新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 第八章　平面解析幾何

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第八章　平面解析幾何 第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線方程 [考情展望]　1.考查直線的有關(guān)概念，如直線的傾斜角、斜率、截距等.2.考查不同條件下求直線的方程(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等).3.題型多為客觀題，多與兩直線的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系及圓錐曲線結(jié)合交匯命題． 一、直線的傾斜角與斜率 1．直線的傾斜角 (1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍：直線l傾斜角的范圍是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α

2、≠90°，則斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 二、直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝ 不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面內(nèi)所有直線都適用 1．直線x－y＋a＝0的傾斜角為(　　) A．30°　　　B．60°　　　 C．150°　　　D．12

3、0° 【解析】　k＝tan α＝，且0°≤α＜180°，∴α＝60°. 【答案】　B 2．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 【解析】　當(dāng)a＝0時，直線方程為y－2＝0，不滿足題意，所以a≠0，所以在x軸上的截距為，在y軸上的截距為2＋a，則由2＋a＝，得a＝－2或a＝1. 【答案】　D 3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點(diǎn)共線，則x＝________. 【解析】　由已知得＝，∴x＝－3. 【答案】?。? 4．一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(2，－3)，并且它的傾斜角等于

4、直線y＝x的傾斜角的2倍，則這條直線的一般式方程是______，斜截式方程是________． 【解析】　∵直線y＝x的傾斜角α＝30°， 所以所求直線的傾斜角為60°， 又該直線過點(diǎn)A(2，－3)， 故所求直線的方程為y－(－3)＝tan 60°(x－2)， 即x－y－2－3＝0，化成斜截式為y＝x－2－3. 【答案】　x－y－2－3＝0　y＝x－2－3 5．(2009·安徽高考)直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 【解析】　

5、可得l斜率為－，∴l(xiāng)：y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 【答案】　A 6．(2013·遼寧高考)已知點(diǎn)O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(　　) A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)＝0 D．|b－a3|＋＝0 【解析】　若以O(shè)為直角頂點(diǎn)，則B在x軸上，則a必為0，此時O，B重合，不符合題意； 若∠A＝，則b＝a3≠0. 若∠B＝，根據(jù)斜率關(guān)系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0. 以上兩種情況皆有可能，故只有C滿足條件． 【答案】　C 考向一 [136]　直線的傾斜角和斜率 　

6、(1) 若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為(　　) A.　　　　B．－　　　　 C．－　　　　D. (2)直線xcos α＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是(　　) A.∪ B.∪ C. D. 【思路點(diǎn)撥】　(1)分別設(shè)出P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．(2)根據(jù)cos α的范圍確定直線斜率的范圍，結(jié)合正切函數(shù)圖象求傾斜角的范圍． 【嘗試解答】　(1)設(shè)P(x,1)，Q(7，y)， 則＝1，＝－1， ∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)， 故直線l的斜率k＝＝－. (2)設(shè)直線的傾斜角

7、為θ，則tan θ＝－cos α， 又cos α∈[－1,1]，∴－≤tan θ≤， 又0≤θ＜π，且y＝tan θ在及上均為增函數(shù)， 故θ∈∪. 【答案】　(1)B　(2)B 規(guī)律方法1　1.解答本例(2)時極易錯選D，出錯的原因是忽視了正切函數(shù)在和上的變化情況. 2.已知傾斜角的范圍，求斜率的范圍，實質(zhì)上是求k＝tan α的值域問題；已知斜率k的范圍求傾斜角的范圍，實質(zhì)上是在∪上解關(guān)于正切函數(shù)的三角不等式問題.由于函數(shù)k＝tan α在∪上不單調(diào)，故一般運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決此類問題. 對點(diǎn)訓(xùn)練　若直線l的斜率為k，傾斜角為α，而α∈∪，則k的取值范圍是________． 【解

8、析】　當(dāng)α∈時，k＝tan α∈， 當(dāng)α∈時，k＝tan α∈[－，0)． 即k∈[－，0)∪. 【答案】　[－，0)∪ 考向二 [137]　求直線的方程 　已知點(diǎn)A(3,4)，求滿足下列條件的直線方程． (1)經(jīng)過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等； (2)經(jīng)過點(diǎn)A且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形． 【思路點(diǎn)撥】　(1)分截距等于0和不等于0兩種情況求解． (2)直線的斜率為±1，可由點(diǎn)斜式寫出直線方程． 【嘗試解答】　(1)設(shè)直線在x，y軸上的截距均為a. ①若a＝0，即直線過點(diǎn)(0,0)及(3,4) ∴直線的方程為y＝x，即4x－3y＝0. ②若a≠0，則設(shè)所求直線的

