實對稱矩陣的特征值和特征向量.ppt

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3 3實對稱矩陣特征值和特征向量 永遠(yuǎn)可以對角化 實數(shù)域上的對稱矩陣簡稱為實對稱矩陣 這類矩陣的最大優(yōu)點是特征值都是實數(shù) 定理4 12實對稱矩陣的特征值都是實數(shù) 一 實對稱矩陣特征值的性質(zhì) 證明 設(shè) 是階實對稱矩陣 是矩陣的在復(fù)數(shù) 域上的任一特征值 屬于的特征向量為 兩邊取復(fù)數(shù)共軛得到 則 于是 4 11 由于 對最后一式取復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)置 得到 兩邊再右乘 得到 所以有 特征值都是實數(shù) 這樣 是實數(shù) 由的任意性 實對稱矩陣的 特征向量都是實數(shù)向量 附注 進(jìn)一步地有 實對稱矩陣 的屬于特征值的 一 實對稱矩陣特征值的性質(zhì) 定理4 12實對稱矩陣的特征值都是實數(shù) 對上面第一式兩邊左乘 的特征向量 定理4 13 實對稱矩陣 的屬于不同 特征向量相互正交 證明 特征值的 設(shè) 是實對稱矩陣的不同特征值 分別是屬于特征值 于是 得到 4 12 而 于是有 這樣 由得到 是正交的 即 與 特征向量相互正交的線性無關(guān)組 注 實對稱矩陣 的屬于不同特征值的 向量和對應(yīng)特征向量 在 4 1中里4中 例1 矩陣 是實對稱矩陣 特征值 二重 對應(yīng)特征 都正交 把它們化為標(biāo)準(zhǔn)正交組 當(dāng)然 彼此不正交 但可以通過 標(biāo)準(zhǔn)正交化方法 為矩陣 把分塊為 也是的屬于的 定理4 14 設(shè) 是階 實對稱矩陣 則 存在正交陣 使為對角陣 下面證明對于階實對稱矩陣來說定理成立 證明 對矩陣 的階數(shù) 用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時 定理結(jié)論顯然成立 假設(shè)對于所有 階實對稱矩陣來說定理成立 故不妨設(shè)是單位向量 設(shè) 是的一個特征值 是屬于特征值的 特征 向量 顯然單位向量 特征向量 第一列任意正交矩陣 記 是以為 其中 則 及與的各列向量都正交 注意到 根據(jù)歸納法假設(shè) 其中 為階實對稱矩陣 使得 對 存在階正交矩陣 所以 并且 令 則 均為階正交矩陣 這表明 階實對稱矩陣定理結(jié)論成立 為對角矩陣 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理 對任意 對每個 其中為重的 二 實對稱矩陣對角化方法 具體步驟如下 根據(jù)定理4 14 任意一個實對稱矩陣都可以對角化 求出的所有特征值 第一步 對給定實對稱矩陣 解特征方程 設(shè)的所有不同的特征值為 第二步 解齊次線性方程組 求出它的一個基礎(chǔ)解系 得到正交向量組 第三步 利用施米特正交化方法 把 正交化 再把單位化 得到一個 標(biāo)準(zhǔn)正交組 注意 它們都是屬于 的線性無關(guān)特征向量 且 第四步 令 則 是正交陣 為對角陣 與中正交列向量組 特征向量 排列順序相對應(yīng) 附注 矩陣 主對角線元素 特征值 排列順序 實對稱矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形 在不計排列順序情況下 這種對角化形式 是唯一的 例2對矩陣 求一正交陣 使 成對角矩陣 的特征多項式為 解 矩陣 解特征方程得特征值 二重 即求解 對于 解齊次線性方程組 得到一個基礎(chǔ)解系 對于 即求解 解齊次線性方程組 得到一個基礎(chǔ)解系 把 正交化 得到 將 單位化 構(gòu)造矩陣 的屬于0的特征向量為 則 為正交矩陣 并且使得矩陣 對角化為 求矩陣 例3 設(shè)三階實對稱矩陣 的特征值為 二重 而 解 因三階實對稱矩陣必可對角化 本題中 對應(yīng)于二重 特征值1的線性無關(guān)向量 應(yīng)有兩個特征向量組成 設(shè)為 根據(jù)定理4 13 它們都與正交 故是 齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系 所以 可取 彼此正交 將它們單位化 則 是正交組 構(gòu)造矩陣 則為正交矩陣 對角化為 并且使得 矩陣 于是