2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1 函數(shù)的單調(diào)性與極值學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc

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1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 1．1　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)f(x)＝x2－2x－2的圖像如圖所示： 問題1：當(dāng)x0∈(－∞，1)時，函數(shù)在(x0，f(x0))處的切線斜率f′(x0)大于零還是小于零？ 提示：小于零． 問題2：函數(shù)f(x)＝x2－2x－2在(－∞，1)上單調(diào)性如何？ 提示：是減少的． 問題3：當(dāng)x0∈(1，＋∞)時，函數(shù)在(x0，f(x0))處的切線斜率f′(x0)大于零還是小于零？ 提示：大于零． 問題4：f(x)＝x2－2x－2在(1，＋∞)上單調(diào)性如何？ 提示：是增加的． 函數(shù)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號關(guān)系 導(dǎo)函數(shù)的正負(fù) 函數(shù)在(a，b)上的單調(diào)性 f′(x)＞0 是增加的 f′(x)＜0 是減少的 1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′(x)，令f′(x)>0，得單調(diào)增區(qū)間，令f′(x)<0得單調(diào)減區(qū)間． 2．在某個區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．如果出現(xiàn)個別點使f′(x)＝0，不會影響函數(shù)f(x)在包含該點的某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．例如函數(shù)f(x)＝x3在定義域(－∞，＋∞)上是增加的，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點處都滿足f′(x)>0. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 [例1]　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝－x3＋3x2. [思路點拔]　根據(jù)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟求解． [精解詳析]　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝. 因為x＞0，所以x＋1＞0，由f′(x)＞0，解得x＞，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由f′(x)＜0，解得x＜，又x∈(0，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 因為x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex＞0，(x－2)2＞0. 由f′(x)＞0，解得x＞3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，＋∞)；由f′(x)＜0，解得x＜3，又定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2)和(2,3)． (3)由f(x)＝－x3＋3x2。 得f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 由f′(x)＞0，解得0＜x＜2，因此，函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增的； 由f′(x)＜0，解得x＞2或x＜0，因此，函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)上是單調(diào)遞減的． 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(2，＋∞)． [一點通]　 1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： 2．含有參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)注意分類討論． 1．下列函數(shù)中在區(qū)間(－1,1)上單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝2－3x2　　　　　　　　 B．y＝ln x C．y＝x3－3x D．y＝sin x 解析：顯然，函數(shù)y＝2－3x2在區(qū)間(－1,1)上是不單調(diào)的；函數(shù)y＝ln x的定義域為(0，＋∞)，不滿足題目要求； 函數(shù)y＝sin x在(－，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(－1,1)上也單調(diào)遞增； 對于函數(shù)y＝x3－3x，y′＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，當(dāng)x∈(－1,1)時，y′＜0，所以函數(shù)y＝x3－3x在區(qū)間(－1,1)上單調(diào)遞減． 答案：C 2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析：由已知得函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝， 由f′(x) ＞0可得x2－x－2＞0， 得x＞2. 答案：C 3．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，指出其單調(diào)性． (1)y＝－2x＋cos x； (2)y＝x3－x. 解：(1)由題意得y′＝－2－sin x，∵－1≤sin x≤1， ∴y′<0，單調(diào)區(qū)間為(－∞，＋∞)，且函數(shù)y＝－2x＋cos x在R上為減少的． (2)函數(shù)的定義域為R， 令y′＝3x2－1>0，得x<－或x>； 令y′＝3x2－1<0，得－0， 則x>1或x<－1. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞) (2)因為函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增加的， ∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立． ∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝3x2，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)>g(1)＝3. ∴a≤3. 當(dāng)a＝3時，f′(x)＝3(x2－1)，此時函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上增加， ∴a的取值范圍是(－∞，3]． [一點通]　 已知函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍的步驟： (1)求導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)； (2)轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立問題； (3)由不等式恒成立求參數(shù)范圍； (4)驗證等號是否成立． 4．若函數(shù)f(x)＝mx＋在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為(　　) A.　　　　　　　　 B. C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：由題意f′(x)＝m＋ ≥0在上恒成立，即m≥－ 在上恒成立，令g(x)＝－，g′(x)＝x－，在x∈上g′(x)＞0，所以g(x)max＝g(1)＝－，故m≥－. 答案：A 5．若函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－8在(－∞，＋∞)上增加，求a的取值范圍． 解：當(dāng)a＝0時，f(x)＝－x2＋x－8＝－(x－)2－， ∴不滿足條件．∴a≠0. 當(dāng)a≠0時，f′(x)＝3ax2－2x＋1. ∵f(x)在(－∞，＋∞)上增加， ∴f′(x)≥0，即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立， 即即解得a≥. ∴a的取值范圍為. 