9、方程為＋＝1， 又點(diǎn)(3,4)在直線上， ∴＋＝1，∴a＝7， ∴直線的方程為x＋y－7＝0. 綜合①②可知所求直線方程為4x－3y＝0或x＋y－7＝0. (2)由題意可知，所求直線的斜率為±1， 又過點(diǎn)(3,4)．由點(diǎn)斜式得y－4＝±(x－3)， 所求直線的方程為x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. 規(guī)律方法2　1.截距不是距離，它可正、可負(fù)、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問題時，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解. 2.求直線方程的一種重要方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫做待定系數(shù)法，運(yùn)用此方法，注意各種形式的適用條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式至關(guān)重要

10、. 對點(diǎn)訓(xùn)練　△ABC的三個頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC所在直線的方程； (2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC的垂直平分線DE的方程． 【解】　(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)， 由兩點(diǎn)式得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0. (2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)(x，y)，則 x＝＝0，y＝＝2. BC邊的中線AD過點(diǎn)A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為＋＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)BC的斜率k1＝－，則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2，由斜截式得直線DE的方程為y＝2x＋

11、2. 考向三 [138]　直線方程的綜合應(yīng)用 　已知直線方程為(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1)證明：直線恒過定點(diǎn)M； (2)若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時直線的方程． 【思路點(diǎn)撥】　(1)合并含參數(shù)m項的系數(shù)，依據(jù)多項式恒等求定點(diǎn)M. (2)設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，分別求出橫縱截距，利用基本不等式求最值． 【嘗試解答】　(1)(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化為(x－2y－3)m＝－2x－y－4. 由得 ∴直線必過定點(diǎn)M(－1，－2)． (2)設(shè)直線的斜率為k(k＜0)，則其方程為y＋2＝k(x＋1)

12、， ∴|OA|＝1－，|OB|＝2－k， S△AOB＝·|OA|·|OB|＝(2－k)＝. ∵k＜0，∴－k＞0， ∴S△AOB＝ ＝≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)－＝－k，即k＝－2時取等號， ∴△AOB的面積最小值是4， 此時直線的方程為y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0. 規(guī)律方法3　1.解答本題的關(guān)鍵是面積最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔細(xì)體會此解法. 2.利用直線方程解決問題，為簡化運(yùn)算可靈活選用直線方程的形式：一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截距選擇截距式. 對點(diǎn)訓(xùn)練　直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且與x，y軸的正半軸分別交于A、B

13、兩點(diǎn)，△OAB的面積為12，求直線l的方程． 【解】　法一　設(shè)直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)， ∴A(a,0)，B(0，b)，∴解得 ∴所求直線l的方程為＋＝1，即2x＋3y－12＝0. 法二　設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－3)， 令y＝0，得直線l在x軸的正半軸上的截距a＝3－， 令x＝0，得直線l在y軸的正半軸上的截距b＝2－3k， ∴(2－3k)＝24， 解得k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0. 易錯易誤之十五　求直線方程忽視零截距 ————[1個示范例]————[1個防錯練]———— 　　　設(shè)直線l的方程為(

14、a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程； (2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍． 【解】　(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，∴a＝2，方程即為3x＋y＝0. 當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，截距存在且均不為0. ∴＝a－2，即a＋1＝1. ∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0. (2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2， ∴或∴a≤－1 綜上可知a的取值范圍是a≤－1. 【防范措施】　1.在求與截距有關(guān)的直線方程時，注意對直線的截距是否為零進(jìn)行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解. 2.常見的與截

15、距問題有關(guān)的易誤點(diǎn)有：“截距互為相反數(shù)”；“一截距是另一截距的幾倍”等，解決此類問題時，要先考慮零截距情形.注意分類討論思想的運(yùn)用. 求經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程． 【解】　設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1， ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 [考情展望]　1.考查由已知兩條直線平行與垂直求參數(shù).2.考查距離的

