南京師大附中2019屆高三數(shù)學(xué)最后一卷（帶答案）

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2019屆高三模擬考試試卷數(shù) 學(xué)(滿分 160 分，考試時間 120 分鐘)2019．5一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分．1. 已知集合 A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|0≤x≤2}，則A∩B＝________．2. 已知復(fù)數(shù) z＝(1＋2i)(a＋i)，其中 i 是虛數(shù)單位．若 z 的實部與虛部相等，則實數(shù) a 的值為________．3. 某班有學(xué)生 52 人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為 4 的樣本．已知 5 號、31 號、44 號學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個學(xué)生的編號是________．4. 3 張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎．甲、乙兩人同時各抽取 1 張獎券，兩人都未抽得特等獎的概率是________ ．5. 函數(shù) f(x)＝ x＋log2(1－x)的定義域為________．6. 如圖是一個算法流程圖，則輸出 k 的值為________．(第 6 題)(第 7 題)7. 若正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱長均為 2，點 P 為側(cè)棱 AA1上任意一點，則四棱錐 PBCC1B1 的體積為________．8. 在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 在曲線 C：y＝x3－10x ＋3 上，且在第四象限內(nèi)．已知曲線 C 在點 P 處的切線方程為 y＝2x＋b ，則實數(shù) b 的值為________．9. 已知函數(shù) f(x)＝3sin(2x＋φ)－cos(2x ＋φ)(00 ，b0)有相同的焦點，其左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為 P，且 F1P＝F1F2，則雙曲線的離心率為________．12. 在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 的坐標為(0，5) ，點 B 是直線l：y＝12x 上位于第一象限內(nèi)的一點．已知以 AB 為直徑的圓被直線l 所截得的弦長為 25，則點 B 的坐標為________．13. 已知數(shù)列{an}的前 n 項和為Sn，a1 ＝1 ，a2＝2， an＋2＝an ＋2，n＝ 2k－1 ，k∈N*，2an ，n＝2k，k∈N*，則滿足 2 019≤Sm≤3 000 的正整數(shù) m 的所有取值為________．14. 已知等邊三角形 ABC 的邊長為 2，AM→＝2MB→，點 N，T分別為線段 BC，CA 上的動點，則AB→?NT→＋BC→?TM→＋CA→?MN→ 取值的集合為________．二、 解答題：本大題共 6 小題，共 90 分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15. (本小題滿分 14 分)如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，以 x 軸正半軸為始邊的銳角 α的終邊與單位圓 O 交于點 A，且點 A 的縱坐標是 1010.(1) 求 cos(α－3π4) 的值；(2) 若以 x 軸正半軸為始邊的鈍角 β的終邊與單位圓 O 交于點 B，且點 B 的橫坐標為－55，求 α＋β 的值．16. (本小題滿分 14 分)如圖，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M 是線段 EF 的中點．求證：(1) AM∥平面 BDE；(2) AM⊥平面 BDF.17. (本小題滿分 14 分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以 O 為圓心的半圓及直徑 AB 圍成．在此區(qū)域內(nèi)原有一個以 OA 為直徑、C 為圓心的半圓形展示區(qū)，該廣告商欲在此基礎(chǔ)上，將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū) COPQ，其中 P，Q 分別在半圓 O 與半圓 C 的圓弧上，且 PQ 與半圓 C 相切于點 Q.已知 AB長為 40 米，設(shè)∠BOP 為 2θ.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1) 記四邊形 COPQ 的周長為 f(θ)，求 f(θ)的表達式；(2) 要使改建成的展示區(qū) COPQ 的面積最大，求 sin θ的值．18. (本小題滿分 16 分)在平面直角坐標系 xOy 中，已知橢圓 C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2 ，且點 F1，F(xiàn)2 與橢圓 C 的上頂點構(gòu)成邊長為 2 的等邊三角形．