用函數(shù)單調(diào)性證明不等式 [例3]　求證：當(dāng)x≤2時，x3－6x2≤－12x＋8. [思路點撥]　通過函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋12x－8的單調(diào)性，證明f(x)≤0. [精解詳析]　設(shè)f(x)＝x3－6x2＋12x－8， 則f′(x)＝3x2－12x＋12＝3(x2－4x＋4)＝3(x－2)2. ∵x≤2時，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)在(－∞，2]上是增加的， ∴x≤2時， f(x)≤f(2)＝0， 即x3－6x2＋12x－8≤0， 即x3－6x2≤－12x＋8. [一點通]　 要證明不等式g(x)＞φ(x)(或g(x)≥φ(x))成立，可以構(gòu)造函數(shù)f(x)＝g(x)－φ(x)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)＝g(x)－φ(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性獲得f(x)＞0(或f(x)≥0)，從而證明了不等式g(x)＞φ(x)(或g(x)≥φ(x))． 6．求證：sin x0，函數(shù)在上是增加的． 答案：C 3．已知函數(shù)f(x)＝＋ln x，則有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 解析：∵函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 且f′(x)＝＋＞0， ∴f(x)在(0，＋∞)上為增加的， ∴f(2)＜f(e)＜f(3)． 答案：A 4.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖像如右圖所示，則y＝f(x)的圖像最有可能是(　　) 解析：由y＝f′(x)的圖像可知，當(dāng)x<0或x>2時，f′(x)>0；當(dāng)00，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范圍是[5，＋∞)． 8．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 當(dāng)a＜0時，對任意x∈R，都有f′(x)＞0， 即a＜0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)． 當(dāng)a ＞0時，f′(x)＞0時，解得x＞或x＜－， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，f′(x)＜0時，解得－＜x＜，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)． 即a＞0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)． 1．2　函數(shù)的極值 “橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，說的是廬山的高低起伏，錯落有致，在群山中，各個山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點．如圖為某同學(xué)繪制的廬山主峰剖面圖． 問題1：若把該圖視為某函數(shù)的圖像，圖中共有多少個相對于附近的“最高”點？ 提示：5個． 問題2：這些“最高”點的左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性如何？ 提示：左側(cè)增，右側(cè)減． 問題3：圖中共有多少個相對于附近的“最低點”？ 提示：4個． 問題4：這些“最低”點的左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性如何？ 提示：左側(cè)減，右側(cè)增． 1．函數(shù)極值的有關(guān)定義 (1)在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都不大于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值． (2)在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都不小于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值． (3)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點． 2．函數(shù)極值的判定 (1)單調(diào)性判別： ①如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，x0)上是增加的，在區(qū)間(x0，b)上是減少的，則x0是極大值點，f(x0)是極大值． ②如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，x0)上是減少的，在區(qū)間(x0，b)上是增加的，則x0是極小值點，f(x0)是極小值． (2)圖表判別： ①極大值的判定. x (a，x0) x0 (x0，b) f′(x) ＋ 0 － y＝f(x) 增加 極大值 減少 ②極小值的判定： x (a，x0) x0 (x0，b) f′(x) － 0 ＋ y＝f(x) 減少 極小值 增加 (3)圖像判別： ①極大值．　　　　　　　②極小值． 　　 1．函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，它反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況． 2．由函數(shù)極值的定義知道，函數(shù)在一個區(qū)間的端點處一定不可能取得極值，即端點一定不是函數(shù)的極值點． 3．在一個給定的區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個極值點，也可能不存在極值點，極大值不一定大于極小值． 求函數(shù)的極值 [例1]　求下列函數(shù)的極值． (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝. [思路點撥]　首先從方程f′(x)＝0入手，求出在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的判斷方法判斷在這些點處是否取得極值． [精解詳析]　(1)f′(x)＝3x2－6x－9. 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增加 極大值 減少 極小值 增加 因此，當(dāng)x＝－1時函數(shù)取得極大值，且極大值為 f(－1)＝10； 當(dāng)x＝3時函數(shù)取得極小值，且極小值為f(3)＝－22. (2)函數(shù)f(x)＝的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝. 令f′(x)＝0，得x＝e. 當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 增加 極大值 減少 故當(dāng)x＝e時函數(shù)取得極大值，且極大值為f(e)＝. [一點通]　 求函數(shù)y＝f(x)的極值點的步驟： (1)求出導(dǎo)數(shù)f′(x)． (2)解方程f′(x)＝0. (3)對于方程f′(x)＝0的每一個解x0，分析f′(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(即f(x)的單調(diào)性)，確定極值點： ①若f′(x)在x0兩側(cè)的符號“左正右負(fù)”，則x0為極大值點； ②若f′(x)在x0兩側(cè)的符號“左負(fù)右正”，則x0為極小值點； ③若f′(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點． 1.已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的極大值是(　　) A．－2a＋c　　　　　 B．－4a＋c C．－3a D．c 解析：由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像知當(dāng)0＜x＜2時，f′(x)＞0；當(dāng)x＞2時，f′(x)＜0；當(dāng)x＝2時，f′(x)＝0.又f′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f(x)＝ax3－3ax2＋c，所以函數(shù)f(x)的極大值為f(2)＝－4a＋c. 答案：B 2．求函數(shù)y＝x4－4x3＋5的極值． 解：y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)． 令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3. 