16、計算及對稱問題.3.本節(jié)內(nèi)容客觀題主要考查基礎(chǔ)知識和基本能力，主觀題主要在知識交匯處命題注重考查分類討論與數(shù)形結(jié)合思想． 一、兩條直線的位置關(guān)系 1．兩條直線平行與垂直 (1)兩條直線平行： ①對于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直： ①如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2. 2．兩條直線的交點(diǎn) 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l

17、2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 1．一般地，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0；與之垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0. 2．過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 二、幾種距離 1．兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝. 2．點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝. 3．兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(

18、其中C1≠C2)間的距離d＝. 點(diǎn)到直線與兩平行線間的距離的使用條件： (1)求點(diǎn)到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式． (2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等． 1．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　) A．x－2y－1＝0　　　　　　　 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 【解析】　∵所求直線與直線x－2y－2＝0平行， ∴所求直線的斜率為，又直線過(1,0)點(diǎn)， 則直線方程為x－2y－1＝0. 【答案】　A 2．已知點(diǎn)(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0

19、的距離為1，則a等于(　　) A.　　　B．2－　　　C.－1　　　D.＋1 【解析】　由題意知＝1，∴|a＋1|＝， 又a＞0，∴a＝－1. 【答案】　C 3．已知直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，則實數(shù)m的值為(　　) A．－7　　　 B．－1　　　 C．－1或－7　　　 D. 【解析】　l1的斜率為－，縱截距為， l2的斜率為－，縱截距為. 又∵l1∥l2，由－＝－得，m2＋8m＋7＝0，解得m＝－1或－7. m＝－1時，＝＝2，l1與l2重合，故舍去； m＝－7時，＝≠＝－4，符合題意，故選A. 【答案】　A 4．

20、若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實數(shù)m＝________. 【解析】　∵直線x－2y＋5＝0與2x＋my－6＝0互相垂直，∴×＝－1，∴m＝1. 【答案】　1 5．(2009·上海高考)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0，與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　) A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2 【解析】　當(dāng)k＝3時，兩直線平行，當(dāng)k≠3時，由兩直線平行，斜率相等，得：＝k－3，解得：k＝5. 【答案】　C 6．(2009·課標(biāo)全國卷)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所

21、截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是 ①15°?、?0°?、?5°?、?0°?、?5° 其中正確答案的序號是________．(寫出所有正確答案的序號) 【解析】　兩平行線間的距離為d＝＝，由圖知直線m與l1的夾角為30°，l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填寫①⑤. 【答案】?、佗? 考向一 [139]　兩條直線的平行與垂直 　已知直線l1：x＋my＋6＝0，直線l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，問當(dāng)m為何值時，l1與l2： (1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？ 【思路點(diǎn)撥】　可用兩直線相交、垂直、

22、平行、重合的充分條件． 【嘗試解答】　(1)3≠m·(m－2)即m2－2m－3≠0， 所以m≠3且m≠－1. 當(dāng)m≠3且m≠－1時，l1與l2相交． (2)要使l1⊥l2， 只要1·(m－2)＋m·3＝0即m＝. ∴當(dāng)m＝時，l1⊥l2. (3)要使l1∥l2， 只要 ? ∴當(dāng)m＝－1時，l1∥l2. (4)由(3)知，當(dāng)m＝3時，l1與l2重合． 規(guī)律方法1　在研究直線平行與垂直的位置關(guān)系時，如果所給直線方程含有字母系數(shù)時，要注意利用兩直線平行與垂直的充要條件： (1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)； (2)

23、l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0，這樣可以避免對字母系數(shù)進(jìn)行分類討論，防止漏解與增根. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(1)a＝1是直線y＝ax＋1和直線y＝(a－2)x－1垂直的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)已知直線x＋a2y＋6＝0與直線(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，則a的值為(　　) A．0或3或－1 B．0或3 C．3或－1 D．0或－1 【解析】　(1)由a(a－2)＝－1得a2－2a＋1＝0， ∴a＝1， 故a＝1是直線y＝ax＋1和直線y＝(a－2)x－1垂直的充要條件． (2)由3a

24、－(a－2)a2＝0得a(a2－2a－3)＝0， ∴a＝－1或0或3.檢驗當(dāng)a＝0或－1時兩直線平行， 當(dāng)a＝3時兩直線重合． 【答案】　(1)C　(2)D 考向二 [140]　兩直線的交點(diǎn)與距離 　(1)求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程． (2)已知點(diǎn)P(2，－1)，①求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；②求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，并求最大距離． 【思路點(diǎn)撥】　(1)可先求出l1與l2的交點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式；也可利用直線系方程求解． (2)①分直線斜率存在和不存在兩種情況求解．

