4、－1，∴S2 008＝－2 008.
答案 C
7．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則( )
A．a(chǎn)b≤B．a(chǎn)b≥
C．a(chǎn)2＋b2≤3 D．a(chǎn)2＋b2≥2
解析 ∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.
答案 D
8．已知等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項的和S3的取值范圍是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 ∵等比數(shù)列{an}中，a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝
a2＝1＋q＋.當(dāng)公比q>0時，S3
5、＝1＋q＋≥1＋2 ＝3，當(dāng)公比q<0時，S3＝1－≤1－2 ＝－1，
∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案 D
9．(2011·廣東廣州模擬)p＝＋，q＝· (m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小關(guān)系為( )
A．p≥qB．p≤q
C．p>qD．不確定
解析 q＝ ≥＝＋＝p，故選B.
答案 B
10．設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，則函數(shù)f(n)＝的最大值為( )
A.B.
C.D.
解析 由Sn＝得f(n)＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝8時取等號，即f(n)max＝f(8)＝.
答案 D
11．(2012·廣東)已知變量x，y滿足
6、約束條件，則z＝3x＋y的最大值為( )
A．12 B．11
C．3 D．－1
解析 先畫出可行域如圖所示，再將z＝3x＋y變形為截距式方程y＝－3x＋z，把l0：y＝－3x平移到經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)時，截距z有最大值，∴zmax＝3×3＋2＝11.
答案 B
12．(2012·浙江)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是( )
A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項
B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0
C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn>0
D．若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列
7、
解析 由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當(dāng)d<0時，數(shù)列{Sn}有最大項，即選項A正確；同理選項B也是正確的；而若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，那么d>0，但對任意的n∈N*，Sn>0不成立，即選項C錯誤；反之，選項D是正確的．
答案 C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上．
13．在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和，則數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列，且公差為100d.類比上述結(jié)論，在公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項之積，則有__
8、__________________________．
答案 ，，也成等比數(shù)列，且公比為q100
14．(2012·福建)數(shù)列{an}的通項公式an＝ncos＋1，前n項和為Sn，則S2 012＝________.
解析 ∵an＝ncos＋1，∴當(dāng)n為奇數(shù)時an＝1，當(dāng)n為偶數(shù)2,6,10,14，…時，an＝－n＋1；當(dāng)n為偶數(shù)4,8,12,16，…時，an＝n＋1，∴數(shù)列{an}的前4項和為：1＋(－1)＋1＋5＝6；第5至第8項和為：1＋(－5)＋1＋9＝6；…由此可知an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝1＋(－n－1＋1)＋1＋n＋3＋1＝6(n＋3是4的倍數(shù))，即數(shù)列{an}的相
9、鄰四項之和均為6，故S2 012＝S4×503＝503×6＝3 018.
答案 3 018
15．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0，
(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，通過類比，則有等式__________．
(2)通過歸納，試寫出等差數(shù)列{an}的前n＋1項a1，a2，…，an，an＋1之間的關(guān)系為____________________．
解析 因等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的區(qū)別是前者是加法運(yùn)算，后者是乘法運(yùn)算，所以類比規(guī)律是由第一級運(yùn)算轉(zhuǎn)化到高一級運(yùn)算，從而解出第(1)問；通過觀察發(fā)現(xiàn)，
10、已知等式的系數(shù)與二項式系數(shù)相同，解出第(2)問．
答案 (1)a1aa3＝1，a1aaa＝1，a1aaaa5＝1
(2)Ca1－Ca2＋Ca3－……＋(－1)nCan＋1＝0
16．(2012·新課標(biāo))數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為________．
解析 當(dāng)n＝2k－1，k∈N*時，a2k－a2k－1＝2(2k－1)－1；當(dāng)n＝2k，k∈N*時，a2k＋1＋a2k＝2(2k)－1；于是a2k＋1＋a2k－1＝2；a2k＋a2k－2＝8k－8；前一個式子中k＝1,3,5，…，29，后一個式子中k＝2,4,6，…，30，得a3＋a1＝2，a5
11、＋a3＝2，…，a29＋a27＝2；a4＋a2＝8×2－8，a8＋a6＝8×4－8，…，a60＋a58＝8×30－8，∴S60＝15×2＋8(2＋4＋…＋30)－8×15＝1 830.
