新編高三數(shù)學理一輪復習作業(yè)：第九章 平面解析幾何 第六節(jié)　雙曲線 Word版含解析

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1、 第六節(jié)　雙曲線 A組　基礎題組 1.已知橢圓x2a2+y29=1(a>0)與雙曲線x24-y23=1有相同的焦點,則a的值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.10 C.4 D.34 2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于5,則該雙曲線的標準方程為(　　) A.x25-y220=1 B.x225-y220=1 C.x220-y25=1 D.x220-y225=1 3.已知a>b>0,橢圓C1的方程為x2a2+y2b2=1,雙曲線C2的方程為x2a2-

2、y2b2=1,C1與C2的離心率之積為32,則C2的漸近線方程為(　　) A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 4.(20xx課標Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若·<0,則y0的取值范圍是(　　) A.-33,33 B.-36,36 C.-223,223 D.-233,233 5.設F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的離心率為(　　)

3、 A.43 B.53 C.54 D.414 6.(20xx北京,12,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為(5,0),則a=　　　;b=　　　　.? 7.設中心在原點的雙曲線與橢圓x22+y2=1有公共的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),則該雙曲線的方程是　　　　　　　.? 8.已知F1,F2為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點,過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P和Q,且△F1PQ為正三角形,則雙曲線的漸近線方程為　　　　.? 9.已知雙曲線的中心在原點,左,右焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為2,且過點(4

4、,-10). (1)求雙曲線的方程; (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0. 10.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求雙曲線E的離心率; (2)如圖,O為坐標原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且△OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E.若存在,求出雙曲線E的方程. B組　提升題組 11.(20xx安徽江南十校3月聯(lián)考)已知l是雙曲線C:x22-y24=1的一條漸近線,P是l上的一點

5、,F1,F2是C的兩個焦點,若·=0,則P到x軸的距離為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.233 B.2 C.2 D.263ZXXK] 12.(20xx吉林長春二模)過雙曲線x2-y215=1的右支上一點P分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.10 B.13 C.16 D.19 13.(20xx北京,13,5分)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點.

6、若正方形OABC的邊長為2,則a=　　　　.? 14.已知雙曲線x2-y23=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則·的最小值為　　　　.? 15.已知橢圓C1的方程為x24+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點,O為坐標原點. (1)求雙曲線C2的方程; (2)若直線l:y=kx+2與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且·>2,求k的取值范圍. 16.設A,B分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右頂點,雙曲線的實軸長為43,焦點到漸近線的距離為3. (

7、1)求雙曲線的方程; (2)已知直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使+=t,求t的值及點D的坐標.  答案全解全析 A組　基礎題組 1.C　因為橢圓x2a2+y29=1(a>0)與雙曲線x24-y23=1有相同的焦點(±7,0),則有a2-9=7,所以a=4. 2.A　由題意知圓心坐標為(5,0),即c=5,又e=ca=5,所以a=5,所以a2=5,b2=20,所以雙曲線的標準方程為x25-y220=1. 3.A　設橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2,則e1=a2-b2a,e2=

8、a2+b2a.因為e1·e2=32,所以a4-b4a2=32,即ba4=14,∴ba=22. 故雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±22x,即x±2y=0. 4.A　若·=0,則點M在以原點為圓心,半焦距c=3為半徑的圓上,則x02+y02=3,x022-y02=1,解得y02=13.可知:·<0?點M在圓x2+y2=3的內部?y02<13?y0∈-33,33.故選A. 5.B　|PF2|=|F1F2|=2c,所以由雙曲線的定義知|PF1|=2a+2c,因為F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,兩邊同除以a2,得

9、3e2-2e-5=0,解得e=53或e=-1(舍去). 6.答案　1;2 解析　由題可知雙曲線焦點在x軸上, 故漸近線方程為y=±bax,又一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,∴ba=2,即b=2a. 又∵該雙曲線的一個焦點為(5,0), ∴c=5. 由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5, 解得a=1,b=2. 7.答案　2x2-2y2=1 解析　∵橢圓的焦點為(±1,0),∴雙曲線的焦點為(±1,0).∵橢圓的離心率e=22,∴雙曲線的離心率e'=2.∴雙曲線中c2=2a2,∴1=2a2,∴a2=12,又雙曲線中b2=c2-a2,∴b2=12,∴所求雙曲線的方程為

10、2x2-2y2=1. 8.答案　y=±2x 解析　解法一:設F2(c,0)(c>0),P(c,y0), 代入雙曲線方程得y0=±b2a, ∵PQ⊥x軸,∴|PQ|=2b2a. 在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°, ∴|F1F2|=3|PF2|,即2c=3·b2a. 又∵c2=a2+b2, ∴b2=2a2或2a2=-3b2(舍去), ∵a>0,b>0,∴ba=2. 故所求雙曲線的漸近線方程為y=±2x. 解法二:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2|PF2|. 由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF2|=2a, 由

11、已知易得|F1F2|=3|PF2|, ∴2c=23a,∴c2=3a2=a2+b2,∴2a2=b2, ∵a>0,b>0,∴ba=2, 故所求雙曲線的漸近線方程為y=±2x. 9.解析　(1)∵e=2,∴可設雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0). ∵雙曲線過點(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6, ∴雙曲線的方程為x2-y2=6. (2)證法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=6, ∴c=23,∴F1(-23,0),F2(23,0), ∴kMF1=m3+23,kMF2=m3-23, ∴kMF1·kMF2=m29-12=-m23. ∵點M(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=

12、6,m2=3, 故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0. 證法二:由證法一知=(-3-23,-m), =(23-3,-m), ∴·=(3+23)×(3-23)+m2=-3+m2, ∵點M在雙曲線上, ∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴·=0. 10.解析　(1)因為雙曲線E的漸近線方程分別為y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a, 從而雙曲線E的離心率e=ca=5. (2)由(1)知,雙曲線E的方程為x2a2-y24a2=1. 設直線l與x軸相交于點C. 當l⊥x軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點, 則|OC

13、|=a,|AB|=4a, 又因為△OAB的面積為8, 所以12|OC|·|AB|=8,因此12a·4a=8,解得a=2, 此時雙曲線E的方程為x24-y216=1. B組　提升題組 11.C　F1(-6,0),F2(6,0),不妨設l的方程為y=2x,則可設P(x0,2x0),由·=(-6-x0,-2x0)·(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=±2,故P到x軸的距離為2|x0|=2,故選C. 12.B　由題意可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1) =|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)·(|PC1|+|PC2|

14、)-3 =2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13,故選B. 13.答案　2 解析　由OA、OC所在的直線為漸近線,且OA⊥OC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對角線,且點B是雙曲線的焦點,則c=22,根據c2=2a2可得a=2. 14.答案　-2 解析　由已知可得A1(-1,0),F2(2,0),設點P的坐標為(x,y)(x≥1),則·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=x2-x-2+y2,因為x2-y23=1,所以·=4x2-x-5,當x=1時,·有最小值-2. 15.解析　(1)設雙曲線C2

15、的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故雙曲線C2的方程為x23-y2=1. (2)將y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0. 由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點,得 ∴k2<1且k2≠13.① 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=62k1-3k2,x1x2=-91-3k2. ∴·=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+2 =3k2+73k2-1. 又∵·>2, ∴3k2+7

16、3k2-1>2,即-3k2+93k2-1>0, 解得130,解得x0=43,y0=3, ∴t=4,點D的坐標為(43,3).