2019-2020年北師大版數(shù)學必修4《數(shù)乘向量》練習.doc

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2019-2020年北師大版數(shù)學必修4《數(shù)乘向量》練習 班級________　　姓名________　　分數(shù)________ 一、選擇題(每小題5分，共56＝30分) 1．設a，b是不共線的兩個非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三點共線，則p的值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案：D 解析：＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三點共線，知存在實數(shù)λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共線，∴，∴p＝－1. 2．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝e1，＝e2，則＝(　　) A.(e1＋e2) B.(e1－e2) C.(2e2－e1) D.(e2－e1) 答案：A 解析：因為O是矩形ABCD對角線的交點，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故選A. 3．若向量a與b的夾角為60，則向量－a與－b的夾角是(　　) A．60 B．120 C．30 D．150 答案：A 解析：使平面向量a，b有公共起點O，如圖所示，則由對頂角相等，可得向量－a與－b的夾角也是60. 4．如果a與b是一組基底，則下列不能作為基底的是(　　) A．a(chǎn)＋b與a－b B．a(chǎn)＋2b與2a＋b C．a(chǎn)＋b與－a－b D．a(chǎn)與－b 答案：C 解析：由已知，a與b不共線，根據(jù)平行四邊形法則，可知A，B，D選項中的兩個向量都可以作為基底，而a＋b與－a－b共線，不能作為基底． 5．如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點，＝x＋y，且＝3，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 答案：D 解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝. 6．設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：對于①，若向量a、b確定，因為a－b是確定的，故總存在向量c，滿足c＝a－b，即a＝b＋c故正確； 對于②，因為c和b不共線，由平面向量基本定理知，總存在唯一的一對實數(shù)λ、μ，滿足a＝λb＋μc，故正確； 對于③，如果a＝λb＋μc，則以|a|、|λb|、|μc|為三邊長可以構(gòu)成一個三角形，如果b和正數(shù)μ確定，則一定存在單位向量c和實數(shù)λ滿足a＝λb＋μc，故正確； 對于④，如果給定的正數(shù)λ和μ不能滿足“以|a|，|λb|、|μc|為三邊長可構(gòu)成一個三角形”，這時單位向量b和c就不存在，故錯誤．故選C. 二、填空題(每小題5分，共53＝15分) 7．設G是△ABC的重心(即三條中線的交點)，＝a，＝b，試用a，b表示＝________. 答案：a＋b. 解析：延長AG交BC于D. ∵＝＝(＋)＝(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b. 8．已知e1，e2是兩個不共線向量，a＝k2e1＋e2與b＝2e1＋3e2共線，則實數(shù)k＝________. 答案：－2或 解析：由題設，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或. 9．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 答案： 解析：由題意，知＝＋，＝＋，＝＋.又＝λ＋μ，所以＝＋，故，所以λ＋μ＝. 三、解答題：(共35分，11＋12＋12) 10．如圖，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，試用a，b表示. 解析：由＝3，知N為AC的四等分點.＝＋＝－＝－(＋)＝－＋＝－a＋b. 11．已知＝λ(λ∈R)，O是平面內(nèi)任意一點(O不在直線AB上)． (1)試以，為基底表示； (2)當λ＝時，試確定點P的位置． 解析：(1)∵＝－，＝－，由＝λ得(－)＝λ(－)， ∴＝λ＋(1－λ). (2)當λ＝時，由(1)可知＝＋＝(＋)，結(jié)合向量加法的幾何意義可知，此時點P為線段AB的中點． 12．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，AF與BD交于E，求證：E為線段BD的三等分點． 解析：設＝a，＝b，則＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a. 因為A、E、F與B、D、E分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ∈R，使＝λ，＝μ. 于是＝a＋λb，＝μb－μa. 由＋＝得，(1－μ)a＋μb＝a＋λb. 因為a，b不共線，由平面向量基本定理，得1－μ＝且μ＝λ. 解得λ＝μ＝，∴＝. 即E為線段BD(靠近D)的一個三等分點． 附送： 2019-2020年北師大版數(shù)學必修4《正余弦函數(shù)的定義與單位圓》練習 時間：45分鐘　滿分：80分 班級________　　姓名________　　分數(shù)________ 一、選擇題：(每小題5分，共56＝30分) 1．若sinα<0，cosα>0，則角α的終邊位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：因為sinα<0，cosα>0，所以角α的終邊位于第四象限． 2．已知點P(－，y)為角β終邊上一點，且sinβ＝，則y的值為(　　) A． B. C．－ D．2 答案：B 解析：∵|OP|＝，sinβ＝＝，∴y＝，∵sinβ＞0，∴y＞0，故y＝. 3．角α為第二象限角，且＝－cos，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 4．y＝＋的值域為(　　) A．{2,0} B．{－2,0} C．{2，－2} D．{2，－2,0} 答案：D 5．若角α是第一象限角，且sinα＝，則α＝(　　) A. B. C．2kπ＋(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z) 答案：C 解析：當0<α<且sinα＝時，α＝，所以當角α是第一象限角時，此角終邊與角的終邊相同，故α＝＋2kπ，k∈Z . 6．若角α的終邊在直線y＝3x上，sinα<0，且P(m，n)是角α終邊上一點，|OP|＝(O為坐標原點)，則m－n＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 答案：A 解析：因為點P在直線y＝3x上，所以n＝3m<0.又|OP|2＝m2＋n2＝10，所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2. 二、填空題：(每小題5分，共53＝15分) 7．已知角α終邊上一點P(6，－8)，則sinα＝__________.cosα＝__________. 答案：－　 8．點(sin5，cos5)所在的象限為第__________象限． 答案：二 解析：因為<5<2π，∴sin5<0，cos5>0，∴(sin5，cos5)在第二象限． 9．已知△ABC中，|cosA|＝－cosA，則角A的取值范圍是________． 答案： 解析：由題意，知cosA≤0，又角A為△ABC的內(nèi)角，所以≤A<π. 三、解答題：(共35分，11＋12＋12) 10．判斷下列各式的符號． (1)cos(－345)； (2)sin175cos248. 解析：(1)∵－345＝－360＋15是第一象限角，∴cos(－345)>0. (2)∵175是第二象限角，248是第三象限角， ∴sin175>0，cos248<0， ∴sin175cos248<0. 11．已知角α的終邊在直線y＝－x上，求cosα－的值． 解析：設O為坐標原點． ①若角α為第四象限角，在角α的終邊上取一點P1(4，－3)， 則r1＝|OP1|＝＝＝5， ∴sinα＝＝－，cosα＝＝， ∴cosα－＝. ②若角α為第二象限角，在角α的終邊上取一點P2(－4,3)， 則r2＝|OP2|＝＝＝5， ∴sinα＝＝，cosα＝＝－， ∴cosα－＝－. 綜上，cosα－的值為或－. 12．利用單位圓，求適合下列條件的0到2π的角的集合． (1)sinα≥； (2)cosα＜. 解析： (1)作直線y＝交單位圓于P1，P2兩點，連接OP1，OP2，則OP1與OP2圍成的區(qū)域(如圖所示陰影部分)即為角α終邊的范圍．由sin＝sinπ＝知，適合條件的角α的集合為{α|≤α≤}． (2)作直線x＝交單位圓于P1，P2兩點，連接OP1，OP2，則OP1與OP2圍成的區(qū)域(如圖陰影部分，不含邊界)即為角α終邊的范圍．由cos＝cos＝知，適合條件的角α的集合為{α|＜α＜}．