(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 已知直線 l 與橢圓 C 相切于點 P，且分別與直線 x＝－4 和直線x＝－1 相交于點 M，N.試判斷 NF1MF1 是否為定值，并說明理由．19. (本小題滿分 16 分)已知數(shù)列{an}滿足 a1?a2?…?an＝2n（n＋ 1）2(n∈N*) ，數(shù)列{bn}的前 n 項和 Sn＝n（b1＋bn ）2(n∈N*)，且 b1＝1，b2＝2.(1) 求數(shù)列{an}的通項公式；(2) 求數(shù)列{bn} 的通項公式；(3) 設(shè) cn＝1an－1bn?bn＋1，記 Tn 是數(shù)列{cn}的前 n 項和，求正整數(shù) m，使得對于任意的 n∈N*均有 Tm≥Tn.20. (本小題滿分 16 分)設(shè) a 為實數(shù)，已知函數(shù) f(x)＝axex，g(x)＝x ＋ln x.(1) 當 a0恒成立，求 b 的取值范圍；(3) 若函數(shù) h(x)＝f(x)＋g(x)(x0 ，x∈R) 有兩個相異的零點，求 a的取值范圍．?2019 屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題(滿分 40 分，考試時間 30 分鐘)21. 【選做題】 在 A，B，C 三小題中只能選做兩題，每小題 10 分，共 20 分．若多做，則按作答的前兩題計分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．A. (選修 42：矩陣與變換)已知矩陣 A＝1 10－1，二階矩陣 B 滿足 AB＝1001.(1) 求矩陣 B；(2) 求矩陣 B 的特征值．B. (選修 44：坐標系與參數(shù)方程)設(shè) a 為實數(shù)，在極坐標系中，已知圓 ρ＝ 2asin θ(a0)與直線ρcos(θ＋π4)＝1 相切，求 a 的值．C. (選修 45：不等式選講)求函數(shù) y＝1－x＋3x＋2 的最大值．【必做題 】 第 22， 23 題，每小題 10 分，共 20 分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．22. 如圖，在四棱錐 PABCD 中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90° ，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，點 M為 PC 的中點．(1) 求異面直線 AP 與 BM 所成角的余弦值；(2) 點 N 在線段 AD 上，且 AN＝λ，若直線 MN 與平面 PBC 所成角的正弦值為 45，求 λ的值．23. 在平面直角坐標系 xOy 中，有一個微型智能機器人( 大小不計)只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進，且每一步只能行進 1 個單位長度，例如：該機器人在點(1，0)處時，下一步可行進到(2，0) 、(0，0)、(1，1)、(1 ，－1)這四個點中的任一位置．記該機器人從坐標原點 O 出發(fā)、行進 n 步后落在 y 軸上的不同走法的種數(shù)為 L(n)．(1) 求 L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求 L(n)的表達式．?2019 屆高三模擬考試試卷 (南師附中)數(shù)學(xué)參考答案及評分標準1. {0，1} 2. －3 3. 18 4. 13 5. [0，1) 6. 3 7. 433 8. －13 9. －2 10. 18 11. 2＋22 12. (6，3) 13. 20，21 14. {－6}15. 解：因為銳角 α的終邊與單位圓 O 交于點 A，且點 A 的縱坐標是 1010，所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知 sin α＝1010.從而 cos α＝1－sin2α ＝31010.(3 分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×( －22)＋1010×22 ＝－55.(6 分)(2) 因為鈍角 β的終邊與單位圓 O 交于點 B，且點 B 的橫坐標是－55，所以 cos β＝－55，從而 sin β＝1 －cos2β＝255.(8 分)于是 sin(α＋β) ＝ sin αcos β＋cos αsin β＝1010×( －55)＋31010×255 ＝22.(10 分)因為 α為銳角，β 為鈍角，所以 α＋β∈(π2，3π2) ，(12 分)從而 α＋β＝3π4.(14 分)16. 證明：(1) 設(shè) AC∩BD＝O，連結(jié) OE，∵四邊形 ACEF 是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC.∵ O 是正方形 ABCD 對角線的交點，∴ O 是 AC 的中點．又點 M 是 EF 的中點，∴ EM∥AO，EM ＝AO.∴四邊形 AOEM 是平行四邊形，∴ AM∥OE.(4分)∵ OE 平面 BDE，AM 平面 BDE，∴ AM∥平面 BDE.(7 分)(2) ∵ 正方形 ABCD，∴ BD⊥AC.