數(shù)學(xué)廣角——鴿巢問題

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1、 第五單元 數(shù)學(xué)廣角 ——鴿巢問題 一、教材分析： 本教材專門安排“數(shù)學(xué)廣角”這一單元，向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。和以往的義務(wù)教育教材相比，這部分內(nèi)容是新增的內(nèi)容。本單元教材通過幾個(gè)直觀例子，借助實(shí)際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問題”，使學(xué)生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對(duì)一些簡單的實(shí)際問題加以“模型化”，會(huì)用“鴿巢問題”加以解決。在數(shù)學(xué)問題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問題。在這類問題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或人）。這類問題依據(jù)的理論我們稱之為“抽屜原理”?！俺閷显怼弊钕仁?9世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問

2、題的，所以又稱“狄利克雷原理”，也稱之為“鴿巢問題”?！傍澇矄栴}”的理論本身并不復(fù)雜，甚至可以說是顯而易見的。但“鴿巢問題”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此，“鴿巢問題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應(yīng)用。 “鴿巢原理”的變式很多，在生活中運(yùn)用廣泛，學(xué)生在生活中常常遇到此類問題。教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個(gè)問題是否屬于“鴿巢原理”可以解決的范疇。能不能將這個(gè)問題同“鴿巢原理”結(jié)合起來，是本次教學(xué)能否成功的關(guān)鍵。所以，在教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。六年級(jí)的學(xué)生理解能力、學(xué)習(xí)能力和生活經(jīng)驗(yàn)已達(dá)到能夠掌

3、握本章內(nèi)容的程度。教材選取的是學(xué)生熟悉的，易于理解的生活實(shí)例，將具體實(shí)際與數(shù)學(xué)原理結(jié)合起來，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力。 二、三維目標(biāo)： 1、 知識(shí)與技能： 引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)，經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的過程，初步了解“鴿巢原理”的含義，會(huì)用“鴿巢原理”解決簡單的實(shí)際問題。 2、過程與方法： （1） 經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等 活動(dòng)的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 （2）學(xué)會(huì)與人合作，并能與人交流思維過程和結(jié)果。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：新| 課 | 標(biāo)|第 |一

4、| 網(wǎng) （1）積極參與探索活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造。 （2）體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的作用，體 驗(yàn)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的樂趣。 （3）通過“鴿巢原理”的靈活應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的魅力。 （4）理解知識(shí)的產(chǎn)生過程，受到歷史唯物注意的教育。 三、教學(xué)重點(diǎn): 應(yīng)用“鴿巢原理”解決實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)會(huì)把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題。 四、教學(xué)難點(diǎn)： 理解“鴿巢原理”，找出”鴿巢問題“解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。 五、教學(xué)措施： 1、讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程?？梢怨膭?lì)、引導(dǎo)學(xué)生借助學(xué)具、實(shí)物操作或畫草圖的方式進(jìn)行“說理”。通過“說理”的

5、方式理解“鴿巢原理”的過程是一種數(shù)學(xué)證明的雛形。通過這樣的方式，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。 2、有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)具體的問題時(shí)，能否將這個(gè)具體問題和“鴿巢原理”聯(lián)系起來，能否找到該問題中的具體情境與“鴿巢原理”的“一般化模型”之間的內(nèi)在關(guān)系，找出該問題中什么是“待分的東西”，什么是“鴿巢”，是解決問題的關(guān)鍵。教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個(gè)問題是否屬于用“鴿巢原理”可以解決的范疇；再思考如何尋找隱藏在其背后的“鴿巢問題”的一般模型。這個(gè)過程是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是學(xué)生數(shù)

6、學(xué)思維和能力的重要體現(xiàn)。 3、要適當(dāng)把握教學(xué)要求?！傍澇苍怼北旧砘蛟S并不復(fù)雜，但它的應(yīng)用廣泛且靈活多變。因此，用“鴿巢原理”解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些困難。例如，有時(shí)要找到實(shí)際問題與“鴿巢原理”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“鴿巢”，要用幾個(gè)“鴿巢”。因此，教學(xué)時(shí)，不必過于要求學(xué)生“說理”的嚴(yán)密性，只要能結(jié)合具體問題，把大致意思說出來就可以了，鼓勵(lì)學(xué)生借助實(shí)物操作等直觀方式進(jìn)行猜測、驗(yàn)證。w W w .x K b 1.c o M 六、課時(shí)安排：3課時(shí) 鴿巢問題-------------------1課時(shí) “鴿巢問題”的