當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3，＋∞) y′ － 0 － 0 ＋ y  不是極值  極小值  故當(dāng)x＝3時函數(shù)取得極小值，且y極小值＝f(3)＝－22. 已知極值求參數(shù) [例2]　設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個極值點． (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由． [思路點撥]　x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)的兩個極值點，則1,2即為f′(x)＝0的兩個根，由此可得a，b的方程組，解方程組即可求解，然后再判斷x＝1，x＝2為極大值點還是極小值點． [精解詳析]　(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1. 由題意可知f′(1)＝f′(2)＝0， ∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0. 解方程組得a＝－，b＝－. ∴f(x)＝－ln x－x2＋x. (2)x＝1，x＝2分別是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點． 理由如下：f′(x)＝－x－1－x＋1 ＝－－x＋1＝－. 又∵f(x)的定義域為(0，＋∞)， ∴當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0，故在x＝1處函數(shù)f(x)取得極小值，在x＝2處函數(shù)取得極大值，故x＝1為極小值點，x＝2為極大值點． [一點通]　 已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時，注意兩點： (1)根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組． (2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以求解后必須驗證根的合理性． 3．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2＋a的極大值為6，那么a＝________. 解析：由f′(x)＝6x2－6x，知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)和(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，故f(x)在x＝0處取得極大值6，故a＝6. 答案：6 4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－3,6)　　　　　　　 B．[－3,6] C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－3]∪[6，＋∞) 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由題意可知f′(x)＝0沒有實根或有兩個相等實根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故選B. 答案：B 5．是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋ax＋1在x＝1處取極值？若存在，求出a的值，并判斷f(1)是極大值還是極小值；若不存在，請說明理由． 解：假設(shè)存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋ax＋1在x＝1處取極值． 又f′(x)＝x2＋2x＋a， ∴f′(1)＝0，即1＋2＋a＝0，∴a＝－3 當(dāng)a＝－3時，f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－3. 當(dāng)x>1時，f′(x)>0，當(dāng)－31或x<－1時，g′(x)>0； 當(dāng)－1或a<－時，圖像有1個交點； 當(dāng)a＝或a＝－時，圖像有2個交點； 當(dāng)－或a<－時，函數(shù)有1個零點； ②當(dāng)a＝或a＝－時，函數(shù)有2個零點； ③當(dāng)－0)的圖像與x軸恰有一個交點，求a的值． 解：f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝1. 當(dāng)x>1時，f′(x)>0； 當(dāng)x－時，f′(x)>0， ∴當(dāng)x＝－時，函數(shù)f(x)取極小值． 答案：B 3．函數(shù)f(x)＝1＋3x－x3(　　) A．有極小值，無極大值 B．無極小值，有極大值 C．無極小值，無極大值 D．有極小值，有極大值 解析：∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝1. 當(dāng)x∈(－1,1)時f′(x)＞0， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,1)； 同理，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)． ∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極小值－1，當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極大值3. 答案：D 4．三次函數(shù)當(dāng)x＝1時有極大值4，當(dāng)x＝3時有極小值0，則此函數(shù)的解析式是(　　) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 解析：設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由題意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0， 即 解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0. 答案：B 5．函數(shù)y＝x3＋x2－x＋1在x＝________處取極大值． 解析：y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)． 當(dāng)－1或x<－1時，y′>0. ∴函數(shù)在x＝－1處取極大值． 答案：－1 6．函數(shù)f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為________． 解析：f′(x)＝a－＝，當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減少的， 故f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點． 答案：0 7．已知a，b是實數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點． (1)求a和b的值； (2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點． 解：(1)由題設(shè)知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x. 因為f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)， 所以g′(x)＝0的根為x1＝x2＝1，x3＝－2， 于是函數(shù)g(x)的極值點只可能是1或－2. 當(dāng)x＜－2時，g′(x)＜0；當(dāng)－2＜x＜1時，g′(x)＞0，故－2是g(x)的極值點． 當(dāng)－2＜x＜1或x＞1時，g′(x)＞0，故1不是g(x)的極值點． 所以g(x)的極值點為－2. 8．設(shè)f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解：(1)f(x)＝aln x＋＋x＋1， f′(x)＝－＋. 由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線的斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＋＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，f′(x)＝－－＋＝＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(x2＝－不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減少的； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增加的． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3.