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)是邊際成本． 4．路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度．速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是加速度． 5．質(zhì)量關(guān)于長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù)是線密度． 在日常生活中，有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量．如物理學(xué)中，速度是路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，功率是功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)．解決這些問題，要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再用數(shù)學(xué)結(jié)論解釋實(shí)際問題． 導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用 [例1]　把原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x h時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)． (1)分別計(jì)算當(dāng)x從0變到1，從2變到3時(shí)，原油溫度y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義； (2)計(jì)算第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義． [思路點(diǎn)撥]　(1)平均變化率即為. (2)可利用導(dǎo)數(shù)公式求出y′，再分別求當(dāng)x＝2,6時(shí)的導(dǎo)數(shù)值． [精解詳析]　(1)由題意得f(0)＝15，f(1)＝9， ∴當(dāng)x從0變到1時(shí)，原油溫度平均變化率為 ＝－6(℃/h)， 表示從0到1這一小時(shí)內(nèi)，原油溫度平均每小時(shí)降低6℃. 又f(2)＝5，f(3)＝3， ∴當(dāng)x從2變到3時(shí)，原油溫度平均變化率為 ＝－2(℃/h)， 表示從2到3這一小時(shí)內(nèi)，原油溫度平均每小時(shí)降低2℃. －6<－2，說明原油溫度在開始的1小時(shí)比以后1小時(shí)的溫度下降的多． (2)y′＝2x－7，當(dāng)x＝2時(shí)，y′＝－3， 當(dāng)x＝6時(shí)，y′＝5. 在第2 h與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3與5.這說明x＝2 h時(shí)原油溫度大約以3℃/h的速率下降；x＝6 h時(shí)，原油溫度大約以5℃/h的速率上升． [一點(diǎn)通]　 利用導(dǎo)數(shù)解決物理問題，關(guān)鍵是要熟悉相關(guān)的物理概念、公式，并聯(lián)系導(dǎo)數(shù)的物理意義求解． 1．某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W是時(shí)間t的函數(shù)W＝W(t)，則W′(t0)表示(　　) A．t＝t0時(shí)做的功　　　　　 B．t＝t0時(shí)的速度 C．t＝t0時(shí)的位移 D．t＝t0時(shí)的功率 答案：D 2．在F1賽車中，賽車位移與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s＝10t＋5t2(s的單位為m，t的單位為s)．求： (1)t＝20，Δt＝0.1時(shí)的Δs與； (2)求t＝20時(shí)的瞬時(shí)速度． 解：(1)∵Δs＝s(20.1)－s(20)＝(1020.1＋520.12)－(1020＋5202)＝21.05， ∴＝＝210.5(m/s)． (2)∵s′＝10＋10t，∴當(dāng)t＝20時(shí)， s′＝10＋1020＝210(m/s)， 即t＝20時(shí)的瞬時(shí)速度為210 m/s. 工作效率問題 [例2]　一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量y(單位：g)是工作時(shí)間x(單位：h)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)表示為y＝f(x)＝＋4. (1)求x從1 h變到4 h時(shí)，y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義； (2)求f′(1)，f′(4)，解釋它的意義． [思路點(diǎn)撥]　利用平均變化率的計(jì)算公式求解，然后結(jié)合實(shí)際問題正確解釋其意義． [精解詳析]　(1)當(dāng)x從1 h變到4 h時(shí)， 產(chǎn)量y從f(1)＝ (g)變到f(4)＝ (g)， 此時(shí)平均變化率為＝＝(g/h)， 它表示從1 h到4 h這段時(shí)間這個(gè)人平均每小時(shí)生產(chǎn) g產(chǎn)品． (2)f′(x)＝＋，于是f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，f′(1)和f′(4)分別表示在第1小時(shí)和第4小時(shí)這個(gè)人每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品 g和 g. [一點(diǎn)通]　 工作效率即產(chǎn)量對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)．解決該類問題時(shí)要正確表示出工作時(shí)間與產(chǎn)品數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用相應(yīng)的求導(dǎo)公式及法則解決． 3．某考生在參加2011年高考數(shù)學(xué)科考試時(shí)，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時(shí)間x(單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關(guān)系y＝2. (1)求x從0分鐘變化到36分鐘時(shí)，y關(guān)于x的平均變化率； (2)求f′(64)，f′(100)，并解釋它的實(shí)際意義． 解：(1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關(guān)于x的平均變化率為：＝＝. 它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答完道題． (2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，f′(100)＝. 它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時(shí)每分鐘可解答和道題． 4．東方機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)械，已知生產(chǎn)總利潤(rùn)c元與生產(chǎn)量x臺(tái)之間的關(guān)系式為c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求產(chǎn)量為1 000臺(tái)的總利潤(rùn)與平均利潤(rùn)； (2)求產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)的平均改變量； (3)求c′(1 000)與c′(1 500)，并說明它們的實(shí)際意義． 解：(1)產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)的總利潤(rùn)為 c(1 000)＝－21 0002＋7 0001 000＋600＝5 000 600(元)， 平均利潤(rùn)為＝5000.6(元)． (2)當(dāng)產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)的平均改變量為＝＝2 000(元)． (3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000， ∴c′(1 000)＝－41 000＋7 000＝3 000(元)， c′(1 500)＝－41 500＋7 000＝1 000(元)， 它指的是當(dāng)產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利3 000元． 而當(dāng)產(chǎn)量為1 500臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利1 000元. 