同濟大學高等數(shù)學第八章向量代數(shù)與解析幾何[共63頁]

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1、第五篇 向量代數(shù)與空間解析幾何 第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何 解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何的問題，為了把代數(shù)運算引入幾何中來，最根本的做法就是設法把空間的幾何結構有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化. 平面解析幾何使一元函數(shù)微積分有了直觀的幾何意義，所以為了更好的學習多元函數(shù)微積分，空間解析幾何的知識就有著非常重要的地位. 本章首先給出空間直角坐標系，然后介紹向量的基礎知識，以向量為工具討論空間的平面和直線，最后介紹空間曲面和空間曲線的部分內(nèi)容. 第1節(jié) 空間直角坐標系 1.1 空間直角坐標系 用代數(shù)的方法來研究幾何的問題，我們需要建立空間的

2、點與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現(xiàn). 1.1.1 空間直角坐標系 ?? 過定點，作三條互相垂直的數(shù)軸，這三條數(shù)軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，它們都以為原點且具有相同的長度單位. 通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則：右手握住軸，當右手的四指從x軸的正向轉過角度指向y軸正向時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣就建立了一個空間直角坐標系（圖8-1），稱為直角坐標系，點叫做坐標原點. 圖8-1 在直角坐標系下，數(shù)軸Ox,,Oz統(tǒng)稱為坐標軸，三條坐標軸中每兩條可以確定一個平面，稱為

3、坐標面，分別為，，，三個坐標平面將空間分為八個部分，每一部分叫做一個卦限（圖8-2），分別用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示. 圖8-2 1.1.2 空間點的直角坐標 設為空間中的任一點，過點分別作垂直于三個坐標軸的三個平面，與軸、軸和軸依次交于、、三點，若這三點在軸、軸、軸上的坐標分別為，，，于是點就唯一確定了一個有序數(shù)組，則稱該數(shù)組為點在空間直角坐標系中的坐標，如圖8-3．，，分別稱為點的橫坐標、縱坐標和豎坐標．

4、 圖8-3 反之，若任意給定一個有序數(shù)組，在軸、軸、軸上分別取坐標為，，的三個點、、，過這三個點分別作垂直于三個坐標軸的平面，這三個平面只有一個交點，該點就是以有序數(shù)組為坐標的點，因此空間中的點就與有序數(shù)組之間建立了一一對應的關系． 注：、、這三點正好是過點作三個坐標軸的垂線的垂足． 1.2 空間中兩點之間的距離 設兩點，，則與之間的距離為 （8-1-1） 事實上，過點和作垂直于平面的直線，分別交平面于點和，則 ∥，顯然，點的坐標為，點的坐標為（如圖8-4）． 圖8-4 由

5、平面解析幾何的兩點間距離公式知，和的距離為： ． 過點作平行于平面的平面，交直線于，則∥，因此的坐標為，且 ， 在直角三角形中， ， 所以點與間的距離為 ． 例1 設與為空間兩點，求與兩點間的距離． 解 由公式（8-1-1）可得，與兩點間的距離為 ． 例2 在軸上求與點和等距的點． 解 由于所求的點在軸上，因而點的坐標可設為，又由于 ， 由公式（8-1-1），得 ． 從而解得，即所求的點為． 習題8-1 1．討論空間直角坐標系的八個卦限中的點的坐標的符號． 2．在坐標軸上的點和在坐標平面上的點的坐標各有何特點？ 3．在空間直角坐標系中，畫

6、出下列各點： ；；；． 4．求點關于各坐標平面對稱的點的坐標． 5．求點關于各坐標軸對稱的點的坐標． 6．求下列各對點間的距離： (1) 與； (2) 與． 7．在坐標平面上求與三點、和等距的點． 8．求點與原點、各坐標平面和各坐標軸的距離． 9. 證明以為頂點的三角形△ABC是一等腰三角形. 第2節(jié) 空間向量的代數(shù)運算 2.1 空間向量的概念 在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到一些量，如質(zhì)量、時間、面積、溫度等，它們在取定一個度量單位后，就可以用一個數(shù)來表示．這種只有大小沒有方向的量，叫做數(shù)量（或標量）．但

