2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 3.1.1 變化率問題 3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修1 -1.doc

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3.1.1　變化率問題 3.1.2　導(dǎo)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(重點(diǎn)難點(diǎn))3.了解平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系．(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．函數(shù)的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比． (3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． (4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率＝表示割線P1P2的斜率． 思考：Δx，Δy的取值一定是正數(shù)嗎？ [提示]　Δx≠0，Δy∈P. 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率 (1)定義式： ＝ . (2)實(shí)質(zhì)：瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值． (3)作用：刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢． 3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可負(fù)也可以為零． (　　) (2)瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量． (　　) (3)函數(shù)f(x)＝x在x＝0處的瞬時(shí)變化率為0. (　　) [答案]　(1)√　(2)　(3) 2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時(shí)，Δy的值為(　　) A．0.40　　　B．0.41　　　C．0.43　　　D．0.44 B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.] 3．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝3＋t2，則在一小段時(shí)間[2,2.1]內(nèi)的平均速度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792121】 A．0.41　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．4.1 D　[Δ＝＝＝4.1.] [合 作 探 究攻 重 難] 求函數(shù)的平均變化率 　(1)若函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx,1＋Δy)，則＝(　　) A．4　　B．4x　　　C．4＋2Δx　D．4＋2(Δx)2 (2)汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖311，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，，，則三者的大小關(guān)系為__________． 圖311 (3)球的半徑從1增加到2時(shí)，球的體積平均膨脹率為__________． [解]　(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(212－1) ＝2(Δx)2＋4Δx ∴＝2Δx＋4，故選C. (2)由題意知，＝kOA，＝kAB，＝kBC. 根據(jù)圖象知<<. (3)Δv＝π23－π13＝π. ∴＝π. [答案]　(1)C　(2)<<　(3)π [規(guī)律方法]　求函數(shù)y＝f(x)從x0到x的 平均變化率的步驟 (1)求自變量的增量Δx＝x－x0. (2)求函數(shù)的增量Δy＝y(tǒng)－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (3)求平均變化率＝. 提醒：Δx，Δy的值可正，可負(fù)，但Δx≠0，Δy可為零，若函數(shù)f(x)為常值函數(shù)，則Δy＝0. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為________，當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均變化率的值為________． (2)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x的圖象上的一點(diǎn)A(－1，－2)及臨近一點(diǎn)B(－1＋Δx，－2＋Δy)，則＝________. (1)6x0＋3Δx　12.3　(2)－Δx＋3　[(1)函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為 ＝ ＝ ＝6x0＋3Δx. 當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)， 函數(shù)y＝3x2＋2在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率為62＋30.1＝12.3. (2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx)2＋3Δx， ∴＝ ＝－Δx＋3.] 求瞬時(shí)速度 　若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝(路程單位：m，時(shí)間單位：s)．求： (1)物體在t＝3 s到t＝5 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度； (2)物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度． [思路探究]　(1)先求Δs，再根據(jù)＝求解． (2)先求，再求 . [解]　(1)因?yàn)棣＝352＋2－(332＋2)＝48(m)，Δt＝2 s，所以物體在t＝3 s到t＝5 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為＝＝24(m/s)． (2)因?yàn)棣＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)， 所以＝＝3Δt－12(m/s)， 則物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)． [規(guī)律方法]　1.求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟 (1)求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度＝. (3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度． 2．求(當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí))的極限的方法 (1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個(gè)數(shù)來參與運(yùn)算． (2)求出的表達(dá)式后，Δx無限趨近于0就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可． [跟蹤訓(xùn)練] 2．質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2＋3作直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)．求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度以及在[1,3]上的平均速度. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792122】 [解]　v＝ ＝ ＝ (2Δt＋8)＝8(cm/s)， ＝＝ ＝8(cm/s)． 求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) [探究問題] 求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟和求瞬時(shí)速度的步驟有何異同？ 提示：根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義知，兩者步驟完全相同． 　(1)函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為__________． (2)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t的位移函數(shù)為y＝f(t)＝t3＋3， ①當(dāng)t1＝4，Δt＝0.01時(shí)，求Δy和比值； ②求t1＝4時(shí)的導(dǎo)數(shù)． [思路探究]　(1)→→ (2)①→ ②→→ [解析]　(1)Δy＝－1， ＝＝， ＝， 所以y′|x＝1＝. [答案]　 (2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3tΔt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3，故當(dāng)t1＝4，Δt＝0.01時(shí)，Δy＝0.481 201，＝48.120 1. ② ＝ [3t＋3t1Δt＋(Δt)2]＝3t＝48， 故函數(shù)y＝t3＋3在t1＝4處的導(dǎo)數(shù)是48， 即y′|t1＝4＝48. [規(guī)律方法]　 求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟 簡稱：一差、二比、三極限． 提醒：當(dāng)對(duì)取極限時(shí)，一定要把變形到當(dāng)Δx→0時(shí)，分母是一個(gè)非零常數(shù)的形式． [跟蹤訓(xùn)練] 3．求函數(shù)y＝x－在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． [解]　∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋， ∴＝＝1＋. 當(dāng)Δx→0時(shí)，→2，∴f′(1)＝2， 即函數(shù)y＝x－在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為2. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則等于(　　) A．4　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C　[＝＝＝4＋2Δx.] 2．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝4－2t2，則在時(shí)間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為(　　) A．2Δt＋4 B．－2Δt－4 C．4 D．－2Δt2－4Δt B　[＝＝＝－2Δt－4.] 3．一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)＝2t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792123】 8　[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－222 ＝2(Δt)2＋8Δt. ∴ ＝ ＝ (2Δt＋8)＝8.] 4．設(shè)f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，則a＝________. 2　[f′(1)＝ ＝ ＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.] 5．求函數(shù)y＝2x2＋4x在x＝3處的導(dǎo)數(shù)． [解]　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(232＋43)＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝＝2Δx＋16. y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.