導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用 [例3]　某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系為C(x)＝x2＋60x＋2 050. (1)當(dāng)日產(chǎn)量由10件提高到20件時(shí)，求總成本的平均改變量，并說明其實(shí)際意義； (2)求當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本，并說明其實(shí)際意義． [思路點(diǎn)撥]　(1)利用函數(shù)平均變化率計(jì)算，然后結(jié)合實(shí)際問題解釋． (2)用瞬時(shí)變化率的意義解釋． [精解詳析]　(1)當(dāng)x從10件提高到20件時(shí)，總成本C從C(10)＝2 675(元)變到C(20)＝3 350(元)， 此時(shí)總成本的平均改變量為＝67.5(元/件)，其表示產(chǎn)量從x＝10件提高到x＝20件時(shí)，平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量． (2)∵C′(x)＝x＋60， ∴C′(75)＝75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是當(dāng)產(chǎn)量為75件時(shí)，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加成本97.5元． [一點(diǎn)通]　 生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)y＝f(x)中，f′(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí)，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是產(chǎn)量為x0時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量，需增加f′(x0)個(gè)單位的成本． 5．建造一幢長(zhǎng)度為x m的橋梁需成本y萬元，函數(shù)關(guān)系為y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)． (1)當(dāng)x從100變到200時(shí)，平均每米的成本為________； (2)f′(100)＝________，其實(shí)際意義為________． 解析：(1)f(100)＝1 010.3，f(200)＝4 020.3， ∴＝30.1(萬元/m) 即平均變化率為30.1萬元/m. (2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(萬元/m)，即當(dāng)長(zhǎng)度為100 m時(shí)，每增加1 m的長(zhǎng)度，成本就增加20.1萬元． 答案：(1)30.1萬元　(2)20.1萬元/m　當(dāng)長(zhǎng)度為100 m時(shí)， 每增加1 m的長(zhǎng)度成本就增加20.1萬元 6．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝(800，即f(x)在[3,4]為增函數(shù)， ∴當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取最小值f(3)＝3＋＝； 當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取最大值f(4)＝4＋＝5. (2)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1. 而f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－)＝0，f()＝0， ∴x＝1時(shí)，f(x)取最大值f(1)＝2； x＝－1時(shí)，f(x)取最小值f(－1)＝－2. 與最值有關(guān)的恒成立問題 [例2]　設(shè)f(x)＝x3－x2－2x＋5. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間； (2)當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)0，f(x)為增加的； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減少的． 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增加的． 所以f(x)的遞增區(qū)間為和(1，＋∞)，f(x)的遞減區(qū)間為. (2)當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)7，即m的取值范圍為(7，＋∞)． [一點(diǎn)通]　 解決恒成立問題，常用方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過分離參數(shù)，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m0，解得x>，令f′(x)<0，解得01時(shí)，g′(x)>0， ∴g(x)在[1，＋∞)上是增加的， 所以g(x)的最小值為g(1)＝1.則a≤1. 故a的取值范圍是(－∞，1]. 面積、體積(容積)的最值問題 [例3]　某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園．已知AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC|＝4 km，|AO|＝2 km，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的兩邊分別落在AB，BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上，應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園的用地面積最大？并求出最大的用地面積(精確到0.1 km2)． [思路點(diǎn)撥]　建立坐標(biāo)系，求出OC所在拋物線的方程，用P(在OC上)的坐標(biāo)表示矩形的面積，再求最大值． [精解詳析]　以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，依題意可設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0)，且過點(diǎn)C(2,4)，所以22＝2p4，解得p＝. 故曲線段OC的方程為y＝x2(0≤x≤2)．設(shè)p(x，x2)(00，S是增加的； 當(dāng)x∈時(shí)，S′<0，S是減少的． ∴當(dāng)x＝時(shí)，S取得最大值，此時(shí)PM＝，PN＝，Smax＝＝≈9.5(km2)． 故把工業(yè)園規(guī)劃成長(zhǎng)為 km，寬為 km時(shí)，工業(yè)園的用地面積最大，約為9.5 km2. [一點(diǎn)通]　 對(duì)于面積、容積的最值問題，正確設(shè)出變量，準(zhǔn)確寫出面積、容積的表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵．利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值是解決問題的方法；若在所給區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f(x)存在唯一的極值，必為函數(shù)的最值． 5．建造一個(gè)容積為8立方米，深為2米的無蓋長(zhǎng)方體蓄水池，池壁的造價(jià)為每平方米100元，池底的造價(jià)為每平方米300元，則總造價(jià)的最小值為(　　) A．400元 B．1 200元 C．1 600元 D．2 800元 解析：設(shè)總造價(jià)為y元，池底的一邊長(zhǎng)x米，池底的面積為82＝4(平方米)，池底的另一邊長(zhǎng)為米，池壁的面積為4平方米，故有y＝4300＋4100＝400＋1 200(x＞0)．y′＝400， 令y′＝0得x＝2，由y′ ＞0得x ＞2，由y′＜0得0＜x＜2， 即y在(0,2)上是減少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值，且ymin＝2 800. 答案：D 6．用總長(zhǎng)為14.8 m的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方形容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積． 解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m，則另一邊長(zhǎng)為(x＋0.5) m，容器的高為[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x) (m)． 