7、有一些量，如力、位移、速度、電場強度等，僅僅用一個實數(shù)是無法將它們確切表示出來，因為它們不僅有大小，而且還有方向，這種既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）． 在數(shù)學上，我們用有向線段來表示向量，稱為向量的起點，稱為向量的終點，有向線段的長度就表示向量的大小，有向線段的方向就表示向量的方向．通常在印刷時用黑體小寫字母，，，…來表示向量，手寫時用帶箭頭的小寫字母來記向量. 向量的長度稱為向量的模，記作或，模為的向量叫做單位向量，模為的向量叫做零向量，記作0，規(guī)定：零向量的方向可以是任意的． 本章我們討論的是自由向量，即只考慮向量的大小和方向，而不考慮向量的起點，因此，我們把大小相等，方向

8、相同的向量叫做相等向量，記作.規(guī)定：所有的零向量都相等. 與向量大小相等，方向相反的向量叫做的負向量(或反向量)，記作． 平行于同一直線的一組向量稱為平行向量（或共線向量）． 平行于同一平面的一組向量，叫做共面向量，零向量與任何共面的向量組共面. 2.2 向量的線性運算 2.2.1 向量的加法 我們在物理學中知道力與位移都是向量，求兩個力的合力用的是平行四邊形法則，我們可以類似地定義兩個向量的加法． 定義1 對向量，，從同一起點作有向線段、分別表示與，然后以、為鄰邊作平行四邊形，則我們把從起點到頂點的向量稱為向量與的和（圖8-5），記作．這種求和方法稱

9、為平行四邊形法則． 圖8-5 圖8-6 若將向量平移，使其起點與向量的終點重合，則以的起點為起點，的終點為終點的向量就是與的和(圖8-6），該法則稱為三角形法則． 多個向量，如、、、首尾相接，則從第一個向量的起點到最后一個向量的終點的向量就是它們的和 （圖8-7）． 圖8-7 對于任意向量，，，滿足以下運算法則： (1) (交換律)． (2) (結合律)． (3) ． 2.2.2 向量的減法 定義2 向量與的負

10、向量的和，稱為向量與的差，即 ． 特別地，當時，有. 由向量減法的定義，我們從同一起點作有向線段，分別表示，，則 ． 也就是說，若向量與的起點放在一起，則，的差向量就是以的終點為起點，以的終點為終點的向量（圖8-8）． 圖8-8 2.2.3數(shù)乘向量 定義3 實數(shù)與向量的乘積是一個向量，記作，的模是，方向： 當時，與同向；當時，與反向；當時，． 對于任意向量，以及任意實數(shù)，，有運算法則： (1) ． (2) ．

11、 (3) ． 向量的加法、減法及數(shù)乘向量運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，稱為，的一個線性組合． 特別地，與同方向的單位向量叫做的單位向量，記做，即. 上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量. 例1 如圖8-9，在平行六面體中，設,試用來表示對角線向量 圖8-9 解 ； . 由于向量與平行，所以我們通常用數(shù)與向量的乘積來說明兩個向量的平行關系.即有, 定理1 向量與非零向量平行的充分必要條件是存在一個實數(shù)，使得. 2.3 向量的坐標表示 2.3.1向量在坐標軸上的投影 設為空間中一點，過點作軸的垂線，垂足為，

12、則稱為點在軸上的投影(圖8-10)． 圖8-10 若為空間直角坐標系中的一點，則在軸、軸、軸上的投影為、、，如圖8-11所示． 圖8-11 設向量的始點與終點在軸的投影分別為、，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記作，軸稱為投影軸. 圖8-12 當與軸同向時，投影取正號，當與軸反向時，投影取負號． 注 (1) 向量在軸上投影是標量． (2) 設為空間直角坐標系中的一個向量，點的坐標為，點的坐標為，顯然，向量在三個坐標軸上的投影分別為，，． 2.3.2向量的坐標表示 取空間直角坐標系，在軸、軸、軸上各取一個與

13、坐標軸同向的單位向量，依次記作，它們稱為坐標向量． 空間中任一向量，它都可以唯一地表示為數(shù)乘之和． 事實上，設，過、作坐標軸的投影，如圖8-13所示． ． 由于與平行，與平行，與平行，所以，存在唯一的實數(shù)，使得 ，，， 即 ． (8-2-1) 圖 8-13 我們把(8-2-1)式中系數(shù)組成的有序數(shù)組叫做向量的直角坐標，記為，向量的坐標確定了，向量也就確定了． 顯然，(8-2-1)中的是向量分別在軸、軸、軸上的投影． 因此，在空間直角坐標系中的向量的坐標就是該向量在三個坐標

