高考數(shù)學文科總復習【第二章】函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用 第十三節(jié)

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1、 精品資料 1．了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次． 2．了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次． 知識梳理 一、函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 1．函數(shù)單調(diào)性的充分條件． 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y′>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________；如果在這個區(qū)間內(nèi)y

2、′<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________． 2．函數(shù)單調(diào)性的必要條件． 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個區(qū)間內(nèi)________；如果函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為________，那么在這個區(qū)間內(nèi)________． 3．求可導函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法． (1)確定函數(shù)f(x)的定義域． (2)計算導數(shù)________，令________，解此方程，求出它們在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實根． (3)把函數(shù)f(x)的間斷點[即f(x)的無定義的點]的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把f(

3、x)的定義域分成若干個小區(qū)間． (4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小區(qū)間的增減性[若f′(x)>0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若f′(x)<0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)]． 二、函數(shù)的極值 1．函數(shù)極值的定義． 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是____________，記作____________，x0是________． 如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0)．就說f(x0)是______________，記作_________

4、_____，x0是極小值點．極大值與極小值統(tǒng)稱為________． 2.判別f(x0)是極大值、極小值的方法． 若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導數(shù)異號，則x0是f(x)的極值點，f(x0)是極值，并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負”，那么x0是f(x)的________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“________”，那么x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值． 3．求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟． (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)________． (2)求方程________的根． (3)用函數(shù)的導數(shù)為0

5、的點和函數(shù)定義域的邊界點，順次將函數(shù)的定義域分成________，并列成表格．檢查f′(x)在________________，如果________，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果________，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右______，那么f(x)在這個根處______． 三、函數(shù)的最大值與最小值 1．函數(shù)的最大值與最小值． 在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在上________最大值與最小值． 2．利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟． 設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導，在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷，求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值的步驟如下： (1)求f(x)在

6、(a，b)內(nèi)的________； (2)將f(x)的各________與________比較，得出函數(shù)f(x)在上的最值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 一、1.增函數(shù)　減函數(shù)　2.y′≥0　減函數(shù)　y′≤0 3．(2)f′(x)　f′(x)＝0 二、1.函數(shù)f(x)的一個極大值　y極大值＝f(x0)　極大值點　函數(shù)f(x)的一個極小值　y極小值＝f(x0)　極值 2．極大值點　極大值　左負右正 3．(1)f′(x)　(2)f′(x)＝0　(3)若干小開區(qū)間　方程根左右的值的符號　左正右負　左負右正　不改變符號　無極值 三、1.必有　2.(1)極值　(2)極

7、值　f(a)，f(b) 基礎(chǔ)自測 1．函數(shù)y＝xsin x＋cos x在(π，3π)內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D．(π，2π) 解析：∵y＝xsin x＋cos x，∴y′＝xcos x. 當x∈(π，3π)時，要使y′＝xcos x＞0，只要cos x＞0，結(jié)合選項知，只有B滿足． 答案：B 2. (2013·四川南充二模)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是(　　) 解析：因為函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，所以，當x＜

8、－2時，f′(x)＜0，所以xf′(x)＞0；當－2＜x＜0，f′(x)＞0，所以xf′(x)＜0.故選C. 答案：C 3．(2012·哈爾濱三中月考)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是________． [來源:] 解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax－5，∴f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1.如果函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上單調(diào)，那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3.于是滿足條件的a∈(－3,1)． 答案：(－3,1) 4．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝______處取得極小值．

9、 [來源:] 答案：2 [來源:] 1．(2012·陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則(　　) A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點 C．x＝－1為f(x)的極大值點 D．x＝－1為f(x)的極小值點 解析：f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，x<－1時，f′(x)<0，f(x)＝xex為減函數(shù)；x>－1時，f′(x)>0，f(x)＝xex為增函數(shù)，所以x＝－1為f(x)的極小值點．故選D. 答案：D 2．(2013·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲線y＝f

10、(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值； (2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍． 解析：(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x， 得f′(x)＝x(2＋cos x)， 因為y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切． 所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)， 則a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f′(x)＝0，得x＝0. 所以當x>0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)遞增． 當x<0時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上遞減． 所以f(x)的最小值為f(0)＝1. 由于

11、函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調(diào)， 所以當b>1時曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點． 所以b的取值范圍是(1，＋∞)． 1．已知函數(shù)f(x)＝ (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若關(guān)于x的方程f(x)＝k恰有三個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍． 解析：(1)當x>0時，－x<0， ∵f(x)＝xln x，f(－x)＝－xln x， ∴f(－x)＝－f(x)， 當x<0時，－x>0， ∵f(x)＝xln(－x)，f(－x)＝－xln(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)

12、． (2)當x>0時，f(x)＝xln x， f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1， 令f′(x)<0，得 00，得 x>， ∴當x∈時，f(x)是增函數(shù)， 又 f(x)是奇函數(shù)，∴當x∈時，f(x)是減函數(shù)， x∈時，f(x)是增函數(shù)， ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，. (3)考查f(x)的圖象變化，由(2)知， 當x∈時，f(x)由0遞減到f＝－， 當x∈時，f(x)由f遞增到＋∞， 當x∈時，f(x)由－∞遞增到f＝， 當x∈時，f(x)由f遞減到0， ∵方程f(x)＝k恰有三個不同

13、的根， ∴f(x)的圖象與y＝k的圖象應(yīng)有3個不同的交點， ∴－

14、知f(x)＝x2－x＋1， 關(guān)于x的方程f(x)＝kex恰有兩個不同的實根， 即x2－x＋1＝k·ex有兩個不同的實根，也就是k＝e－x(x2－x＋1)有兩個不同的實根． 令g(x)＝e－x(x2－x＋1)， 2)e-x= 則g′(x)＝(2x－1)e－x－(x2－x＋1)e－x＝－(x2－3x＋ －(x－1)(x－2)e－x 由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝2. 所以當x∈(－∞，1)時，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)； 當x∈(1,2)時，g′(x)＞0，g(x)在(1,2)上為增函數(shù)； 當x∈(2，＋∞)時，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上為減函數(shù)； 所以，當x＝1時，g(x)取得極小值g(1)＝，當x＝2時函數(shù)取得極大值g(2)＝. 函數(shù)y＝k與y＝g(x)的圖象的大致形狀如上， 由圖象可知，當k＝和k＝時，關(guān)于x的方程f(x)＝kex恰有兩個不同的實根．