高等數(shù)學(xué)方法講解(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)王升瑞).ppt

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1 高等數(shù)學(xué)方法 主講教師 王升瑞 第一講 2 唯有奮斗 最風(fēng)流 惜時(shí)如金 3 培根說(shuō) 歷史使人聰明 詩(shī)歌使人機(jī)智 數(shù)學(xué)使人精細(xì) 馬克思 一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用 數(shù)學(xué) 才算真正發(fā)展了 伽利略認(rèn)為 宇宙像一本用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫成的大書 如果不掌握數(shù)學(xué)的語(yǔ)言 就像在黑暗的迷宮里游蕩 華羅庚 數(shù)學(xué)是最寶貴的研究精神之一 科學(xué)家語(yǔ)錄 什么也看不清 勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn) 一分辛苦一分才 4 華羅庚 1910 1985 聰明在于勤奮 天才在于積累 學(xué)而優(yōu)則用 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) 由薄到厚 由厚到薄 注意問(wèn)題 認(rèn)真聽(tīng)課 扼要記錄 多做題目 總結(jié)規(guī)律 5 此刻打盹 你將做夢(mèng) 學(xué)習(xí)時(shí)的痛苦是暫時(shí)的 未學(xué)到的痛苦是終身的 學(xué)習(xí)這件事 不是缺乏時(shí)間 學(xué)習(xí)不是人生的全部 請(qǐng)享受無(wú)法回避的痛苦 哈佛圖書館的訓(xùn)誡 但是人生的一部分 只有比別人更早 更勤奮的努力 此刻學(xué)習(xí) 你將圓夢(mèng) 而是缺乏努力 學(xué)習(xí)也無(wú)法征服 還能做什么呢 才能嘗到成功的滋味 6 誰(shuí)也不能隨隨便便成功 狗一樣地學(xué)習(xí) 紳士一樣地玩 今天不走 明天要跑 教育程度代表收入 哈佛圖書館的訓(xùn)誡 沒(méi)有艱辛 便無(wú)所獲 它來(lái)自徹底的自我管理和毅力 即使現(xiàn)在 對(duì)手也不停地翻動(dòng)書頁(yè) 7 科學(xué)方法是打開(kāi)科學(xué)殿堂大門的鑰匙 是由必然王國(guó)通向自由王國(guó)的橋梁 數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂 高等數(shù)學(xué)方法 上 8 參考書 張曉寧 李安昌 高等數(shù)學(xué)方法中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社 2002 9 目錄 第一講高等數(shù)學(xué)中的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題方法第二講研究函數(shù)與極限的基本方法第三講導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法及微分中值定理應(yīng)用第四講導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的方法第五講積分學(xué)的概念 性質(zhì)和不定積分的計(jì)算法第六講定積分的計(jì)算 證明和解應(yīng)用問(wèn)題的方法第七講試題類型及解題方法分析 10 前言 一 為什么要學(xué) 高等數(shù)學(xué)方法 參考前言第一段 1 科學(xué)方法的重要性 科學(xué) 是什么 為什么 技術(shù) 做什么 怎么做 科學(xué)方法 橋梁與鑰匙 反映自然 社會(huì) 思維的客觀規(guī)律的分科的 知識(shí)體系 進(jìn)行物資資料生產(chǎn)所憑借的方法和能力 11 數(shù)學(xué) 思維的體操 科學(xué)的語(yǔ)言 生活的需要 思路 表達(dá) 應(yīng)用 數(shù)學(xué)方法 對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí) 思維方法 解題方法 是數(shù)學(xué)的靈魂 2 數(shù)學(xué)方法的含義 12 二 高等數(shù)學(xué)方法 的結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)方法 參考前言第二 三段 第一部分 第一至第七章 每節(jié)包含 方法指導(dǎo) 實(shí)例分析 相關(guān)問(wèn)題 第二部分 第八至第十一章 包括綜述和提高 從古典數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)靠攏 學(xué)習(xí)方法 1 掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合 2 重視分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法 3 學(xué)習(xí)要縱橫結(jié)合 著眼于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) 13 第一講 高等數(shù)學(xué)中的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題方法 14 一 數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模方法 P511 