2013高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)17 平面向量的應(yīng)用

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1、 考點(diǎn)17 平面向量的應(yīng)用 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一 向量與三角相聯(lián)系 1.(2012年高考安徽卷理科8)在平面直角坐標(biāo)系中，，將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量,則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） 2. (2012年高考湖南卷理科7)在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1則（ ） A. B. C. D. 3．(2012年高考浙江卷理科15)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則＝______________． 4.（2012年高考江蘇卷15）（本小題滿分14分） 在中，已知． （1）求證：； （2）若求A的值． 5.(2012年高

2、考湖北卷理科17)（本小題滿分12分） 已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且. （1） 求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2） 若y=f（x）的圖像經(jīng)過點(diǎn),求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的取值范圍. 【方法總結(jié)】平面向量和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合的題目，是高考最近幾年出現(xiàn)的熱點(diǎn)題型.此類題目要求在熟練掌握平面向量和三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對平面向量和三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用. 熱點(diǎn)二 向量與解析幾何相聯(lián)系 1．(2012年高考上海卷理科4)若是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 【答案】 【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則. 【考點(diǎn)定位】本題主要

3、考查直線的方向向量、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、反三角函數(shù)的表示.直線的傾斜角的取值情況一定要注意，屬于低檔題，難度較小. 2.(2012年高考上海卷理科22)在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：． （1）過的左頂點(diǎn)引的一條漸進(jìn)線的平行線，求該直線與另一條漸進(jìn)線及軸圍成的三角形的面積； （2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：； （3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動點(diǎn)，且，求證：到直線的距離是定值. 3.(2012年高考江西卷理科20) （本題滿分13分） 已知三點(diǎn)O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足. （1） 求曲線C的方程；

4、（2）動點(diǎn)Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l向：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點(diǎn)分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。 4.(2012年高考陜西卷理科19) （本小題滿分12分） 已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，，求直線的方程． 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 1.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題． 2.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些

5、實(shí)際問題. 二．命題方向 新課標(biāo)高考涉及三角函數(shù)與平面向量的考題可以說是精彩紛呈，奇花斗艷，其特點(diǎn)如下： (1)考小題，重基礎(chǔ)：有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識：解析式；圖象與圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)；簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小)．有關(guān)向量的考查主要是向量的線性運(yùn)算以及向量的數(shù)量積等知識． (2)考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過公式變形轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少，而著重考查基礎(chǔ)知識和基本技能與方法的題目卻在增加．大題中的向量，主要是作為工具來考查的，多與三角、圓錐曲線相結(jié)合． (3)考應(yīng)用，融

6、入三角形與解析幾何之中：既能考查解三角形、圓錐曲線的知識與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，深受命題者的青睞．主要解法是充分利用三角形內(nèi)角和定理、正、余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件，向量的數(shù)量積等． (4)考綜合，體現(xiàn)三角的工具作用：由于近幾年高考試題突出能力立意，加強(qiáng)對知識性和應(yīng)用性的考查，故常常在知識交匯點(diǎn)處命題，而三角知識是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，故考查與立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等綜合性問題時(shí)突出三角與向量的工具性作用． 三．規(guī)律總結(jié) 一個(gè)手段 實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 兩條主線 (1)向量

7、兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合． (2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．(人教A版教材習(xí)題改編)某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則a＋b表示(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．向東南走3 km B．向東北走3 km C．向東南走3 km D．向東北走3 km 2．平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，則△ABC的形

8、狀是(　　)． A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定 3．(2012·銀川模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值，最小值分別是(　　)． A．4,0 B．16,0 C．2,0 D．16,4 4． 在△ABC中，已知向量與滿足·＝0且·＝，則 △ABC為(　　)． A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 5．(2012·武漢聯(lián)考)平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動點(diǎn)P(x，y)滿足·＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是_______________

9、_______________________． 解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4， 即x＋2y＝4. 答案　x＋2y－4＝0 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2012年3月高考適應(yīng)性考試文科9)在邊長為6的正中，點(diǎn)滿足則等于（ ） 【答案】D 【解析】本題主要考查平面向量的運(yùn)算及數(shù)量積計(jì)算。 =. 2.(2012年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試文)已知圓的半徑為3，直徑上一點(diǎn)使，為另一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則 A.B.C.D. 【答案】C 【解析】.故選C. 3. (2012年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試文)以為中心，