∵平面 ABCD∩平面 ACEF＝AC ，平面 ABCD⊥ 平面 ACEF，BD 平面 ABCD，∴ BD⊥平面 ACEF.(9 分)∵ AM 平面 ACEF，∴ BD⊥AM.(10 分)∵正方形 ABCD，AD＝2 ，∴ OA＝1.由 (1)可知點 M，O 分別是 EF，AC 的中點，且四邊形 ACEF 是矩形．∵ AF＝1 ，∴四邊形 AOMF 是正方形，(11 分)∴ AM⊥OF.(12 分)又 AM⊥BD，且 OF∩BD＝O ，OF 平面 BDF，BD 平面 BDF，∴ AM⊥平面 BDF.(14 分)17. 解：(1) 連結(jié) PC.由條件得 θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20 ，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得PC2＝OC2＋OP2－ 2OC?OPcos(π－2θ) ＝100(5 ＋4cos 2θ)．(2分)因為 PQ 與半圓 C 相切于點 Q，所以 CQ⊥PQ，所以 PQ2＝PC2－CQ2＝400(1 ＋cos 2θ)，所以 PQ＝202cos θ.(4分)所以四邊形 COPQ 的周長為 f(θ)＝CO＋ OP＋PQ ＋QC＝40＋202cos θ，即 f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7 分)(沒寫定義域，扣 2 分)(2) 設(shè)四邊形 COPQ 的面積為 S(θ)，則S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10 分)所以 S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0 ，π2)．(12 分)令 S′(t)＝0，得 sin θ＝34 －28.列表：sin θ (0，34－28)34－28(34－28，1)S′(θ) ＋ 0 －S(θ) 增 最大值 減答：要使改建成的展示區(qū) COPQ 的面積最大，sin θ的值為34－28.(14 分)18. 解：(1) 依題意， 2c＝a＝2 ，所以 c＝1，b＝3，所以橢圓 C 的標準方程為 x24＋y23＝1.(4 分)(2) ① 因為直線 l 分別與直線 x＝－4 和直線 x＝－1 相交，所以直線 l 一定存在斜率．(6 分)②設(shè)直線 l：y＝kx＋m ，由 y＝kx ＋m，3x2＋ 4y2＝12 ，得(4k2 ＋3)x2 ＋8kmx ＋4(m2－3)＝0.由 Δ＝(8km)2－4×(4k2＋3)×4(m2－3)＝0 ，得 4k2＋3－m2＝0 ①.(8 分)把 x＝－4 代入 y＝kx＋m，得 M(－4，－4k＋m)，把 x＝－ 1 代入 y＝kx＋m，得 N(－1，－k＋m) ，(10 分)所以 NF1＝| －k＋m|，MF1＝（－4＋1）2＋（－4k＋m）2＝9＋（－4k＋m）2 ②，(12 分)由①式，得 3＝m2 －4k2 ③，把③式代入②式，得 MF1＝4（k－m）2＝2|－k＋m|，∴NF1MF1＝|k－m|2|k－m| ＝12，即 NF1MF1 為定值 12.(16 分)19. 解：(1) ① a1＝21×22＝2；(2 分)②當 n≥2時，an＝ a1a2?…?an－1ana1a2?…?an －1＝2n（n ＋1 ）22 （n－1）n2＝2n.所以數(shù)列{an}的通項公式為 an＝2n(n∈N*)．(4 分)(2) 由 Sn＝n（ b1＋bn ）2，得 2Sn＝n(b1＋bn) ①，所以 2Sn－1＝(n－1)(b1＋bn－1)(n≥2) ②.由②－①，得 2bn＝b1＋nbn －(n － 1)bn－1，n≥2，即 b1＋(n－2)bn －(n－1)bn－1 ＝0(n≥2) ③，所以 b1＋(n－3)bn －(n－2)bn－1＝0(n≥3) ④.由④－③，得(n －2)bn－2(n－2)bn－1＋(n－2)bn－2＝0 ，n≥3 ，(6 分)因為 n≥3，所以 n－20，上式同除以 (n－2) ，得bn－ 2bn－1 ＋bn －2 ＝0，n≥3，即 bn＋1－bn＝bn－bn －1 ＝…＝b2－b1＝1 ，所以數(shù)列 {bn}是首項為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，故 bn＝n，n∈N*.(8 分)(3) 因為 cn＝1an －1bn?bn＋1＝12n－1n（n＋1）＝1n（n ＋1 ）[n（n＋1）2n－1]，(10 分)所以 c1＝0，c20 ，c30，c40，c5T5T6…所以對任意的 n∈N* ，T4≥Tn.綜上，m ＝4.(16 分 )(注：其他解法酌情給分)20. 解：(1) 當 a0；當 x－1 時，f′(x)0，所以 aex≥2x＋ b 對任意的 a≥1及任意的 x0 恒成立．由于 ex0，所以 aex≥ex，所以 ex－2x≥b 對任意的 x0 恒成立．(4 分)設(shè) φ(x)＝ex－2x，x0，則 φ′(x)＝ex－2，所以函數(shù) φ(x)在(0 ，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以 φ(x)min＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，所以 b≤2－2ln 2.(6 分)(3) 由 h(x)＝axex＋x＋ln x，得 h′(x)＝a(x ＋1)ex＋1＋1x＝（x ＋1 ）（axex＋1）x，其中 x0.