2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí) 新人教A版必修2.doc

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4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【選題明細(xì)表】 知識點、方法題號圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1,3,4,5,8,9點與圓的位置關(guān)系2,7圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用6,10,11,121.圓(x-3)2+(y+2)2=13的周長是(B)(A) (B)2 (C)2(D)2解析:由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,其半徑為,周長為2.故選B.2.點P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(A)(A)在圓外(B)在圓內(nèi)(C)在圓上(D)不確定解析:把P(m,5)代入x2+y2=24,得m2+2524.所以點P在圓外,故選A.3.(2018湖北宜昌期末)以兩點A(-3,-1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是(A)(A)(x-1)2+(y-2)2=25(B)(x+1)2+(y+2)2=25(C)(x+1)2+(y+2)2=100(D)(x-1)2+(y-2)2=100解析:由題意可得,圓心為線段AB的中點C(1,2),半徑為r=AB=5,故要求的圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=25,故選A.4.已知圓心為P(-2,3),并且與y軸相切,則該圓的方程是(B)(A)(x-2)2+(y+3)2=4(B)(x+2)2+(y-3)2=4(C)(x-2)2+(y+3)2=9(D)(x+2)2+(y-3)2=9解析:由題意知,該圓的圓心為(-2,3),半徑為2,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-3)2=4.5.(2018江西贛州期末)圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線x-y-2=0對稱的圓的方程為(A)(A)(x-4)2+(y+1)2=1(B)(x+4)2+(y+1)2=1(C)(x+2)2+(y+4)2=1(D)(x-2)2+(y+1)2=1解析:由于圓心(1,2)關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點的坐標(biāo)為(4,-1),半徑為1,故圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線x-y-2=0對稱的圓的方程為(x-4)2+(y+1)2=1,故選A.6.(2018河南濮陽一模)圓x2+(y-1)2=1的圓心到直線y=-x-2的距離為.解析:圓x2+(y-1)2=1的圓心(0,1)到直線y=-x-2的距離為d=.答案:7.(2018江西師大附中高一測試)自點A(-1,4)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線,切點為B,則AB的長為.解析:點A到圓心C(2,3)的距離為=,所以切線長為=3.答案:38.求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)圓心在x軸上,半徑為5,且過點A(2,-3).(2)經(jīng)過點A(-4,-5),B(6,-1)且以線段AB為直徑;(3)圓心在直線y=-2x上,且與直線y=1-x相切于點(2,-1);(4)圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5).解:(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=25,因為點A(2,-3)在圓上,所以(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.(2)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由題意得a=1,b=-3,又因為點(6,-1)在圓上,所以r2=(6-1)2+(-1+3)2=29.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+3)2=29.(3)法一設(shè)圓心為(a,-2a).因為圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以=,解得a=1.所以所求圓的圓心為(1,-2).半徑r=.所以所求圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=2.法二設(shè)過(2,-1)且與y=1-x垂直的直線為y=x+b,把(2,-1)代入,得b=-3.所以圓心(a,b)在y=x-3上,即b=a-3,又因為圓心在直線y=-2x上,所以b=-2a,解之得a=1,b=-2,則圓心為(1,-2),所以r=,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=2.(4)法一設(shè)點C為圓心,因為點C在直線:x-2y-3=0上,所以可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過A,B兩點,所以|CA|=|CB|.所以=,解得a=-2,所以圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑r=.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.法二設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由條件知所以故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.法三線段AB的中點為(0,-4),kAB=,所以弦AB的垂直平分線的斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+4=-2x,即y=-2x-4,圓心是直線y=-2x-4與直線x-2y-3=0的交點,由得即圓心為(-1,-2),圓的半徑r=.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.9.(2018內(nèi)蒙古包頭市一模)圓E經(jīng)過三點A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(C)(A)(x-)2+y2=(B)(x+)2+y2=(C)(x-)2+y2=(D)(x-)2+y2=解析:根據(jù)題意,設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0),半徑為r,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=r2.則有解得a=,r2=,所以圓E的方程為(x-)2+y2=.故 選C.10.(2018河南鶴壁高一期末)如果實數(shù)x,y滿足x2+(y-3)2=1,那么的取值范圍是(D)(A)2,+)(B)(-,-2(C)-2,2(D)(-,-22,+)解析:因為實數(shù)x,y滿足x2+(y-3)2=1,所以表示以(0,3)為圓心,1為半徑的圓上的點和原點連線的斜率k,設(shè)直線方程為y=kx,聯(lián)立x2+(y-3)2=1和y=kx消去y并整理可得(1+k2)x2-6kx+8=0,由 =36k2-32(1+k2)=0可解得k=2,結(jié)合圖形可知的取值范圍是(-,-22,+).11.如圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在如圖位置時,拱頂離水面2 m,水面寬12 m,當(dāng)水面下降1 m后,水面寬多少m?解:如圖,拱頂O為坐標(biāo)原點,設(shè)圓的半徑為r m,則圓心C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2. 將A點的坐標(biāo)(6,-2)代入方程解得r=10.所以圓的方程為x2+(y+10)2=100.當(dāng)水面下降1 m后,可設(shè)點A的坐標(biāo)為(x0,-3)(x00),將A的坐標(biāo)(x0,-3)代入方程,解得x0=.所以水面下降1 m后,水面寬為2x0=214.28 m.12.已知圓C的圓心坐標(biāo)為C(x0,x0),且過定點P(4,2).(1)求圓C的方程(用含x0的方程表示);(2)當(dāng)x0為何值時,圓C的面積最小?并求出此時圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:(1)由題意,設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r0).因為圓C過定點P(4,2),所以(4-x0)2+(2-x0)2=r2(r0),所以r2=2-12x0+20.所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20.(2)因為(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20=2(x0-3)2+2,所以當(dāng)x0=3時,圓C的半徑長最小,即面積最小,此時圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-3)2=2.