25、②結(jié)合圖形分析l⊥OP時滿足條件． 【嘗試解答】　(1)法一　先解方程組得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)， 再由l3的斜率求出l的斜率為－， 于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l： y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 法二　由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(diǎn)(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程為5x＋3y－1＝0. 法三　由于l過l1、l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條， 將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－＝－

26、，解得λ＝， 代入直線系方程即得l的方程為5x＋3y－1＝0. (2)①若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝2滿足條件． 若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 由已知，得＝2，解得k＝. 此時l的方程為3x－4y－10＝0. 綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. ②作圖可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，如圖． 由l⊥OP，得klkOP＝－1， 所以kl＝－＝2. 由點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，2x－y－5＝0. ∴直線2x－y－5＝0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為

27、＝. 規(guī)律方法2　求點(diǎn)到直線距離的最值問題的方法：(1)直接利用點(diǎn)到直線的距離公式建立距離關(guān)于斜率k的代數(shù)關(guān)系式求解；(2)從幾何中位置關(guān)系的角度，利用幾何關(guān)系求解.在解決解析幾何問題時，要善于發(fā)現(xiàn)其中包含的幾何關(guān)系，充分利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解. 對點(diǎn)訓(xùn)練　直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，－5)且與點(diǎn)A(3，－2)和點(diǎn)B(－1,6)的距離之比為1∶2，求直線l的方程． 【解】　當(dāng)直線l與x軸垂直時，此時l的方程為x＝2，A到l的距離為d1＝1，B到l的距離為d2＝3，不符合題意，故直線l的斜率必存在． ∵直線l過點(diǎn)P(2，－5)， ∴設(shè)直線l的方程為y＋5＝k(x－2)， 即kx－y－2k－5＝

28、0. ∴A(3，－2)到直線l的距離 d1＝＝， B(－1,6)到直線l的距離 d2＝＝. ∵d1∶d2＝1∶2，∴＝， ∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17. ∴所求直線方程為x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0. 　 考向三 [141]　對稱問題 　光線由點(diǎn)P(－1,3)射出，遇直線l：x＋y＋1＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)Q(4，－2)，求入射光線與反射光線所在的直線方程． 【思路點(diǎn)撥】　根據(jù)鏡面反射的原理，先求點(diǎn)P關(guān)于l的對稱點(diǎn)P′，則直線P′Q為反射光線所在直線，點(diǎn)Q關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q′，則PQ′為入射光線所在直線． 【嘗試解答】　設(shè)P(－1,3)

29、關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)為P′(x1，y1)，點(diǎn)Q(4，－2)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)為Q′(x2，y2)． ∴? 所以P′(－4,0)．同理有Q′(1，－5)．這樣，反射光線所在直線為P′Q，斜率k1＝＝－. 直線方程為x＋4y＋4＝0. 入射光線所在直線為PQ′，斜率k2＝＝－4，直線方程為4x＋y＋1＝0. ∴入射光線直線方程為4x＋y＋1＝0，反射光線直線方程為x＋4y＋4＝0. 規(guī)律方法3　(1)求點(diǎn)M(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的對稱點(diǎn)N的方法：, 設(shè)N(x，y)， 由求出x，y，即得點(diǎn)N的坐標(biāo). (2)兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，兩點(diǎn)關(guān)于直線

30、對稱的常見結(jié)論有：,點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸、y軸、直線x－y＝0、直線x＋y＝0及原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為(x，－y)、(－x，y)、(y，x)、(－y，－x)和(－x，－y). 對點(diǎn)訓(xùn)練　已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－4,4)，直線l的方程為3x＋y－2＝0，求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對稱直線l′的方程． 【解】　(1)設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可知 解得x＝2，y＝6， ∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,6)． (2)法一　在直線l′上任取一點(diǎn)P′(x，y)，其關(guān)于點(diǎn)A(－4,4)的對稱點(diǎn)(－8－x,8－y)必在直線l上， ∴即3(－8－x)＋(8－y

