高考數(shù)學一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其概率分布 12.6 離散型隨機變量的均值與方差課件 理.ppt

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第十二章概率 隨機變量及其概率分布 12 6離散型隨機變量的均值與方差 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學習 題型分類深度剖析 答題模板系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學習 1 離散型隨機變量的均值與方差一般地 若離散型隨機變量X的概率分布為 1 均值稱E X 為隨機變量X的均值或 它反映了離散型隨機變量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 數(shù)學 期望 平均水平 知識梳理 1 答案 2 方差 x1 2p1 x2 2p2 xn 2pn 平均偏離程度 標準差 2 均值與方差的性質(zhì) 1 E aX b 2 V aX b a b為常數(shù) 3 兩點分布與二項分布的均值 方差 1 若X服從兩點分布 則E X V X 2 若X B n p 則E X V X aE X b a2V X p p 1 p np np 1 p 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 隨機變量的均值是常數(shù) 樣本的平均值是隨機變量 它不確定 2 隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度 方差或標準差越小 則偏離變量的平均程度越小 3 若隨機變量X的取值中的某個值對應的概率增大時 期望值也增大 4 均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣 與概率無關(guān) 思考辨析 答案 1 教材改編 某射手射擊所得環(huán)數(shù) 的概率分布如下 已知 的均值E 8 9 則y的值為 0 4 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2014 陜西改編 設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1 x2 x10的均值和方差分別為1和4 若yi xi a a為非零常數(shù) i 1 2 10 則y1 y2 y10的均值和方差分別為 所以y1 y2 y10的均值為1 a 方差不變?nèi)詾? 1 a 4 解析答案 1 2 3 4 5 8 解析答案 1 2 3 4 5 解析設(shè)P 1 a P 2 b 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 拋擲兩枚骰子 當至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時 就說這次試驗成功 則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為 用X表示10次試驗中成功的次數(shù) 1 2 3 4 5 解析答案 返回 題型分類深度剖析 命題點1求離散型隨機變量的均值 方差 例1 2015 福建 某銀行規(guī)定 一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤 該銀行卡將被鎖定 小王到該銀行取錢時 發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼 但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一 小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試 若密碼正確 則結(jié)束嘗試 否則繼續(xù)嘗試 直至該銀行卡被鎖定 1 求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率 解設(shè) 當天小王的該銀行卡被鎖定 的事件為A 題型一離散型隨機變量的均值 方差 解析答案 2 設(shè)當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X 求X的概率分布和均值 解依題意得 X所有可能的取值是1 2 3 所以X的概率分布為 解析答案 命題點2已知離散型隨機變量的均值與方差 求參數(shù)值 例2設(shè)袋子中裝有a個紅球 b個黃球 c個藍球 且規(guī)定 取出一個紅球得1分 取出一個黃球得2分 取出一個藍球得3分 1 當a 3 b 2 c 1時 從該袋子中任取 有放回 且每球取到的機會均等 2個球 記隨機變量 為取出此2球所得分數(shù)之和 求 的概率分布 解析答案 解由題意得 2 3 4 5 6 所以 的概率分布為 解析答案 解由題意知 的概率分布為 解得a 3c b 2c 故a b c 3 2 1 命題點3與二項分布有關(guān)的均值與方差 解設(shè) 至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障 為事件C 解析答案 2 設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量 求 的概率分布及均值E 解析答案 思維升華 所以 隨機變量 的概率分布為 解析答案 思維升華 故隨機變量 的均值 思維升華 離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略 1 求離散型隨機變量的均值與方差 可依題設(shè)條件求出離散型隨機變量的概率分布 然后利用均值 方差公式直接求解 2 由已知均值或方差求參數(shù)值 可依據(jù)條件利用均值 方差公式得出含有參數(shù)的方程 解方程即可求出參數(shù)值 3 由已知條件 作出對兩種方案的判斷 可依據(jù)均值 方差的意義 對實際問題作出判斷 思維升華 1 2014 山東 乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲 乙兩部分 如圖 甲上有兩個不相交的區(qū)域A B 乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C D 某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球 規(guī)定 回球一次 落點在C上記3分 在D上記1分 其他情況記0分 