7、具體應(yīng)用------1課時(shí) 練習(xí)課---------------------1課時(shí) 執(zhí)教： 第1課時(shí) 時(shí)間： 教學(xué)課題：鴿巢問題 教學(xué)內(nèi)容：教材第68-70頁例1、例2，及“做一做”，及第71頁練習(xí)十三的1-2題。 三維目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：了解“鴿巢問題”的特點(diǎn)，理解“鴿巢原理”的含義。使學(xué)生學(xué)會(huì)用此原理解決簡單的實(shí)際問題。 2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 3、情感、態(tài)度和價(jià)值觀

8、：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。 教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”。 教學(xué)難點(diǎn)：找出“鴿巢問題”解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。 教具準(zhǔn)備：多媒體課件。 教學(xué)過程： 1、 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知 老師組織學(xué)生做“搶椅子”游戲（ 請(qǐng)3位同學(xué)上來，擺開2條椅子），并宣布游戲規(guī)則。 師：象這樣的現(xiàn)象中隱藏著什么數(shù)學(xué)奧秘呢？這節(jié)課我們就一起來研究這個(gè)原理。-------出示課題 二、合作交流，探究新知 1、教學(xué)例1(課件出示例題1情境圖） 思考問題：把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有1個(gè)筆筒里至少有2

9、支鉛筆。為什么呢？“總有”和“至少”是什么意思？ 學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律→理解關(guān)鍵詞的含義→探究證明→認(rèn)識(shí)“鴿巢問題”的學(xué)習(xí)過程來解決問題。 (1)操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律：通過吧4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，可以發(fā)現(xiàn)：不管怎么放，總有1鴿筆筒里至少有2支鉛筆。 (2)理解關(guān)鍵詞的含義：“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，不管怎么放，一定有1個(gè)筆筒里的鉛筆數(shù)大于或等于2支。 (3)探究證明。 X k B 1 . c o m 方法一：用“枚舉法”證明。 方法二：用“分解法”證明。 把4分解成3個(gè)數(shù)。 由圖可知，把4分解成3個(gè)數(shù)，與枚舉法相似，也有4中情況，每一種情

10、況分得的3個(gè)數(shù)中，至少有1個(gè)數(shù)是不小于2的數(shù)。 方法三：用“假設(shè)法”證明。 通過以上幾種方法證明都可以發(fā)現(xiàn)：把4只鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，無論怎么放，總有1個(gè)筆筒里至少放進(jìn)2只鉛筆。 （4）認(rèn)識(shí)“鴿巢問題” 像上面的問題就是“鴿巢問題”，也叫“抽屜問題”。在這里，4支鉛筆是要分放的物體，就相當(dāng)于4只“鴿子”，“3個(gè)筆筒”就相當(dāng)于3個(gè)“鴿巢”或“抽屜”，把此問題用“鴿巢問題”的語言描述就是把4只鴿子放進(jìn)3個(gè)籠子，總有1個(gè)籠子里至少有2只鴿子。 這里的“總有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鴿子最多的那個(gè)“籠子”里鴿子“最少”的個(gè)數(shù)。

11、 小結(jié)：只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多，就總有1個(gè)筆筒里至少放進(jìn)2支鉛筆。 如果放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多2，那么總有1個(gè)筆筒至少放2支鉛筆；如果放的鉛筆比筆筒的數(shù)量多3，那么總有1個(gè)筆筒里至少放2只鉛筆?? 小結(jié)：只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多，就總有1個(gè)筆筒里至少放2支鉛筆。 （5）歸納總結(jié)： 鴿巢原理（一）：如果把m個(gè)物體任意放進(jìn)n個(gè)抽屜里（m>n，且n是非零自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)了放進(jìn)了2個(gè)物體。 2、教學(xué)例2(課件出示例題2情境圖） 思考問題：（一）把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有1個(gè)抽屜里至少有3本書。為什么呢？ （二）如果有8本書會(huì)

12、怎樣呢？10本書呢？ 學(xué)生通過“探究證明→得出結(jié)論”的學(xué)習(xí)過程來解決問題（一）。 （1）探究證明。 方法一：用數(shù)的分解法證明。 把7分解成3個(gè)數(shù)的和。把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，共有如下8種情況： 由圖可知，每種情況分得的3個(gè)數(shù)中，至少有1個(gè)數(shù)不小于3，也就是每種分法中最多那個(gè)數(shù)最小是3，即總有1個(gè)抽屜至少放進(jìn)3本書。 方法二：用假設(shè)法證明。 把7本書平均分成3份，7÷3=2（本）......1（本），若每個(gè)抽屜放2本，則還剩1本。如果把剩下的這1本書放進(jìn)任意1個(gè)抽屜中，那么這個(gè)抽屜里就有3本書。 （2）得出結(jié)論。 http://w ww.x kb1. com

