新編高三數學 第67練 直線與圓錐曲線綜合練

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1、 第67練 直線與圓錐曲線綜合練 訓練目標 會判斷直線與圓錐曲線的位置關系，能熟練應用直線與圓錐曲線的位置關系解決有關問題． 訓練題型 (1)求曲線方程；(2)求參數范圍；(3)長度、面積問題；(4)與向量知識交匯應用問題． 解題策略 聯(lián)立直線與曲線方程，轉化為二次方程問題，再利用根與系數的關系轉化為代數式、方程組、不等式組，結合已知條件解決具體問題. 一、選擇題 1．(20xx·鄭州質檢)過拋物線y2＝8x的焦點F作傾斜角為135°的直線交拋物線于A，B兩點，則弦AB的長為(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 2．設a，b是關于t的方

2、程t2cos θ＋tsin θ＝0的兩個不等實根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點的直線與雙曲線－＝1的公共點的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知直線l的斜率為k，它與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若＝2，則|k|等于(　　) A．2 B. C. D. 二、填空題 4．已知直線kx－y＋1＝0與雙曲線－y2＝1相交于兩個不同的點A，B，若x軸上的點M(3,0)到A，B兩點的距離相等，則k的值為________． 5．(20xx·唐山一模)F是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂

3、足為A，交另一條漸近線于點B.若2＝，則C的離心率是________． 6．設F1，F2為橢圓C1：＋＝1(a1>b1>0)與雙曲線C2的公共的左，右焦點，橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內交于點M，△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，且|MF1|＝2，若橢圓C1的離心率e∈，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是________． 三、解答題 7．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)，其焦點為F1，F2，離心率為，直線l：x＋2y－2＝0與x軸，y軸分別交于點A，B， (1)若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓的方程； (2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取

4、值范圍． 8.(20xx·山東實驗中學第三次診斷)已知點A(－2,0)，B(2，0)，曲線C上的動點P滿足A·B＝－3. (1)求曲線C的方程； (2)若過定點M(0，－2)的直線l與曲線C有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍； (3)若動點Q(x，y)在曲線C上，求u＝的取值范圍． 9．(20xx·重慶巫溪中學第五次月考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點相同，且橢圓C上一點與橢圓C的左，右焦點F1，F2構成的三角形的周長為2＋2. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m(k，m∈R)與橢圓

5、C交于A，B兩點，O為坐標原點，△AOB的重心G滿足：·＝－，求實數m的取值范圍．  答案精析 1．D　[由題意得，拋物線y2＝8x的焦點F的坐標為(2,0)，又直線AB的傾斜角為135°，故直線AB的方程為y＝－x＋2.代入拋物線方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦AB的長應為x1＋x2＋4＝12＋4＝16.] 2．A　[由根與系數的關系，得a＋b＝－tan θ，ab＝0，則a，b中必有一個為0，另一個為－tan θ.不妨設A(0,0)，B(－tan θ，tan2θ)，則直線AB的方程為y＝－xtan θ.根據雙曲線的標準方

6、程，得雙曲線的漸近線方程為y＝±xtan θ，顯然直線AB是雙曲線的一條漸近線，所以過A，B兩點的直線與雙曲線沒有公共點．] 3．A　[根據拋物線過焦點弦的結論＋＝，得＋＝1，又因為|AF|＝2|BF|， 所以|BF|＝，|AF|＝3，則弦長|AB|＝，又弦長|AB|＝(α為直線AB的傾斜角)， 所以sin2α＝，則cos2α＝，tan2α＝8，即k2＝8，所以|k|＝2，故選A.] 4. 解析　聯(lián)立直線與雙曲線方程 得(1－2k2)x2－4kx－4＝0， ∵直線與雙曲線相交于兩個不同的點， ∴ 解得－1

7、x2＝. 設P為AB的中點， 則P(，＋1)， 即P(，)． ∵M(3,0)到A，B兩點距離相等， ∴MP⊥AB， ∴kMP·kAB＝－1，即k·＝－1，得k＝或k＝－1(舍)，∴k＝. 5. 解析　由已知得漸近線為l1：y＝x，l2：y＝－x，由條件得，F到漸近線的距離|FA|＝b，則|FB|＝2b， 在Rt△AOF中，|OF|＝c，則|OA|＝＝a.設l1的傾斜角為θ，即∠AOF＝θ，則∠AOB＝2θ. 在Rt△AOF中，tan θ＝，在Rt△AOB中，tan 2θ＝，而tan 2θ＝， 即＝，即a2＝3b2， 所以a2＝3(c2－a2)， 所以e2＝＝，又e>1

8、， 所以e＝. 6. 解析　設雙曲線C2的方程為－＝1(a2>0，b2>0)，由題意知|MF1|＝2，|F1F2|＝|MF2|＝2c，其中c2＝a＋b＝a－b，又根據橢圓與雙曲線的定義得 ??a1－a2＝2c，其中2a1,2a2分別為橢圓的長軸長和雙曲線的實軸長． 因為橢圓的離心率e∈，所以≤≤，所以c≤a1≤c，而a2＝a1－2c，所以c≤a2≤c，所以≤≤4，即雙曲線C2的離心率的取值范圍是. 7．解　(1)由橢圓的離心率為， 得a＝c，∵直線l與x軸交于A點， ∴A(2,0)，∴a＝2，c＝，b＝， ∴橢圓方程為＋＝1. (2)由e＝，可設橢圓E的方程為＋＝1， 聯(lián)

9、立 得6y2－8y＋4－a2＝0， 若線段AB上存在點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，則線段AB與橢圓E有公共點，等價于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解． 設f(y)＝6y2－8y＋4－a2， ∴即 ∴≤a2≤4， 故a的取值范圍是≤a≤2. 8．解　(1)設P(x，y)，A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3， 得P點軌跡(曲線C)方程為x2＋y2＝1， 即曲線C是圓． (2)可設直線l的方程為y＝kx－2， 其一般方程為kx－y－2＝0， 由直線l與曲線C有交點，得≤1，得k≤－或k≥， 即所求k的取值范圍是(－∞，－

10、]∪[，＋∞)． (3)由動點Q(x，y)，設定點N(1，－2)， 則直線QN的斜率kQN＝＝u， 又點Q在曲線C上，故直線QN與圓有交點， 設直線QN的方程為y＋2＝u(x－1)， 即ux－y－u－2＝0. 當直線與圓相切時，＝1， 解得u＝－， 當u不存在時，直線與圓相切， 所以u∈(－∞，－]． 9．解　(1)依題意得 即 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立得方程組 消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 則 設△AOB的重心為G(x，y)， 由·＝－， 可得x2＋y2＝.② 由重心公式可得G(，)， 代入②式，整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4?(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③ 將①式代入③式并整理， 得m2＝， 代入(*)得k≠0， 則m2＝＝1＋＝1＋. ∵k≠0，∴t＝>0，∴t2＋4t>0， ∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．