對落點在A上的來球 隊員小明回球的落點在C上的概率為 在D上的概率為 對落點在B上的來球 小明回球的落點在C上的概率為 在D上的概率為 假設(shè)共有兩次來球且落在A B上各一次 小明的兩次回球互不影響 求 跟蹤訓練1 小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率 解析答案 解記Ai為事件 小明對落點在A上的來球回球的得分為i分 i 0 1 3 記Bj為事件 小明對落點在B上的來球回球的得分為j分 j 0 1 3 記D為事件 小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上 由題意 D A3B0 A1B0 A0B1 A0B3 解析答案 由事件的獨立性和互斥性 得P D P A3B0 A1B0 A0B1 A0B3 P A3B0 P A1B0 P A0B1 P A0B3 P A3 P B0 P A1 P B0 P A0 P B1 P A0 P B3 兩次回球結(jié)束后 小明得分之和 的概率分布與均值 解析答案 解由題意 得隨機變量 可能的取值為0 1 2 3 4 6 由事件的獨立性和互斥性 得 解析答案 可得隨機變量 的概率分布為 2 2014 遼寧 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄 繪制了日銷售量的頻率分布直方圖 如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率 并假設(shè)每天的銷售量相互獨立 求在未來連續(xù)3天里 有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率 解設(shè)A1表示事件 日銷售量不低于100個 A2表示事件 日銷售量低于50個 B表示事件 在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個 因此P A1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 P A2 0 003 50 0 15 P B 0 6 0 6 0 15 2 0 108 解析答案 用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù) 求隨機變量X的概率分布 均值E X 及方差V X 解X可能取的值為0 1 2 3 相應的概率為 可得隨機變量X的概率分布為 因為X B 3 0 6 所以均值E X 3 0 6 1 8 方差V X 3 0 6 1 0 6 0 72 解析答案 例4 2014 湖北 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站 過去50年的水文資料顯示 水庫年入流量X 年入流量 一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和 單位 億立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超過120的年份有35年 超過120的年份有5年 將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率 并假設(shè)各年的入流量相互獨立 題型二均值與方差在決策中的應用 1 求未來4年中 至多有1年的年入流量超過120的概率 由二項分布 在未來4年中 至多有1年的年入流量超過120的概率為 解析答案 2 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行 但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制 并有如下關(guān)系 若某臺發(fā)電機運行 則該臺年利潤為5000萬元 若某臺發(fā)電機未運行 則該臺年虧損800萬元 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應安裝發(fā)電機多少臺 解析答案 思維升華 解記水電站年總利潤為Y 單位 萬元 安裝1臺發(fā)電機的情形 由于水庫年入流量總大于40 故一臺發(fā)電機運行的概率為1 對應的年利潤Y 5000 E Y 5000 1 5000 安裝2臺發(fā)電機的情形 依題意 當40 X 80時 一臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 800 4200 因此P Y 4200 P 40 X 80 p1 0 2 當X 80時 兩臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 2 10000 因此P Y 10000 P X 80 p2 p3 0 8 解析答案 思維升華 由此得Y的概率分布如下 所以 E Y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安裝3臺發(fā)電機的情形 依題意 當40 X 80時 一臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 1600 3400 因此P Y 3400 P 40 X 80 p1 0 2 當80 X 120時 兩臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 2 800 9200 因此P Y 9200 P 80 X 120 p2 0 7 解析答案 思維升華 當X 120時 三臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 3 15000 因此P Y 15000 P X 120 p3 0 1 由此得Y的概率分布如下 所以 E Y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 綜上 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應安裝發(fā)電機2臺 思維升華 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平 方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度 它們從整體和全局上刻畫了隨機變量 是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù) 一般先比較均值 若均值相同 再用方差來決定 思維升華 某投資公司在2015年年初準備將1000萬元投資到 低碳 項目上 現(xiàn)有兩個項目供選擇 項目一 