①若 a≥0時，則 h′(x)0，所以函數(shù) h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù) h(x)至多有一個零零點，不合題意； (8 分)②若 a0.由第(2)小題知，當 x0 時，φ(x)＝ex－2x≥2 －2ln 20，所以ex2x，所以 xex2x2，所以當 x0 時，函數(shù) xex 的值域為(0，＋∞)．所以存在 x00，使得 ax0ex0＋1＝0 ，即 ax0ex0＝－1 ①，且當 x0，所以函數(shù) h(x)在(0，x0) 上單調(diào)遞增，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減．因為函數(shù)有兩個零點 x1，x2，所以 h(x)max＝h(x0)＝ax0ex0＋x0＋ln x0＝－1＋x0＋ln x00 ②.設(shè) φ(x)＝－1＋x＋ln x，x0，則 φ′(x)＝1＋1x0 ，所以函數(shù) φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．由于 φ(1)＝0 ，所以當 x1 時，φ(x)0，所以②式中的 x01.又由①式，得 x0ex0＝－1a.由第 (1)小題可知，當 ae ，即 a∈(－1e，0)．(11 分)當 a∈(－1e，0)時，(i) 由于 h(1e)＝ae1ee＋(1e －1)e ，設(shè) F(t)＝－et＋t＋ln t，te，由于 te 時，ln t2t，所以設(shè) F(t)1 時，－ 1a＝x0ex0x0，且 h(－1a)?h(x0)0，同理可得函數(shù) h(x)在(x0 ，＋∞) 上也恰有一個零點．綜上，a∈(－1e，0)．(16 分)?2019 屆高三模擬考試試卷 (南師附中)數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標準21. A. 解：(1) 由題意，由矩陣的逆矩陣公式得 B＝A －1 ＝1 10－1.(5 分)(2) 矩陣 B 的特征多項式 f(λ)＝(λ＋1)(λ－1) ，(7 分)令 f(λ)＝0 ，解得 λ＝1 或－1，(9 分)所以矩陣 B 的特征值為 1 或－1.(10 分)B. 解：將圓 ρ＝2asin θ化成普通方程為 x2＋y2＝2ay，整理得x2＋(y－a)2 ＝a2.(3 分)將直線 ρcos(θ＋ π4)＝1 化成普通方程為 x－y－2＝0.(6 分)因為相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即|a＋2|2＝a，(9 分)解得 a＝2 ＋2.(10 分)C. 解：因為(1－x＋3x＋2)2＝(3－ 3x?13＋3x＋2?1)2≤(3－3x＋3x＋2)(13＋1) ＝ 203，(3 分)所以 y＝1－x＋3x＋2≤2153.(5 分)當且僅當 3－3x13＝3x＋21，即 x＝712∈[－23，1]時等號成立．(8 分)所以 y 的最大值為 2153.(10 分)22. 解：(1) 因為 PA⊥ 平面 ABCD，且 AB，AD? 平面 ABCD，所以 PA⊥AB，PA⊥AD.因為∠BAD ＝90°，所以 PA，AB ，AD 兩兩互相垂直．分別以 AB，AD，AP 所在直線為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系，則由 AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4 ，可得 A(0，0 ，0)，B(2，0，0) ，C(2，2 ，0)，D(0 ，4，0)，P(0，0，4) ．因為點 M 為 PC 的中點，所以 M(1，1，2) ．所以 BM→＝(－1，1 ，2)，AP→＝ (0，0，4) ，(2 分)所以 cos〈AP→，BM→〉＝AP→?BM→|AP→||BM→| ＝ 0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4 分)所以異面直線 AP，BM 所成角的余弦值為 63.(5 分)(2) 因為 AN＝λ ，所以 N(0，λ ，0)(0≤λ≤4)，則MN→＝(－1，λ－1 ，－2)，BC→＝(0，2 ，0)，PB→＝(2，0，－4) ．設(shè)平面 PBC 的法向量為 m＝(x，y，z)，則m?BC→ ＝0，m?PD→＝0 ，即 2y＝0，2x－4z＝0.令 x＝2，解得 y＝0， z＝1 ，所以 m＝(2 ，0，1)是平面 PBC 的一個法向量．(7 分)因為直線 MN 與平面 PBC 所成角的正弦值為 45，所以|cos〈MN→ ，m〉|＝|MN→?m||MN→||m|＝|－2－2|5＋（λ－1）2?5＝45，解得λ＝1∈[0 ，4]，所以 λ的值為 1.(10 分)23. 解：(1) L(1)＝2 ，(1 分)L(2)＝6，(2 分)L(3)＝20.(3 分)(2) 設(shè) m 為沿 x 軸正方向走的步數(shù)(每一步長度為 1)，則反方向也需要走 m 步才能回到 y 軸上，所以 m＝0，1，2 ，…… ，[n2](其中[n2]為不超過 n2 的最大整數(shù))，總共走 n 步，首先任選 m 步沿 x 軸正方向走，再在剩下的 n－m 步中選 m 步沿 x 軸負方向走，最后剩下的每一步都有兩種選擇(向上或向下)，即 Cmn?Cmn－m?2n－2m，