由x>0,3.2－2x>0，得00，當(dāng)11在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：∵f(x)＝ax－ln x，f(x)>1在(1，＋∞)內(nèi)恒成立， ∴a>在(1，＋∞)內(nèi)恒成立． 設(shè)g(x)＝， ∴x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＝<0， 即g(x)在(1，＋∞)上是減少的，∴g(x)0或f′(x)<0； (3)寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間． 特別注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對(duì)不能用“∪”連接． 二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)的f′(x)的符號(hào)，若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值．否則此根不是f(x)的極值點(diǎn)． 三、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟 (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將(1)求得的極值與f(a)，f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值． 特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以判斷f(x)在該點(diǎn)處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 四、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問題： (1)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去． (2)在實(shí)際問題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值． 　 (時(shí)間90分鐘，滿分120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．函數(shù)f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．無最值　　　　　　　　 B．有極值 C．有最大值 D．有最小值 解析：∵f(x)＝2x－cos x， ∴f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立． 故f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上是增加的，既沒有最大值也沒有最小值． 答案：A 2．函數(shù)f(x)＝2x2－ln x的遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D.和 解析：f′(x)＝4x－＝(x>0)， 令f′(x)>0，得x>. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 答案：C 3．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝f(x)，且x＞0時(shí)，f′(x)＞0，則x＜0時(shí)(　　) A．f′(x)＞0 B．f′(x)＜0 C．f′(x)＝0 D．無法確定 解析：因?yàn)閒(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．又x＞0時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在x＞0時(shí)為增加的，由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可知當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)為減少的． 答案：B 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，則f(x)在R上為增加的充要條件是(　　) A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤0 解析：要使f(x)在R上為增加的，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在R上恒成立(但f′(x)不恒等于零)，故只需Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0. 答案：D 5．若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上可導(dǎo)，且滿足f(x)＞－xf′(x)，則一定有(　　) A．函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上為增加的 B．函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上為減少的 C．函數(shù)G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上為增加的 D．函數(shù)G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上為減少的 解析：設(shè)y＝xf(x)，則y′＝xf′(x)＋f(x)＞0，故y＝xf(x)在(0，＋∞)上為增加的． 答案：C 6．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值與最小值分別是(　　) A．5，－15 B．5,4 C．－4，－15 D．5，－16 解析：y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2， 又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4， ∴最大值、最小值分別是5，－15. 答案：A 7．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3處取得極值，則a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3， 又f(x)在x＝－3處取得極值，∴f′(－3)＝30－6a＝0. 得a＝5. 答案：D 8．把長(zhǎng)為12 cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是(　　) A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為x cm，則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4－x) cm，兩個(gè)三角形的面積和為S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4(00. 所以x＝2時(shí)，S取最小值2. 答案：D 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖像不可能為y＝f(x)的圖像的是(　　) 解析：∵[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f′(x)＋f(x)]ex，又x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)， ∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而選項(xiàng)D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中圖像不可能為y＝f(x)的圖像． 答案：D 10．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170p－p2，則最大毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)為(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 解析：設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p)， 由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0， 解得p＝30或p＝－130(舍去)． 此時(shí)，L(30)＝23 000. 因?yàn)樵趐＝30附近的左側(cè)L′(p)>0， 右側(cè)L′(p)<0， 所以L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤(rùn)為23 000元． 