新能源汽車 據(jù)市場調(diào)研 投資到該項目上 到年底可能獲利30 也可能虧損15 且這兩種情況發(fā)生的概率分別為項目二 通信設(shè)備 據(jù)市場調(diào)研 投資到該項目上 到年底可能獲利50 可能損失30 也可能不賠不賺 且這三種情況發(fā)生的概率分別為針對以上兩個投資項目 請你為投資公司選擇一個合理的項目 并說明理由 跟蹤訓練2 解析答案 返回 解若按 項目一 投資 設(shè)獲利為X1萬元 則X1的概率分布為 若按 項目二 投資 設(shè)獲利為X2萬元 則X2的概率分布為 解析答案 E X1 E X2 V X1 V X2 這說明雖然項目一 項目二獲利相等 但項目一更穩(wěn)妥 綜上所述 建議該投資公司選擇項目一投資 返回 答題模板系列 典例 14分 甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球 已知甲袋中共有m個球 乙袋中共有2m個球 從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為 從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2 1 若m 10 求甲袋中紅球的個數(shù) 2 若將甲 乙兩袋中的球裝在一起后 從中摸出1個紅球的概率是 求P2的值 3 設(shè)P2 若從甲 乙兩袋中各自有放回地摸球 每次摸出1個球 并且從甲袋中摸1次 從乙袋中摸2次 設(shè) 表示摸出紅球的總次數(shù) 求 的概率分布和均值 答題模板系列 8 離散型隨機變量的均值與方差問題 解析答案 思維點撥 溫馨提醒 返回 答題模板 思維點撥 1 概率的應用 知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個為紅球的概率 求紅球 2 利用方程的思想 列方程求解 3 求概率分布和均值 關(guān)鍵是求 的所有可能值及每個值所對應的概率 解析答案 溫馨提醒 答題模板 規(guī)范解答解 1 設(shè)甲袋中紅球的個數(shù)為x 3 的所有可能值為0 1 2 3 解析答案 溫馨提醒 答題模板 所以 的概率分布為 12分 溫馨提醒 答題模板 溫馨提醒 答題模板 求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟第一步 確定隨機變量的所有可能值 第二步 求每一個可能值所對應的概率 第三步 列出離散型隨機變量的概率分布 第四步 求均值和方差 第五步 反思回顧 查看關(guān)鍵點 易錯點和答題規(guī)范 1 本題重點考查了概率 離散型隨機變量的概率分布 均值 2 本題解答中的典型錯誤是計算不準確以及解答不規(guī)范 如第 3 問中 不明確寫出 的所有可能值 不逐個求概率 這都屬于解答不規(guī)范 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 均值與方差的性質(zhì) 1 E aX b aE X b V aX b a2V X a b為常數(shù) 2 若X服從兩點分布 則E X p V X p 1 p 3 若X服從二項分布 即X B n p 則E X np V X np 1 p 2 求離散型隨機變量的均值與方差的基本方法 1 已知隨機變量的概率分布求它的均值 方差 按定義求解 2 已知隨機變量X的均值 方差 求X的線性函數(shù)Y aX b的均值 方差 可直接用X的均值 方差的性質(zhì)求解 3 如果所給隨機變量是服從常用的分布 如兩點分布 二項分布等 利用它們的均值 方差公式求解 方法與技巧 1 在沒有準確判斷概率分布模型之前不能隨便套用公式 2 對于應用問題 必須對實際問題進行具體分析 一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來 再進行分析 求出隨機變量的概率分布 然后按定義計算出隨機變量的均值 方差 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 若X B n p 且E X 6 V X 3 則P X 1 的值為 3 2 10 解析答案 2 隨機變量 的概率分布如下 其中a b c為等差數(shù)列 若E 則V 的值為 解析由概率分布得a b c 1 由a b c為等差數(shù)列得2b a c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 3 某班從4名男生 2名女生中選出3人參加志愿者服務 若選出的男生人數(shù)為 則 的方差V 解析依題意 隨機變量 服從超幾何分布 可能的取值為1 2 3 的概率分布為 0 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 4 一個袋子中裝有6個紅球和4個白球 假設(shè)每一個球被摸到的可能性是相等的 從袋子中摸出2個球 其中白球的個數(shù)為X 則X的均值是 解析根據(jù)題意知X 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 5 設(shè)隨機變量 B 5 0 5 又 5 則E 和V 的值分別是 解析因為隨機變量 B 5 0 5 所以n 5 p 0 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 解析P 2 5 P 3 P 4 P 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 7 簽盒中有編號為1 2 3 4 5 6的六支簽 從中任意取3支 設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個 則X的均值為 解析由題意可知 X可以取3 4 5 6 由均值的定義可求得E X 5 25 5 25 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 8 某超市為了響應環(huán)保要求 鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物 采取了如下措施 對不使用超市塑料購物袋的顧客 超市給予9 6折優(yōu)惠 對需要超市塑料購物袋的顧客 既要付購買費 也不享受折扣優(yōu)惠 假設(shè)該超市在某個時段內(nèi)購物的人數(shù)為36人 其中有12位顧客自己帶了購物袋 現(xiàn)從這36人中隨機抽取兩人 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率 解設(shè) 兩人都享受折扣優(yōu)惠 為事件A 兩人都不享受折扣優(yōu)惠 