特征值和特征向量ppt課件

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第五章特征值和特征向量 矩陣的對(duì)角化 矩陣的特征值矩陣的特征向量矩陣可對(duì)角化的條件 預(yù)備知識(shí) 向量的內(nèi)積 在空間解析幾何中 向量的內(nèi)積 即數(shù)量積或點(diǎn)積 描述了內(nèi)積與向量的長(zhǎng)度及夾角間的關(guān)系 內(nèi)積定義 夾角 向量的長(zhǎng)度 內(nèi)積的坐標(biāo)表示式 定義1設(shè)有維向量 令 稱為向量與的內(nèi)積 內(nèi)積性質(zhì) 其中為維向量 為實(shí)數(shù) 1 2 3 4 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立 定義2令 稱為維向量的長(zhǎng)度 或范數(shù) 向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì) 1 非負(fù)性 2 齊次性 3 三角不等式 當(dāng)時(shí) 稱為單位向量 不等式 或 由此得 任一非零向量除以它的長(zhǎng)度后就成了單位向量 這一過(guò)程稱為將向量單位化 定義3當(dāng)時(shí) 定義4當(dāng)時(shí) 稱為維向量與的夾角 稱向量與正交 或垂直 定義5若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交 則稱此向量組為正交向量組 定理2若維向量是一組 若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量 則稱此向量組為正交規(guī)范向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 兩兩正交的非零向量組 則 線性無(wú)關(guān) 求非零向量 使成為正交向量組 例1已知 解設(shè) 則 即 由 得 從而有基礎(chǔ)解系 取 即為所求 與之等價(jià)的正交向量組的方法 Schmidt正交化方法 Schmidt正交化方法是將一組線性無(wú)關(guān)的向量 作如下的線性交換 化為一組 可以證明 兩兩正交 且對(duì)任何 例2將 正交規(guī)范化 解先將進(jìn)行正交化 取 再將它們單位化 取 則即為所求 定理3為正交矩陣的充分必要條件是 定義6如果階方陣滿足 正交矩陣 即 那么稱為正交矩陣 的行 列 向量組為正交規(guī)范向量組 定理4設(shè)A B都是n階正交方陣 則 1 或 2 也是正交矩陣 正交矩陣舉例 1 n階單位矩陣En 2 設(shè)為正交變換 則有 定義7若P為正交矩陣 則線性變換 這說(shuō)明 正交變換不改變向量的長(zhǎng)度 稱為正交變換 二特征值和特征向量 概念 定義1設(shè)A是n階方陣 如果數(shù) 和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax x 1 成立 則稱 是方陣A的特征值 非零列向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量 1 式也可寫為 這是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組 即 它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式 方程組 2 的系數(shù)矩陣A E稱為A的特征矩陣 顯然 A的特征值就是A的特征方程的解 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n階方陣A有n個(gè)特征值 重根按重?cái)?shù)計(jì)算 A E 是 的n次多項(xiàng)式 記作f 稱為A的特征多項(xiàng)式 式 3 稱為A的特征方程 例1已知是 的一個(gè)特征向量 試確定參數(shù) 解由特征值和特征向量的定義可知 及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值 即 于是 所以 即所求解為 特征值和特征向量的求法 1 求出階方陣的特征多項(xiàng)式 求階方陣的特征值與特征向量的步驟 2 求出特征方程的全部根 3 把每個(gè)特征值代入線性方程組 2 即是的特征值 求出基礎(chǔ)解系 就是對(duì)應(yīng)于的特征向量 基礎(chǔ)解系的線性組合 零向量除外 就是 對(duì)應(yīng)于的全部特征向量 例2求矩陣的特征值和特征向量 解的特征多項(xiàng)式為 所以的特征值為 當(dāng)時(shí) 對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 于是 的對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 容易求得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 當(dāng)時(shí) 由 為常數(shù) 解得基礎(chǔ)解系 于是 的對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 特征值和特征向量的性質(zhì) 定理1設(shè)是階方陣 定理2設(shè)是方陣的特征值 則 1 是的特征值 的特征值 則與有相同的特征值 定理3設(shè)階方陣的個(gè)特征值為 1 其中是的主對(duì) 角元之和 稱為矩陣的跡 記作 2 推論階方陣可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零 