答案 1 830
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)滿足ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)對定義域中任意x都成立．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝2，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
解 (1)由ax·f(x
12、)＝b＋f(x)(a·b≠0)，得f(x)(ax－1)＝b，若ax－1＝0，則b＝0，不合題意，故ax－1≠0，
∴f(x)＝.
由f(1)＝2＝，得2a－2＝b，①
由f(x＋2)＝－f(2－x)對定義域中任意x都成立，得＝－，由此解得a＝，②
把②代入①，可得b＝－1，
∴f(x)＝＝(x≠2)．
(2)證明：∵f(an)＝，Sn＝2，
∴Sn＝(an＋1)2，a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1；
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(an－1＋1)2，
∴an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵an>0，
∴an
13、－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
18．(本小題滿分12分)
(2012·廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列．
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.
解 (1)當(dāng)n＝1時，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①
當(dāng)n＝2時，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②
又a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，有a1＋a3＝2(a2＋5)，③
由①②③解得a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
14、當(dāng)n≥2時，有2Sn－1＝an－2n＋1，
兩式相減是an＋1－3an＝2n，
則－·＝1，即＋2＝，又＋2＝3，
知是以首項為3，公比為的等比數(shù)列，
∴＋2＝3n－1，
即an＝3n－2n，n＝1時也合適此式，{an}的通項公式是an＝3n－2n.
(3)由(2)得＝＝＝
<，
∴<1＋＋＋…＋＝1＋<.
19．(本小題滿分12分)
(2012·安徽)數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；
(2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列．
解 (1)先證充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x
15、＋xn＋c≤xn＋c0即xn<1－.
由②式和xn≥0還可得，對任意n≥1都有
－xn＋1≤(1－)(－xn)．③
反復(fù)運(yùn)用③式，得
－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1.
xn<1－和－xn<(1－
16、)n－1兩式相加，知2－1<(1－)n－1對任意n≥1成立．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(1－)x的性質(zhì)，得2－1≤0，c≤，
故00.
即證xn<對任意n≥1成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0
17、>xn，即{xn}是遞增數(shù)列．
由(i)(ii)知，使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是.
20．(本小題滿分12分)
某商店投入81萬元經(jīng)銷某種北京奧運(yùn)會特許紀(jì)念品，經(jīng)銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中．市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n天的利潤an＝(單位：萬元，n∈N*)．記第n天的利潤率bn＝，例如b3＝.
(1)求b1，b2的值；
(2)求第n天的利潤率bn；
(3)該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率．
解 (1)當(dāng)n＝1時，b1＝；當(dāng)n＝2時，b2＝.
(2)當(dāng)1≤n≤20時，a1＝a2＝a
18、3＝…＝an－1＝an＝1.
∴bn＝＝＝.
當(dāng)21≤n≤60時，
bn＝
＝＝
＝，
∴第n天的利潤率
bn＝
(3)當(dāng)1≤n≤20時，bn＝是遞減數(shù)列，此時bn的最大值為b1＝；
當(dāng)21≤n≤60時，bn＝＝≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝40時，“＝”成立)．
又∵>，∴當(dāng)n＝40時，(bn)max＝.
∴該商店經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤率最大，且該天的利潤率為.
21．(本小題滿分12分)
(2012·山東)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,9
19、2m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
解 (1)因為{an}是一個等差數(shù)列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則5d＝a9－a4＝73－28＝45，
故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)對m∈N*，若9m
20、＋…＋9m－1)
＝－
＝.
22．(本小題滿分14分)
(2012·江蘇)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an＋1＝，n∈N*.
(1)設(shè)bn＋1＝1＋，n∈N*，求證：數(shù)列{2}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)bn＋1＝·，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．
解 (1)由題設(shè)知an＋1＝＝
＝，
所以＝，從而2－2＝1(n∈N*)，
所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．
(2)因為an>0，bn>0，所以≤a＋b<(an＋bn)2，從而10知q>0.下證q＝1.
若q>1，則a1＝logq時，an＋1＝a1qn>，與(*)矛盾；
若0a2>1，故當(dāng)n>logq時，an＋1＝a1qn<1，與(*)矛盾．
綜上，q＝1，故an＝a1(n∈N*)，所以11，于是b1
高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專題專練 專題五 數(shù)列不等式推理與證明測試題 理