為事件B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 因為事件A B互斥 解析答案 2 設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為 求 的概率分布和均值 解根據(jù)題意 得 的可能取值為0 1 2 所以 的概率分布為 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 9 現(xiàn)有一游戲裝置如圖 小球從最上方入口處投入 每次遇到黑色障礙物等可能地向左 右兩邊落下 游戲規(guī)則為 若小球最終落入A槽 得10張獎票 若落入B槽 得5張獎票 若落入C槽 得重投一次的機會 但投球的總次數(shù)不超過3次 1 求投球一次 小球落入B槽的概率 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 2 設(shè)玩一次游戲能獲得的獎票數(shù)為隨機變量X 求X的概率分布及均值 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 X的所有可能取值為0 5 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 所以X的概率分布為 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10 老師為研究男女同學數(shù)學學習的差異情況 對某班50名同學 其中男同學30名 女同學20名 采取分層抽樣的方法 抽取一個樣本容量為10的樣本進行研究 某女同學甲被抽到的概率為 解析由題意知 在抽出的容量為10的樣本中 每個女同學被抽到的概率是一樣的 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 11 袋中裝有大小完全相同 標號分別為1 2 3 9的九個球 現(xiàn)從袋中隨機取出3個球 設(shè) 為這3個球的標號相鄰的組數(shù) 例如 若取出球的標號為3 4 5 則有兩組相鄰的標號3 4和4 5 此時 的值是2 則隨機變量 的均值E 為 解析依題意得 的所有可能取值是0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 12 馬老師從課本上抄錄一個隨機變量 的概率分布如下表 請小牛同學計算 的均值 盡管 處完全無法看清 且兩個 處字跡模糊 但能斷定這兩個 處的數(shù)值相同 據(jù)此 小牛給出了正確答案E 解析設(shè) 處的數(shù)值為x 則 處的數(shù)值為1 2x 則E 1 x 2 1 2x 3x x 2 4x 3x 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 13 PM2 5是指大氣中直徑小于或等于2 5微米的顆粒物 也稱為可入肺顆粒物 對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的影響很大 我國PM2 5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值 即PM2 5日均值在35微克 立方米以下空氣質(zhì)量為一級 在35微克 立方米 75微克 立方米之間空氣質(zhì)量為二級 在75微克 立方米以上空氣質(zhì)量為超標 某市環(huán)保局從360天的市區(qū)PM2 5監(jiān)測數(shù)據(jù)中 隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本 監(jiān)測值如莖葉圖所示 十位為莖 個位為葉 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 在這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù) 記 表示空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù) 求 的概率分布 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 解由題意知N 15 M 6 n 3 的可能取值為0 1 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 所以 的概率分布是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 以這15天的PM2 5日均值來估計這360天的空氣質(zhì)量情況 則其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達到一級 所以一年中空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)為144 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 14 氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份 30天 的日最高氣溫的統(tǒng)計表如下 由于工作疏忽 統(tǒng)計表被墨水污染 Y和Z數(shù)據(jù)不清楚 但氣象部門提供的資料顯示 六月份的日最高氣溫不高于32 的頻率為0 9 某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗 六月份的日最高氣溫t 單位 對西瓜的銷售影響如下表 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 求Y Z的值 解由已知得 P t 32 0 9 P t 32 1 P t 32 0 1 Z 30 0 1 3 Y 30 6 12 3 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 2 若視頻率為概率 求六月份西瓜日銷售額的均值和方差 六月份西瓜日銷售額X的概率分布為 E X 2 0 2 5 0 4 6 0 3 8 0 1 5 V X 2 5 2 0 2 5 5 2 0 4 6 5 2 0 3 8 5 2 0 1 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 3 在日最高氣溫不高于32 時 求日銷售額不低于5千元的概率 解 P t 32 0 9 P 22 t 32 0 4 0 3 0 7 由條件概率得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解析答案 返回