31、)－2＝0，即3x＋y＋18＝0， 所以所求直線的方程為3x＋y＋18＝0. 法二　由題意可知l′∥l，設(shè)l′的方程為3x＋y＋c＝0， 由題意可知＝， 解得c＝18或c＝－2(舍)， 所以所求直線的方程為3x＋y＋18＝0. 易錯易誤之十六　小視斜率不存在 ————[1個示范例]————[1個防錯練]———— 　　　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值． 【解】　法一　當(dāng)直線斜率不存在，即a＝0時，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2. 當(dāng)直線斜率存在時，l1∥l2，－＝＝a＝－，經(jīng)

32、檢驗，a＝－符合題意． 故使l1∥l2的a的值為0或－. 法二　由l1∥l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，得a＝0或a＝－，經(jīng)檢驗，a＝0或a＝－均符合題意，故使l1∥l2的a的值為0或－. 【防范措施】在討論含參數(shù)的兩條直線的位置關(guān)系時，一定不要忘記兩條直線的斜率是否存在的情況，否則會出現(xiàn)漏解. 　已知直線l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，則實數(shù)a的值是________． 【解析】　因為直線l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值為0或1. 【答案】　0或

33、1 第三節(jié)　圓的方程 [考情展望]　1.結(jié)合直線方程，考查運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程.2.考查運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)求動點(diǎn)的軌跡方程.3.多以選擇題、填空題形式考查． 一、圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)集合 限定條件 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 圓心：(a，b)，半徑：r r＞0 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圓心：，半徑： D2＋E2－4F＞0 確定圓的方程時，常用到的三個性質(zhì) (1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上 (2)圓心在任一弦的中垂線上 (3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線． 二、點(diǎn)M

34、(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系 1．若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. 2．若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. 3．若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 從位置看d，r的關(guān)系 判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系還可利用點(diǎn)到圓心的距離d與r的關(guān)系：d＞r?點(diǎn)在圓外；d＝r?點(diǎn)在圓上；d＜r?點(diǎn)在圓內(nèi)． 1．圓的方程為x2＋y2＋2by－2b2＝0，則圓的圓心和半徑分別為(　　) A．(0，b)，b　　　　　　　 B．(0，b)，|b| C．(0，－b)，b

35、 D．(0，－b)，|b| 【解析】　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋b)2＝3b2， 從而圓的圓心坐標(biāo)為(0，－b)，半徑為|b|. 【答案】　D 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＜－2或a＞ B．－＜a＜0 C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜ 【解析】　由題意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0， 解得－2＜a＜. 【答案】　D 3．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a(chǎn)＞1或a＜－1 D．a(chǎn)＝±1 【解析

36、】　因為點(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4， ∴－1＜a＜1. 【答案】　A 4．已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為________． 【解析】　設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，易知＝，解得a＝2，∴圓心為(2,0)，半徑為，∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10. 【答案】　(x－2)2＋y2＝10 5．(2013·重慶高考)設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　) A．6　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2 【解析】　如圖，圓心M(3，－1)與定直線

37、x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4. 【答案】　B 6．(2013·江西高考)過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于(　　) A. B．－ C．± D．－ 【解析】　由于y＝，即x2＋y2＝1(y≥0)，直線l與x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，S△AOB＝·sin ∠AOB≤，且當(dāng)∠AOB＝90°時，S△AOB取得最大值，此時AB＝，點(diǎn)O到直線l的距離為，則∠OCB ＝30°，所以直線l的傾斜角為150°，則斜率為－. 【答

38、案】　B 考向一 [142]　求圓的方程 　求圓心在直線2x－y－3＝0上，且過點(diǎn)A(5,2)和點(diǎn)B(3，－2)的圓的方程． 【思路點(diǎn)撥】　結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，只需找到該圓的圓心和半徑即可，可以利用待定系數(shù)法，也可利用圓的性質(zhì)求出圓心坐標(biāo)和半徑，從而寫出該圓的方程． 【嘗試解答】　法一　∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)， ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上． 線段AB的垂直平分線方程為y＝－(x－4)． 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C(a，b)，則有 解得 ∴C(2,1)，r＝|CA|＝＝. ∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二　設(shè)圓的方程為(x

39、－a)2＋(y－b)2＝r2， 則解得 ∴圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法三　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 則 解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5， ∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0. 規(guī)律方法1　求圓的方程有兩種方法： (1)代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程.①若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組求解.②若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組求解. (2)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)，直線和圓的關(guān)系等求出圓心、半徑，進(jìn)而寫

