2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4.doc
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2 角的概念的推廣 內(nèi)容要求 1.理解正角、負角、零角與象限角的概念(重點).2.掌握終邊相同的角的表示方法(難點)． 知識點1 角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點O從一個位置 OA旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所形成的圖形．點O是角的頂點，射線OA，OB分別是角α的始邊和終邊． (2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向，分為如下三類： 類型 定義 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 如果一條射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，稱這樣的角為零角 【預(yù)習(xí)評價】 (正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角是正角(√) (2)按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角是負角(√) (3)沒有作任何旋轉(zhuǎn)就沒有角對應(yīng)() (4)終邊和始邊重合的角是零角() (5)經(jīng)過1小時時針轉(zhuǎn)過30() 知識點2 象限角 如果角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限． 【預(yù)習(xí)評價】 1．銳角屬于第幾象限角？鈍角又屬于第幾象限角？ 提示 銳角屬于第一象限角，鈍角屬于第二象限角． 2．第二象限的角比第一象限的角大嗎？ 提示 不一定．如120 是第二象限的角，390是第一象限的角，但120＜390. 知識點3 終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和． 【預(yù)習(xí)評價】 (正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)終邊相同的角一定相等() (2)相等的角終邊一定相同(√) (3)終邊相同的角有無數(shù)多個(√) (4)終邊相同的角它們相差180的整數(shù)倍() 題型一 角的概念的推廣 【例1】 寫出下圖中的角α，β，γ的度數(shù)． 解 要正確識圖，確定好旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的大小，由角的概念可知α＝330，β＝－150，γ＝570. 規(guī)律方法 1.理解角的概念的三個“明確” 2．表示角時的兩個注意點 (1)字母表示時：可以用希臘字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以簡化為“α”． (2)用圖示表示角時：箭頭不可以丟掉，因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方向，也即箭頭代表著角的正負． 【訓(xùn)練1】 (1)圖中角α＝________，β＝________； (2)經(jīng)過10 min，分針轉(zhuǎn)了________． 解析 (1)α＝－(180－30)＝－150 β＝30＋180＝210. (2)分針按順時針轉(zhuǎn)過了周角的，即－60. 答案 (1)－150 210 (2)－60 題型二 終邊相同的角 【例2】 已知α＝－1 910. (1)把α寫成β＋k360(k∈Z,0≤β＜360)的形式，并指出它是第幾象限角； (2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720≤θ＜0. 解 (1)－1 910＝250－6360，其中β＝250，從而α＝250＋(－6)360，它是第三象限角． (2)令θ＝250＋k360(k∈Z)， 取k＝－1，－2就得到滿足－720≤θ＜0的角， 即250－360＝－110，250－720＝－470. 所以θ為－110，－470. 規(guī)律方法 將任意角化為α＋k360(k∈Z，且0≤α＜360)的形式，關(guān)鍵是確定k.可用觀察法(α的絕對值較小時適用)，也可用除以360的方法．要注意：正角除以360，按通常的除法進行，負角除以360，商是負數(shù)，且余數(shù)為正值． 【訓(xùn)練2】 寫出終邊在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合． 解 終邊在直線OM上的角的集合為M＝{α|α＝45＋k360，k∈Z}∪{α|α＝225＋k360，k∈Z} ＝{α|α＝45＋2k180，k∈Z}∪{α|α＝45＋(2k＋1)180，k∈Z} ＝{α|α＝45＋n180，n∈Z}． 同理可得終邊在直線ON上的角的集合為{α|α＝60＋n180，n∈Z}， 所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為 {α|45＋n180≤α≤60＋n180，n∈Z}． 【探究1】 在四個角－20，－400，－2 000，1 600中，第四象限角的個數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析 －20是第四象限角，－400＝－360－40與－40終邊相同，是第四象限角，－2 000＝－6360＋160與160終邊相同，是第二象限角，1 600＝4360＋160與160終邊相同，是第二象限角，故第四象限角有2個． 答案 C 【探究2】 寫出終邊落在第一象限和第二象限內(nèi)的角的集合． 解 根據(jù)終邊相同的角一定是同一象限的角，又可以先寫出第一象限銳角范圍和第二象限鈍角的范圍，再加上360的整數(shù)倍即可． 所以表示為： 第一象限角的集合：S＝{β|β＝k360＋α，0＜α＜90，k∈Z}，或S＝{β|k360＜β＜k360＋90，k∈Z}． 第二象限角的集合：S＝{β|β＝k360＋α，90＜α＜180，k∈Z}，或S＝{β|k360＋90＜β＜k360＋180，k∈Z}． 【探究3】 已知α為第二象限角，那么2α，分別是第幾象限角？ 解 ∵α是第二象限角， ∴90＋k360＜α＜180＋k360， 180＋2k360＜2α＜360＋2k360，k∈Z. ∴2α是第三或第四象限角，或是終邊落在y軸的非正半軸上的角． 同理45＋360＜＜90＋360，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時，不妨令k＝2n，n∈Z，則45＋n360＜＜90＋n360，此時，為第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1，n∈Z，則225＋n360＜＜270＋n360，此時，為第三象限角． ∴為第一或第三象限角． 【探究4】 已知α為第一象限角，求180－是第幾象限角． 解 ∵α為第一象限角， ∴k360＜α＜k360＋90，k∈Z， ∴k180＜＜k180＋45，k∈Z， ∴－45－k180＜－＜－k180，k∈Z， ∴135－k180＜180－＜180－k180，k∈Z. 當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，135－n360＜180－＜180－n360，為第二象限角； 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，－45－n360＜180－＜－n360，為第四象限角． ∴180－是第二或第四象限角． 規(guī)律方法 1.象限角的判定方法 (1)根據(jù)圖像判定．利用圖像實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0～360之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系． (2)將角轉(zhuǎn)化到0～360范圍內(nèi)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，0～360范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的． 2．α，2α，等角的終邊位置的確定方法 不等式法： (1)利用象限角的概念或已知條件，寫出角α的范圍． (2)利用不等式的性質(zhì)，求出2α，等角的范圍． (3)利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點，確定角終邊的位置．例如，如果得到k120＜＜k120＋30，k∈Z，可畫出0＜＜30所表示的區(qū)域，再將此區(qū)域依次逆時針或順時針轉(zhuǎn)動120(如圖所示)． 易錯警示 由α的范圍確定2α的范圍時易忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況. 課堂達標(biāo) 1．－361的終邊落在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 因為－361的終邊和－1的終邊相同，所以它的終邊落在第四象限，故選D. 答案 D 2．設(shè)A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90的正角}，則下列等式中成立的是( ) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D 解析 直接根據(jù)角的分類進行求解，容易得到答案． 答案 D 3．將－885化為α＋k360(0≤α<360，k∈Z)的形式是________________． 答案 195＋(－3)360 4．與－1 692終邊相同的最大負角是________． 解析 ∵－1 692＝－5360＋108， ∴與108終邊相同的最大負角為－252. 答案?。?52 5.如圖所示，寫出終邊落在陰影部分的角的集合． 解 設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成． ①{α|k360＋30≤α下載提示(請認真閱讀)
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