10、為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)，滿足,則該橢圓的離心率為 A. B. C. D. 4.(江蘇省淮陰中學(xué)、海門中學(xué)、天一中學(xué)2012屆高三聯(lián)考9)在中，已知，，則＝. 5.【2012河南鄭州市質(zhì)檢文】在△ABC中，已知a,b,c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，S為△ABC的面積.若向量p=q=滿足p∥q,則∠C= . 【答案】； 【解析】由題p∥q，則,即，。 二．能力拔高 6.(2012云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測復(fù)習(xí)文)已知橢圓:的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，如果的面積等于，那么( ) （A） （B） （C）

11、 （D） 7.(湖北省武漢市2012屆高中畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（二）理) 如右圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)D，若，則 8.(河南省鄭州市2012屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文8)在△ABC中，若則△ABC是 A．等邊三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D.直角三角形 9.若，則必定是 （ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 10. （長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)2012屆第三次模擬理）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀

12、態(tài)．已知成角，且大小為2和4，則的大小為． 11.【2012深圳中學(xué)期末理13】給出下列命題中 ①向量滿足，則的夾角為； ②＞0，是的夾角為銳角的充要條件； ③將函數(shù)y =的圖象按向量=(－1,0)平移，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y =； ④若，則為等腰三角形； 以上命題正確的是（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上） 12.【2012山東青島市期末文】設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)原點(diǎn)為）內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且，，則的面積等于 . 【答案】 【解析】由題可知，，，所以，，所求面積為。 13.【2012三明市普通高中高三上學(xué)期聯(lián)考文】已知向量,函數(shù)．

13、 （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期; （Ⅱ）已知、、分別為內(nèi)角、、的對邊, 其中為銳角,,且,求和的面積． 【解析】本題主要考查了向量及其數(shù)量積、二倍角公式、周期公式，余弦定理和面積公式. 屬于容易題?？疾榱嘶A(chǔ)知識、基本運(yùn)算、基本變換能力. 三．提升自我 14.(2012年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理)在平行四邊形ABCD中，，AD=2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足()，則當(dāng)點(diǎn)P在以A為圓心，為半徑的圓上時(shí)，實(shí)數(shù)應(yīng)滿足關(guān)系式為 ( ) A．B． C．D． 15．(2012北京海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)理)已知點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，那么的最小值是

14、 （A） （B） （C） （D） 16.【山東省微山一中2012屆高三10月月考理】9．若，恒成立，則△ABC的形狀一定是 （ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 17.【山東省微山一中2012屆高三10月月考數(shù)學(xué)（文）】在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的面積為。B A C D （Ⅰ）若，，，求、的值； （Ⅱ）若且，，求的取值范圍. 19.(2012北京海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)理)（本小題滿分13分） 已知橢圓

15、:的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知動直線過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 20.(2012年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試?yán)?（本小題滿分12分） 已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且滿足. ⑴求拋物線的方程； ⑵在軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使得是銳角，求的取值范圍； ⑶若在拋物線準(zhǔn)線上運(yùn)動，其縱坐標(biāo)的取值范圍是，且，點(diǎn)是以為直徑的圓與準(zhǔn)線的一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍. 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及

16、到拋物線 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識. 21.(河北唐山市2012屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分） 拋物線在點(diǎn)P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點(diǎn)A、B，。當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為D。 （1）求曲線D的方程： （2）設(shè)直線l與曲線D的另一個(gè)交點(diǎn)為N，曲線D在點(diǎn)M、N處的切線分別為m、n直線m、n相交于點(diǎn)Q，證明：PQ平行于x軸。 【原創(chuàng)預(yù)測】 1.關(guān)于的方程，（其中、、都是非零平面向量），且、不共線，則該方程的解的情況是 A.至多有一個(gè)解　 B.至少有一個(gè)解 C.至多有兩個(gè)解 D.可能有無數(shù)個(gè)解 2.過雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若，則雙曲線的漸近線方程為 （A）（B）（C）（D） 3.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作與軸垂直的直線交兩漸近線于、兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則該雙曲線的離心率為 A．B．C．D． 內(nèi)容總結(jié) （1）（Ⅱ）已知、、分別為內(nèi)角、、的對邊, 其中為銳角,,且,求和的面積． 【解析】本題主要考查了向量及其數(shù)量積、二倍角公式、周期公式，余弦定理和面積公式. 屬于容易題