40、出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 對點(diǎn)訓(xùn)練　已知直線l：y＝x＋m，m∈R，若以點(diǎn)M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程． 【解】　法一　依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，m)， 因為MP⊥l，所以×1＝－1， 解得m＝2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)， 圓的半徑r＝|MP|＝＝2， 故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8. 法二　設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為(x－2)2＋y2＝r2，依題意，所求圓與直線l：x－y＋m＝0相切于點(diǎn)P(0，m)， 則 解得 所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8. 考向二 [143]　與圓有關(guān)的最值問題 　已知實數(shù)x、y滿足

41、方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 【思路點(diǎn)撥】　根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解． 【嘗試解答】　(1)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率． 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值， 此時＝，解得k＝±. 所以的最大值為，最小值為－. (2)設(shè)y－x＝b，y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值

42、或最小值， 此時＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方， 由平面幾何知識知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值． 又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 規(guī)律方法2　與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型： (1)形如u＝型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和(x，y)的直線的斜率的最值問題； (2)形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的

43、最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題. 對點(diǎn)訓(xùn)練　已知圓Q：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓上任一點(diǎn)． (1)求的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值． 【解】　(1)設(shè)＝k，則kx－y－k＋2＝0.由于P(x，y)是圓上任一點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時，如圖所示： 兩條切線的斜率分別是最大、最小值． 由d＝＝1，得k＝. ∴的最大值為，最小值為. (2)令x－2y＝m，同理，兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值． 由d＝＝1， 得m＝－2±. ∴x－2y的最大值為－2＋，最小值為－2－. 考向三 [144]　與圓有關(guān)的軌跡問題 　設(shè)定點(diǎn)M(－

44、3,4)，動點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡． 【思路點(diǎn)撥】　四邊形MONP為平行四邊形?＝＋?把點(diǎn)P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到動點(diǎn)N上?而點(diǎn)N在圓上運(yùn)動，故可求解．需注意O、M、N三點(diǎn)共線的情況． 【嘗試解答】　∵四邊形MONP為平行四邊形， ∴＝＋， 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)N(x0，y0)，則 ＝－＝(x，y)－(－3,4)＝(x＋3，y－4)． 又點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動， ∴(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 又當(dāng)OM與ON共線時，O、M、N、P構(gòu)不成平行四邊形． 故動點(diǎn)P的軌跡是圓且除去點(diǎn)和. 規(guī)律方法3　1.本

45、例中點(diǎn)P是平行四邊形MONP的一個頂點(diǎn)，因此在點(diǎn)M、O、N三點(diǎn)共線時，點(diǎn)P是不存在的，故所求的軌跡中應(yīng)除去兩點(diǎn)． 2．求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法． (1)直接法：由題設(shè)直接求出動點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式． (2)定義法：利用定義寫出動點(diǎn)的軌跡方程． (3)代入法：若動點(diǎn)P(x，y)隨著圓上的另一動點(diǎn)Q(x1，y1)運(yùn)動而運(yùn)動，且x1，y1可用x，y表示，則可用Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，即得動點(diǎn)P的軌跡方程． 對點(diǎn)訓(xùn)練　已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡． 【解】　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)A(x0，y0)

46、． 因為M是線段AB的中點(diǎn)，且B(4,3)， 所以所以① 又點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動， 所以(x0＋1)2＋y＝4.② 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4， 整理得2＋2＝1. 所以點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓. 規(guī)范解答之十四　破解圓的方程綜合問題 ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值． 【規(guī)范解答】　(1)曲線y＝x2－6x＋

47、1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3＋2，0) ，(3－2，0)． 故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2， 解得t＝1.則圓C的半徑為＝3. 所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.6分 (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2＞0. 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.　?、?分 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋

48、a2＝0.　?、?0分 由①，②得a＝－1，滿足Δ＞0， 故a＝－1.12分 【名師寄語】　(1)若已知條件容易求出圓心坐標(biāo)和半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程，通常選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若已知條件為圓經(jīng)過三點(diǎn)，一般采用一般式. (2)解決直線與圓的問題可以借助圓的幾何性質(zhì)；但也要理解掌握一般的代數(shù)法，利用“設(shè)而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解. 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x－y－4＝0相切． (1)求圓的方程； (2)圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求·的取值范圍． 【解】　(1)設(shè)圓的方程為x2