第一節(jié) 數(shù)學(xué)模型 客觀實(shí)際問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué) 具有形式化 符號(hào)化 簡(jiǎn)潔化的特點(diǎn) 是一種高度抽象的模型 有狹義和廣義兩種解釋 數(shù)學(xué)建模方法 實(shí)驗(yàn)歸納法 理論分析法 P514 物理模型 數(shù)學(xué)模型 求解和分析 結(jié)構(gòu) 許多物理中的概念都要借助于高等數(shù)學(xué)中的 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才能說(shuō)的清楚 15 可無(wú)限逼近 例如 為什么用 及 語(yǔ)言定義極限 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積A 圓內(nèi)接正n邊形的面積為 正整數(shù) 當(dāng) 時(shí) 有 記作 精度要求 邊數(shù)足夠多 找出 利用極限知識(shí)可求出 16 測(cè)量圓面積 直接觀測(cè)量為r 間接觀測(cè)量為A 半徑真值為 面積真值為 測(cè)量圓半徑得 計(jì)算圓面積為 任給精度 要使 尋找精度 讓 記作 17 又如 為什么用增量比的極限定義導(dǎo)數(shù) 運(yùn)動(dòng)規(guī)律 平均速度 速度函數(shù) 平均加速度 轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律 平均角速度 電量函數(shù) 平均電流強(qiáng)度 質(zhì)量分布 平均線密度 光滑曲線 割線斜率 描述變化率問(wèn)題 18 再如 椅子穩(wěn)定問(wèn)題 P515 P516 假設(shè) 四條腿一樣長(zhǎng) 地面為連續(xù)曲面 建模 設(shè)A C兩腳與地面的距離之和為 B D兩腳與地面的距離之和為 不妨設(shè) 且對(duì)任意 有 證明存在 使 19 證明 設(shè) 又 由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理可知 存在 使 即 又知 所以 思考 對(duì)長(zhǎng)方形板凳的穩(wěn)定問(wèn)題如何考慮 提示 相鄰兩腳之和 并旋轉(zhuǎn)1800 20 二 幾種常用的分析問(wèn)題的方法 P444 455 1 簡(jiǎn)化方法2 直觀分析法3 逆向分析法4 類比法 1 簡(jiǎn)化方法 復(fù)雜問(wèn)題 簡(jiǎn)單問(wèn)題 分解法變換法換元法遞推法轉(zhuǎn)化法 21 單調(diào)遞減 提示 令 則轉(zhuǎn)化為討論下述函數(shù) 在t 0時(shí)單調(diào)遞減 注意 說(shuō)明1 與 具有相同的極值點(diǎn) 故可用后者代替前者討論極值 2 有些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 可利用組成它的簡(jiǎn)單 例1 證明 問(wèn)題與單調(diào)性問(wèn)題 函數(shù)鏈的單調(diào)性傳遞得出 如P445例1 22 設(shè) 求 提示 將函數(shù)化為 則 例2 23 2 直觀分析法 通過(guò)特例或圖形 尋找規(guī)律 方法和結(jié)論 與幾何形體有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)盡量畫圖尋求啟示 有關(guān)幾何應(yīng)用畫出圖形找?guī)缀侮P(guān)系 填空題和選擇題可用增強(qiáng)條件的方法找結(jié)論 24 的圖形關(guān)于 例1 設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù) 直線 及 對(duì)稱 試證 為周期 函數(shù) P 447例4 直觀分析 任取一個(gè)實(shí)數(shù) 因此有 是周期為 的函數(shù) 它關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為 而 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為 顯然可猜想 25 的圖形關(guān)于 例1 設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù) 直線 及 對(duì)稱 試證 為周期 函數(shù) P 447例4 證 有 26 拉格朗日中值定理 1 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 滿足 2 在區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 至少存在一點(diǎn) 使 思路 利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù) 作輔助函數(shù) 顯然 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且 證 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 由羅爾定理知至少存在一點(diǎn) 即定理結(jié)論成立 證畢 27 例2證明拉格朗日中值定理時(shí)如何設(shè)輔助函數(shù) 分析 由圖可知 設(shè)輔助函數(shù) C為任意常數(shù) 都可使F x 在 a b 上 因此所設(shè)輔助函數(shù)不唯一 滿足羅爾定理?xiàng)l件 28 例3 如何求函數(shù) 的斜漸近線 分析 由圖可知 若曲線 有斜漸近線 則必有 從而 29 例如 求曲線 的斜漸近線 解 