答案：D 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把正確的答案填在題中的橫線上) 11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是________． 解析：令f′(x)＝3x2＋2ax＋＝0，此方程應(yīng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ>0. 即4a2－12>0， ∴a2－3a＋2>0，∴a>2或a<1. 答案：(－∞，1)∪(2，＋∞) 12．若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－ln x(a≠0)在區(qū)間[1,2]上是增加的，則實(shí)數(shù)a的最小值為________． 解析：易知x＞0，且f′(x)＝ax＋2－＝，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增加的， ∴f′(x)≥0對(duì)x∈[1,2]恒成立，即不等式ax2＋2x－1≥0對(duì)x∈[1,2]恒成立，即a≥＝－＝2－1恒成立，故a≥max，而當(dāng)x＝2時(shí)，2－1取到最大值－， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥－，即實(shí)數(shù)a的最小值為－. 答案：－ 13．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c(x)＝1 200＋x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P＝，則產(chǎn)量定為________件時(shí)，總利潤(rùn)最大． 解析：總利潤(rùn)L(x)＝x－1 200－＝－＋500－1 200(x ＞0)．由L′(x)＝－x2＋＝0得x＝25；令L′(x)＞0得0＜x＜25；令L′(x)＜0得x＞25.故L(x)在(0,25)上是增加的，在(25，＋∞)上是減少的，所以當(dāng)產(chǎn)量定為25件時(shí)，總利潤(rùn)最大． 答案：25 14．已知函數(shù)f(x)＝2ln x＋(a＞0)．若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)≥2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x， 令g(x)＝2x2－2x2ln x，則g′(x)＝2x(1－2ln x)． 由g′(x)＝0，得x＝e，0(舍去)， 且0＜x＜e時(shí)，g′(x)＞0，當(dāng)x＞e時(shí)，g′(x)＜0， ∴x＝e時(shí)，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e. 答案：[e，＋∞) 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.　 (1)若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x2＝1，求實(shí)數(shù)a的值； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a. (1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，從而x1x2＝＝1， 所以a＝9. (2)因?yàn)棣ぃ?6(a＋2)2－4182a＝36(a2＋4)>0， 所以不存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)． 16．(本小題滿分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2時(shí)有極大值6，在x＝1時(shí)有極小值，求a，b，c的值；并求f(x)在區(qū)間[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由條件知 解得a＝，b＝，c＝. (2)f(x)＝x3＋x2－2x＋， f′(x)＝x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)． 列表如下： x －3 (－3，－2) －2 (－2,1) 1 (1,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  6   由上表知，在區(qū)間[－3,3]上，當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取最大值，x＝1時(shí)，f(x)取最小值. 17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (1)當(dāng)a＝－時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性； (2)若x∈[2，＋∞)時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝－時(shí)，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1.f′(x)＝3x2－6x＋3. 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1. 當(dāng)x∈(－ ∞， －1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增加的； 當(dāng)x∈(－1，＋1)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)上是減少的； 當(dāng)x∈(＋1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增加的． (2)要使x∈[2，＋∞)時(shí)，f(x)≥0恒成立，只需x∈[2，＋∞)時(shí)，f(x)min≥0即可． 由于f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)＝3[(x＋a)2＋1－a2]， ①當(dāng)a2≤1時(shí)，f′(x)≥0且不恒為零，所以f(x)在[2，＋∞)上的最小值為f(2)； ②當(dāng)a2＞1時(shí)，由f′(x)＝0可得x＝－a，記x1＝－a－，x2＝－a＋.結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)易知，當(dāng)x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上是增加的，在(x1，x2)上是減少的．而由x1＜x2＜0知x2＜2，即f(x)在[2，＋∞)上是增加的，故此時(shí)也有f(x)min＝f(2)． 綜上可知，f(x)在[2，＋∞)上的最小值為f(2)＝3(4a＋5)，由f(2)≥0，得a≥－，故a的取值范圍為. 18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x，a∈R. (1)若a＝2，求這個(gè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程； (2)求f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值． 解：(1)a＝2時(shí)，f(x)＝x2－2ln x，f(1)＝，f′(x)＝x－，f′(1)＝－1， 所以切線方程為y－＝－(x－1)，即2x＋2y－3＝0. (2)依題意，x＞0，f′(x)＝x－＝(x2－a)， ①當(dāng)a≤1時(shí)，因?yàn)閤∈[1，e]，1≤x2≤e2，，所以f′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝a＝1時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上是增加的，最小值為f(1)＝. ②當(dāng)a≥e2時(shí)，因?yàn)?≤x2≤e2，所以f′(x)≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝e，a＝e2時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上是減少的，最小值為f(e)＝e2－a. ③當(dāng)1＜a＜e2時(shí)，解f′(x)＝(x2－a)＝0得x＝(負(fù)值舍去)，f′(x)的符號(hào)和f(x)的單調(diào)性如下表： x [1，) (，e] f′(x) － 0 ＋ f(x)  最小值  故f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f()＝a－a ln a. 綜上所述，a≤1時(shí)，f(x)的最小值為f(1)＝；1＜a＜e2時(shí)，f(x)的最小值為f()＝a－aln a；a≥e2時(shí)，f(x)的最小值為f(e)＝e2－a.