49、＋y2＝r2，則r＝＝2.∴圓的方程為x2＋y2＝4. (2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)P(x0，y0)， 則|PA|＝，|PO|＝， |PB|＝. 又|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列， ∴|PO|2＝|PA|·|PB|， 即x＋y＝， 整理得y＝x－2. ∴·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x－4)＋y＝2x－6.又點(diǎn)P在圓內(nèi)，∴x＋y＜4.∴2≤x＜3，∴－2≤·＜0. 第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [考情展望]　1.考查根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.考查通過數(shù)形結(jié)合思想，充分利用圓的幾何性質(zhì)解決

50、圓的切線、圓的弦長問題.3.從考查形式上看，以選擇題、填空題為主，屬中檔題． 一、判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 1．幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系： d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相離． 2．代數(shù)法： 圓的切線方程常用結(jié)論 (1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋

51、y0y＝r2. 二、圓與圓的位置關(guān)系 　設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　　　方法 位置關(guān)系　　　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況 相離 d＞r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 兩組不同的實數(shù)解 內(nèi)切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 內(nèi)含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 無解 常用結(jié)論 (1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含時：0條；

52、②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條． (2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程． 1．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為(　　) A．x＋y－2＝0　　　 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 【解析】　圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，點(diǎn)P在圓上，設(shè)切線方程為y－＝k(x－1)， 即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝. ∴切線方程為y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 【答案】　D 2．與圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2

53、：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0都相切的直線有(　　) A．1條　　　B．2條 C．3條　　　D．4條 【解析】　把已知兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圓心分別為C1(－1,3)，C2(2，－1)．兩圓圓心距|C1C2|＝＝5，等于兩圓半徑之差，故兩圓相切，它們只有一條公切線． 【答案】　A 3．若圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍為________． 【解析】　圓心到直線的距離大于半徑即＞1，－＜k＜. 【答案】　(－，) 4．過點(diǎn)(－4，－8)作圓(x＋7)2＋(y＋8)2＝9的

54、切線，則切線的方程為________． 【解析】　設(shè)切線的方程為y＋8＝k(x＋4)， 圓心(－7，－8)到直線的距離等于半徑即＝3無解，故切線斜率不存在，x＝－4是切線． 【答案】　x＝－4 5．(2013·陜西高考)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 【解析】　由題意知點(diǎn)在圓外，則a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝<1，故直線與圓相交． 【答案】　B 6．(2013·山東高考)過點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________

55、． 【解析】　設(shè)A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r＝2，當(dāng)弦過點(diǎn)A(3,1)且與CA垂直時為最短弦． |CA|＝＝. ∴半弦長＝＝＝. ∴最短弦長為2. 【答案】　2 考向一 [145]　直線與圓的位置關(guān)系 　在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線：x－y＝4相切． (1)求圓O的方程； (2)若圓O上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，且|MN|＝2，求直線MN的方程． 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用直線與圓相切，求出圓的半徑，寫出圓的方程．(2)設(shè)MN的方程為2x－y＋m＝0，利用|MN|＝2，求m值． 【嘗試解答】　(1)依題意，圓O的半徑r等于

56、原點(diǎn)O到直線x－y＝4的距離， 即r＝＝2. 所以圓O的方程為x2＋y2＝4. (2)由題意，可設(shè)直線MN的方程為2x－y＋m＝0. 則圓心O到直線MN的距離d＝. 由垂徑分弦定理得：＋()2＝22，即m＝±. 所以直線MN的方程為：2x－y＋＝0或2x－y－＝0. 規(guī)律方法1　1.與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構(gòu)成直角三角形進(jìn)行求解. 2.利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(1)直線x＋y＝0繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°所得直線與圓x2＋

57、y2－4x＋1＝0的位置關(guān)系是(　　) A．直線與圓相切 B．直線與圓相交但不過圓心 C．直線與圓相離 D．直線過圓心 (2)若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為(　　) A．[－，]　　　　 B．(－，) C. D. 【解析】　(1)∵直線x＋y＝0的傾斜角為150°， ∴順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后的傾斜角為120°. ∴旋轉(zhuǎn)后的直線方程為x＋y＝0. 將圓的方程化為(x－2)2＋y2＝3， ∴圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑為，圓心到直線x＋y＝0的距離為d＝＝＝圓的半徑，∴直線和圓相切． (2)依題意，設(shè)直線l的方