13、 通過以上兩種方法都可以發(fā)現(xiàn)：7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有1個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。 學(xué)生通過“假設(shè)分析法→歸納總結(jié)”的學(xué)習(xí)過程來解決問題（二）。 （1）用假設(shè)法分析。 ?8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分別放進(jìn)其中2個(gè)抽屜中，使其中2個(gè)抽屜都變成3本，因此把8本書放進(jìn)3個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有1個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。 ?10÷3=3（本）......1（本），把10本書放進(jìn)3個(gè)抽屜中，不管怎么放，總有1個(gè)抽屜里至少放進(jìn)4本書。 （2）歸納總結(jié)： 綜合上面兩種情況，要把a(bǔ)本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，如果a÷3=b（本）......1（本）或a

14、÷3=b（本）......2（本），那么一定有1個(gè)抽屜里至少放進(jìn)（b+1）本書。 鴿巢原理（二）：古國把多與kn個(gè)的物體任意分別放進(jìn)n個(gè)空抽屜（k是正整數(shù)，n是非0的自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中至少放進(jìn)了（k+1)個(gè)物體。 三、鞏固新知，拓展應(yīng)用 1、完成教材第70頁的“做一做”。 學(xué)生獨(dú)立思考解答問題，集體交流、糾正。 2、完成教材第71頁練習(xí)十三的1-2題。 學(xué)生獨(dú)立思考解答問題，集體交流、糾正。 四、課堂總結(jié) 1、通過今天的學(xué)習(xí)你有什么收獲？ 2、回歸生活：你還能舉出一些能用“鴿巢問題”解釋的生活中的例子嗎？ 五、作業(yè) 個(gè)人調(diào)整意見

15、教學(xué)反思： 執(zhí)教： 第2課時(shí) 時(shí)間： 教學(xué)課題：“鴿巢問題”的具體應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容：教材第70頁例3，及“做一做”，及第71頁練習(xí)十三的3-4題。 三維目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：在了解簡單的“鴿巢原理”的基礎(chǔ)上，使學(xué)生學(xué)會(huì)用此原理解決簡單的實(shí)際問題。 2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 3、情感態(tài)度和價(jià)值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。 教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”

16、。 教學(xué)難點(diǎn)：找出“鴿巢問題”中的“鴿巢”是什么，“鴿巢”有幾個(gè)，在利用“鴿巢原理”進(jìn)行反向推理。 教具準(zhǔn)備：多媒體課件 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境、引入新課： 師：一天晚上，有一個(gè)小女孩正要從抽屜里拿襪子。抽屜里有黑白兩種顏色的襪子各10雙。突然停電了。小女孩至少摸出多少只襪子，才能保證拿出相同顏色的襪子？ 學(xué)生思考、發(fā)言。 師：學(xué)習(xí)了這節(jié)課我們就能解決類似的問題了。------出示課題 二、合作交流，探究新知 （一）出示例3：盒子里有同樣大小的紅球和藍(lán)球各4個(gè)，要想摸出的球一定有2個(gè)同色的，至少要摸出幾個(gè)球？ 1、學(xué)生提出猜想。

17、 2、用預(yù)先準(zhǔn)備的學(xué)具，小組合作交流。 3、小組反饋，師相機(jī)板書： 4、得出結(jié)論：把顏色看作抽屜。 有兩種顏色，只要摸出的球比他們的顏色至少多1，就能保證有兩個(gè)球同色。 （二）研究規(guī)律 師：如果盒子里有藍(lán)、紅、黃球各6個(gè)，從盒子里摸出兩個(gè)同色的球，至少要摸出幾個(gè)球？ 分小組討論后匯報(bào)。 再出示“做一做”第2題，匯報(bào)后得出：問題結(jié)論只與球的顏色種數(shù)也就是抽屜數(shù)有關(guān)。 小結(jié)：確定什么是抽屜什么是物體是解決抽屜問題的關(guān)鍵。 三、鞏固新知，拓展應(yīng)用 1、第70頁“做一做”第1題。 2、解決課前有趣的問題