則 定理4設(shè)是方陣的個(gè)特征值 例3三階方陣的三個(gè)特征值分別為 求 依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量 如果各不相等 則 線性無(wú)關(guān) 解可逆 所以 其中 于是 例4是的特征根 可逆時(shí) 是的特征根 應(yīng)用 發(fā)展與環(huán)保問(wèn)題 為了定量分析工業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染的關(guān)系 某地區(qū)提出如下增長(zhǎng)模型 和為第個(gè)周期后的污染損耗和工業(yè)產(chǎn)值 即 或 由此模型及當(dāng)前的水平 可以預(yù)測(cè)若干 發(fā)展周期后的水平 下面利用矩陣特征值和特征向量的有關(guān)性質(zhì) 的特征多項(xiàng)式為 所以 的特征值為 來(lái)計(jì)算的冪 為此 先計(jì)算的特征值 對(duì)于特征值 解齊次線性方程組 的一個(gè)特征向量 對(duì)于特征值 解齊次線性方程組 的一個(gè)特征向量 可得的屬于 可得的屬于 如果當(dāng)前的水平恰好等于 則時(shí) 即 它表明 經(jīng)過(guò)個(gè)發(fā)展周期后 工業(yè)產(chǎn)值已達(dá) 到一個(gè)相當(dāng)高的水平 但其中一半被 污染損耗所抵消 造成資源的嚴(yán)重浪費(fèi) 如果當(dāng)前的水平 則不能直接 應(yīng)用上述方法分析 于是 此時(shí)由于 特別地 當(dāng)時(shí) 污染損耗為 由上面的分析可以看出 工業(yè)產(chǎn)值為 損耗已超過(guò)了產(chǎn)值 經(jīng)濟(jì)將出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng) 盡管的特征向量沒(méi)有實(shí)際意義 的線性組合 從而在分析過(guò)程中 仍具有重要作用 三相似矩陣 概念與性質(zhì) 定義1設(shè)都是階方陣 若有可逆矩陣 則稱是的相似矩陣 或說(shuō)矩陣與相似 對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行相似變換 可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣 使 設(shè)為階方陣 則相似矩陣有下列 1 反身性 2 對(duì)稱性 3 傳遞性 定理1若與相似 則 1 與有相同的特征多項(xiàng)式和特征值 2 3 4 與也相似 其中為正整數(shù) 基本性質(zhì) 矩陣可對(duì)角化的條件 把方陣對(duì)角化方法 即求相似變換矩陣 定理2階方陣相似于階對(duì)角矩陣的 推論如果階方陣有個(gè)互不相等特征值 使為對(duì)角陣 充要條件是 有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 則與對(duì)角矩陣相似 例1已知矩陣 1 求與 2 求一個(gè)可逆矩陣 使 3 求 解 1 因與相似 故 即 將代入有 2 的特征值為 1 2 2 將代入有 解齊次線性方程組 可分別求得的對(duì)應(yīng)特征向量 于是所求可逆矩陣 使 3 由于 于是 所以 四實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì) 定理1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) 定理3設(shè) 是n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值 則矩陣A E的秩為n r 從而對(duì)應(yīng)特征值 恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 定理2實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似理論 定理4任意實(shí)對(duì)稱矩陣都與對(duì)角矩陣相似 定理5設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣 則存在正交矩陣 使 其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法 階實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的具體步驟 1 求出特征方程 2 對(duì)每一特征值 解齊次線性方程組 求得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系 所有不同的根 其中為的重特征值 3 利用Schmidt正交化方法 4 記 則為正交矩陣 使 把正交化 得到正交向量組 再單位化 得到正交單位向量組 并且排列順序與P中正交規(guī)范向量組的排列順序相對(duì)應(yīng) 其中 矩陣的主對(duì)角線元素的重?cái)?shù)為 例1設(shè) 求一個(gè)正交矩陣 使為對(duì)角矩陣 解的特征方程為 當(dāng)時(shí) 解方程組得 基礎(chǔ)解系 單位化后得 當(dāng)時(shí) 解方程組 故的特征值為 得基礎(chǔ)解系 這兩個(gè)向量已是正交 故只須將其單位化 得 于是求得正交矩陣 使 此時(shí)須先將正交化 值得注意的是 對(duì)于的二重特征值 上面求得的碰巧是正交的 故不必正交化 只要單位化即可 但如果求得的基礎(chǔ)解系為 取 再單位化 得 于是又得正交矩陣 使 這也說(shuō)明 定理5中的正交矩陣是不唯一的