所以曲線有斜漸近線 30 的斜漸近線方程 解 所求斜漸近線方程為 2 求曲線 2005考研 31 在 上連續(xù) 在 內(nèi) 存在 連接兩點(diǎn) 的直線交曲線 于 且 試證至少存在一點(diǎn) 使 提示 如圖所示 有 在 上應(yīng)用Rolle定理 對(duì) P118題7 例4 已知 32 逆向思維 反推 執(zhí)果溯因 反證 利用正命題與逆否命題等價(jià) 反例 找反例說(shuō)明原命題不正確 3 逆向分析法 多用于否命題 33 設(shè)函數(shù)在 0 1 上二階可導(dǎo) 且 證明至少存在一點(diǎn) 使 提示 設(shè)輔助函數(shù) 在 0 1 上滿足Rolle定理 可知有 再對(duì)F x 在 從結(jié)論入手 注意到 利用 上用Rolle定理 例1 34 在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 試證存在使得 提示 轉(zhuǎn)化為證 上滿足Lagrange定理?xiàng)l件 使 則只需證明 可見(jiàn)只要對(duì) 上用Cauchy中值定理 P450 考研98 由于 在 則有 及 在 例2 設(shè)函數(shù) 35 無(wú)實(shí)根 P451例7 提示 用反證法 假設(shè)有實(shí)根 代入 上式兩邊異號(hào) 矛盾 假設(shè)不真 利用 顯然 則有 例3 證明方程 36 高等數(shù)學(xué)方法 主講教師 王升瑞 第二講 37 類比是找相似性 是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要方法 4 類比方法 38 計(jì)算極限 提示 類比下列極限 例1 P453例9 39 計(jì)算極限 提示 類比下列極限 例1 P453例9 40 練習(xí) 1 2 求下列極限 提示 如例1類推 41 練習(xí) 3 求下列極限 提示 42 利用Lagrange微分中值定理易推出 例2 證明下列不等式 43 提示 將不等式改寫為 設(shè) 易證 44 提示 設(shè) 易證 45 說(shuō)明 類似應(yīng)用Cauchy中值定理易推出 若 則 利用此不等式可證明很多有用的不等式 例如 提示 原式可為 令 易證 在嚴(yán)格單調(diào)增加 只需證 46 在嚴(yán)格單調(diào)增加 易證 令 即 則 47 三 幾種常用的證題方法 1 分析綜合法 2 設(shè)輔助函數(shù)法 3 反證法 證明題是考核基本理論 基本運(yùn)算掌握情況和邏輯推理能力的重要題型 通過(guò) 執(zhí)果溯因 尋找證明的途徑 利用 由因?qū)Ч?寫出證明過(guò)程 1 分析綜合法 48 設(shè)為正實(shí)數(shù) 試證 提示 為 上的上凹函數(shù) 在上 P473例12 例1 滿足 49 在上可導(dǎo) 且 證明至少存在 一點(diǎn)使 提示 方法1 因?yàn)?可考慮對(duì)函數(shù) 在區(qū)間 a b 上用Cauchy中值定理 P81例10 例2設(shè) 50 例2設(shè) 一點(diǎn)使 提示 令 方法2 故可考慮對(duì) 問(wèn)題等價(jià)于證明 Rolle中值定理 在 a b 區(qū)間上用 在上可導(dǎo) 且 證明至少存在 即 51 利用輔助函數(shù)證明等式或不等式是一種重要的證明方法 如 尋找輔助函數(shù)一般用逆向分析法 通過(guò)設(shè)輔助函數(shù) 利用微分或積分中值定理證明等式或方程零點(diǎn)的存在 通過(guò)討論輔助函數(shù)的單調(diào)性或最值 證明相關(guān)不等式 2 設(shè)輔助函數(shù)方法 52 例1 設(shè) 在上連續(xù)且可導(dǎo) 并有n個(gè)不同的 零點(diǎn) 證明 對(duì)任意常數(shù)a 在上至少有 提示 設(shè)輔助函數(shù) n 1個(gè)不同的零點(diǎn) 53 設(shè)函數(shù)和在上二階可導(dǎo) 且 提示 只要證 且 依據(jù)乘積導(dǎo)數(shù)法則想到設(shè)輔助函數(shù) 用反證法 再證明 上滿足Rolle定理?xiàng)l件 試證至少存在一點(diǎn) 使 P475例15 考研95 例2 即 54 例3 設(shè) 在上二階可導(dǎo) 且 證明 存在使 提示 只需證 即證 設(shè)輔助函數(shù) 證明 在 a b 上滿足Rolle定理 55 設(shè) 求證 提示 方法1 設(shè) 證明它在 單調(diào)增 方法2 設(shè) 證明它在 單調(diào)減 例4 56 3 反證法 反證法是一種逆向分析方法 是通過(guò)否定命題的 結(jié)論 引導(dǎo)出與題設(shè)條件或已知結(jié)論矛盾的結(jié)果來(lái)證明 明原命題的正確性 反證法多適用于直接推證時(shí)已有知識(shí)點(diǎn)較少或比較 困難的命題 如果所證結(jié)論中含有 不可能 不存在 至多 至少 唯一 大于 或 小于 等字眼時(shí) 一般多考慮用反證法 57 常用幾個(gè)的初等函數(shù)公式 58 59 例1 證明不存在 為自然數(shù) 提示 假設(shè) 則 矛盾 P474例13 60 設(shè)在上存在二階導(dǎo)數(shù) 且 又 試證在內(nèi) 提示 假設(shè)存在 使 則由R0lle定理 有 使 再對(duì) 在 上用Rolle定理 就有 使 矛盾 P474例14 例2 61 例3 設(shè)函數(shù) 在內(nèi)連續(xù) 且 證明在內(nèi)至少有一點(diǎn) 滿足 提示 用反證法 假設(shè)對(duì)于所有 都有 令 則F x 在內(nèi)連續(xù)且 不變號(hào) 若 則 即 于是 與題設(shè)矛盾 幾何上與x軸無(wú)交點(diǎn)