18、3、有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，讓你閉上眼睛去摸， （1）你至少要摸出幾根才敢保證有兩根筷子是同色的？ （2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子？為什么？ 4、練習(xí)十三第3、4題。 四、全課總結(jié)，暢談收獲 1、通過今天的學(xué)習(xí)你有什么收獲？新| 課 | 標(biāo)|第 |一| 網(wǎng) 2、回歸生活：你還能舉出一些能用抽屜原理解釋的生活中的例子嗎？ 五、作業(yè) 個(gè)人調(diào)整意見 教學(xué)反思： 執(zhí)教： 第3課時(shí)

19、時(shí)間： 教學(xué)課題：“鴿巢原理”練習(xí)課 教學(xué)內(nèi)容：教材71頁練習(xí)十三的5、6題，及相關(guān)的練習(xí)題。 三維目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：進(jìn)一步熟知“鴿巢原理”的含義，會(huì)用“鴿巢原理”熟練解決簡單的實(shí)際問題。 2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 3、情感、態(tài)度和價(jià)值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用“鴿巢原理”解決實(shí)際問題。引導(dǎo)學(xué)會(huì)把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”。 教學(xué)難點(diǎn)：理解“鴿巢原理”，找出”鴿巢問題“解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。 教具準(zhǔn)備：

20、多媒體課件。 教學(xué)過程： 一、談話導(dǎo)入 ------出示課題新| 課 | 標(biāo)|第 |一| 網(wǎng) 二、指導(dǎo)練習(xí) （一）基礎(chǔ)練習(xí)題 1、填一填： （1）魚岳三小六年級(jí)有30名學(xué)生是二月份（按28天計(jì)算）出生的，六年級(jí)至少有（ ）名學(xué)生的生日是在二月份的同一天。 （2）有3個(gè)同學(xué)一起練習(xí)投籃，如果他們一共投進(jìn)16個(gè)球，那么一定有1個(gè)同學(xué)至少投進(jìn)了（ ）個(gè)球。 （3）把6只雞放進(jìn)5個(gè)雞籠，至少有（ ）只雞要放進(jìn)同1個(gè)雞籠里。 （4）某班有個(gè)小書架，40個(gè)同學(xué)可以任意借閱，小書架上至少要有（ ）本書，才可以保證至少有1個(gè)同學(xué)能借到2本或2本以上的書。

21、學(xué)生獨(dú)立思考解答，集體交流糾正。 2、解決問題。 （1）（易錯(cuò)題）六（1）班有50名同學(xué)，至少有多少名同學(xué)是同一個(gè)月出生的？ （2）書籍里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次一定能拿出2本科技書。一次至少要拿出多少本書？ （3）把16支鉛筆最多放入幾個(gè)鉛筆盒里，可以保證至少有1個(gè)鉛筆盒里的鉛筆不少于6支？ （二）拓展應(yīng)用 1、把27個(gè)球最多放在幾個(gè)盒子里，可以保證至少有1個(gè)盒子里有7個(gè)球？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：盒子數(shù)看作抽屜數(shù)，如果要使其中1個(gè)抽屜里至少有7個(gè)球，那么球的個(gè)數(shù)至少要比抽屜數(shù)的（7-1）倍多1個(gè)，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此最多放進(jìn)4個(gè)盒子

22、里，可以保證至少有1個(gè)盒子里有7個(gè)球。 教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解答： 2、一個(gè)袋子里裝有紅、黃、藍(lán)襪子各5只，一次至少取出多少只可以保證每種顏色至少有1只？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：假設(shè)先取5只，全是紅的，不符合題意，要繼續(xù)去；假設(shè)再取5只，5只有全是黃的，這時(shí)再取一只一定是藍(lán)色的，這樣取5×2+1=11（只）可以保證每種顏色至少有1只。 教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解答： 新| 課 |標(biāo)|第 |一| 網(wǎng) 3、六（2）班的同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)考試，滿分為100分，全班最低分是75。已知每人得分都是整數(shù)，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同學(xué)？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：因?yàn)樽罡叻质?00分，最低分是75分，所以學(xué)生可能得到的不同分?jǐn)?shù)有100-745+1=26（種）。 教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解答： 三、鞏固練習(xí)： 完成教材第71頁練習(xí)十三的5、6題。（學(xué)生獨(dú)立思考解答問題，集體交流、糾正。） 四、課堂總結(jié) 說說這節(jié)課你有什么收獲？還有什么疑問，我們一起解決。 五、作業(yè) 個(gè)人調(diào)整意見 教學(xué)反思： 新課 標(biāo)第 一 網(wǎng)