58、程是y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0，由題意得圓心(2,0)到直線l的距離不超過該圓的半徑，即有≤1， 由此解得－≤k≤，選C. 【答案】　(1)A　(2)C 考向二 [146]　圓與圓的位置關(guān)系 　圓O1的方程為：x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)． (1)若圓O1與圓O2相外切，求圓O2的方程； (2)若圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求圓O2的方程． 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)兩圓外切求出圓O2的半徑，便可寫出圓O2的方程． (2)設(shè)出圓O2方程，求出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)O1到直線AB的距離，列方程求解． 【嘗試解答】　(1)

59、∵圓O1的方程為：x2＋(y＋1)2＝4， ∴圓心O1(0，－1)，半徑r1＝2. 設(shè)圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|＝r1＋r2， 又|O1O2|＝＝2， ∴r2＝|O1O2|－r1＝2－2， 圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. (2)設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r， 又圓O1的方程為：x2＋(y＋1)2＝4， 兩式相減得兩圓公共弦AB所在的直線方程為：4x＋4y＋r－8＝0， 作O1H⊥AB于H，則|AH|＝|AB|＝， ∵r1＝2，∴|O1H|＝＝， 又|O1H|＝＝， ∴＝，得r＝4或r＝20， 圓O2的方程為(x

60、－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 規(guī)律方法2　1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關(guān)系. 2.若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項即可得到. 3.若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2012·山東高考)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切　　　B．相交　　　C．外切　　　D．相離 (2)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為2，則a＝________. 【解析】　(1)兩圓圓心分別為

61、(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2

62、出圓的切線方程，利用圓的切線性質(zhì)求解，注意檢驗直線斜率不存在時的情況． (2)直接利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列式求解． (3)利用圓的幾何性質(zhì)：弦長|AB|＝2(r為半徑，d為弦心距)求解． 【嘗試解答】　(1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2， 當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為x＝3. 由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知， 此時，直線與圓相切． 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0. 由題意知＝2， 解得k＝. ∴方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 故過M點(diǎn)的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－

63、5＝0. (2)由題意有＝2， 解得a＝0或a＝. (3)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為， ∴2＋2＝4，解得a＝－. 規(guī)律方法3　1.過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法,(1)幾何方法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑求解., (2)代數(shù)方法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出. 2.求圓的弦長的常用方法：(1)幾何法；(2)代數(shù)方法. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2013·天津高考)已知過點(diǎn)P(2,2

64、)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－　　　　B．1　　　　C．2　　　　D. (2)(2013·安徽高考)直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 【解析】　(1)由圓的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，設(shè)切線方程為x＋ay＋c＝0，再代入點(diǎn)(2,2)，結(jié)合圓心到切線的距離等于圓的半徑，求出a的值． 由題意知圓心為(1,0)，由圓的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，可設(shè)圓的切線方程為x＋ay＋c＝0，由切線x＋ay＋c＝0過點(diǎn)P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，

65、解得a＝2. (2)先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，再在圓中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求弦長． 圓的方程可化為C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圓心為C(1,2)，半徑R＝.如圖所示，取弦AB的中點(diǎn)P，連接CP，則CP⊥AB，圓心C到直線AB的距離d＝|CP|＝＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝＝2，故直線被圓截得的弦長|AB|＝4. 【答案】　(1)C　(2)C 規(guī)范解答之十五　與圓有關(guān)的探索問題求解策略 ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　　　(12分)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.問在圓C上是否存在兩點(diǎn)A、B

66、關(guān)于直線y＝kx－1對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由． 【規(guī)范解答】　圓C的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C(1，－2)．假設(shè)在圓C上存在兩點(diǎn)A、B滿足條件， 則圓心C(1，－2)在直線y＝kx－1上，即k＝－1.3分 于是可知，kAB＝1. 設(shè)lAB∶y＝x＋b，代入圓C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 則Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，即b2＋6b－9＜0. 解得－3－3＜b＜－3＋3.7分 設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2. 由題意知OA⊥OB，則有x1x2＋y1y2＝0， 也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0. ∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.10分 ∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化簡得b2＋3b－4＝0. 解得b＝－4或b＝1，均滿足Δ＞0， 即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.12分 【名師寄語】　(1)本題是與圓有關(guān)的