14、軸上的投影組成的有序數(shù)組． 例2 在空間直角坐標系中設點，，求向量及的直角坐標． 解 由于向量的坐標即為向量在坐標軸上的投影組成的有序數(shù)組，而向量的各投影即為終點坐標與起點坐標對應分量的差．所以 向量的坐標為，向量的坐標為． 例3(定比分點公式) 設和為兩已知點，有向線段上的點將它分為兩條有向線段和，使它們的值的比等于數(shù)，即，求分點的坐標. 圖8-14 解 如圖8-14，因為與在同一直線上，且同方向，故，而 ，

15、 所以 ，， 解得 當l=1, 點的有向線段的中點, 其坐標為 , , . 2.3.3向量的模與方向余弦的坐標表示式 向量可以用它的模與方向來表示，也可以用它的坐標式來表示，這兩種表示法之間的是有聯(lián)系的. 設空間向量與三條坐標軸的正向的夾角分別為，規(guī)定： ,稱為向量的方向角. 圖8-15 因為向量的坐標就是向量在坐標軸上的投影，因此 (8-2-2)

16、 公式(8.2.2)中出現(xiàn)的稱為向量的方向余弦.而 是與向量同方向的單位向量. 而 ， ， 故向量的模為 (8-2-3) 從而向量的方向余弦為 (8-2-4) 并且 . 例4 已知兩點和,求向量的模、方向余弦和方向角. 解 ； ； . 例5 已知兩點和，求與同方向的單位向量. 解 因為 所以 于是 2.4 向量的數(shù)量積 在物理中我們知道，一質(zhì)點在恒

17、力的作用下，由點沿直線移到點，若力與位移向量的夾角為，則力所作的功為 ． 類似的情況在其他問題中也經(jīng)常遇到．由此，我們引入兩向量的數(shù)量積的概念． 定義1 設，為空間中的兩個向量，則數(shù) 叫做向量與的數(shù)量積(也稱內(nèi)積或點積)，記作，讀作“點乘”．即 （8-2-5） 其中表示向量與的夾角，并且規(guī)定． 兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量而不是向量，特別地當兩向量中一個為零向量時，就有. 由向量數(shù)量積的定義易知： (1) ，因此 ． (2) 對于兩個非零向量，，與垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零，即

18、 ． 注 數(shù)量積在解決有關長度、角度、垂直等度量問題上起著重要作用． 數(shù)量積的運算滿足如下運算性質(zhì)： 對于任意向量，及任意實數(shù)，有 (1) 交換律：． (2) 分配律：． (3) 與數(shù)乘結合律：． (4) 當且僅當時，等號成立． 例6 對坐標向量，，，求， ，，，，． 解 由坐標向量的特點及向量內(nèi)積的定義得 ， ． 例7 已知，，，求，，． 解 由兩向量的數(shù)量積定義有 ． ． ， 因此 ． 在空間直角坐標系下，設向量，向量，即 , ． 則 ． 由于 ， ， 所以 ．

19、 (8-2-6) 也就是說，在直角坐標系下，兩向量的數(shù)量積等于它們對應坐標分量的乘積之和． 同樣，利用向量的直角坐標也可以求出向量的模、兩向量的夾角公式以及兩向量垂直的充要條件，即 設非零向量，向量，則 ． (8-2-7) ． (8-2-8) ． (8-2-9) 例8 在空間直角坐標系中，設三點，，．證明:是直角三角形． 證明 由題意可知 ，， 則 ， 所以 ． 即是直角三角形． 2.5向量的向量積

20、 在物理學中我們知道，要表示一外力對物體的轉動所產(chǎn)生的影響，我們用力矩的概念來描述．設一杠桿的一端固定，力作用于杠桿上的點處，與的夾角為，則杠桿在的作用下繞點轉動，這時，可用力矩來描述．力對的力矩是個向量，的大小為 ． 的方向與及都垂直，且，，成右手系，如圖8-16所示． 圖8-16 2.5.1向量積的定義 在實際生活中，我們會經(jīng)常遇到象這樣由兩個向量所決定的另一個向量，由此，我們引入兩向量的向量積的概念． 定義2 設，為空間中的兩個向量，若由，所決定的向量，其模為

21、． (8-2-10) 其方向與，均垂直且，，成右手系（如圖8-17），則向量叫做向量與的向量積(也稱外積或叉積)．記作，讀作“叉乘”． 注 (1) 兩向量與的向量積是一個向量，其模的幾何意義是以，為鄰邊的平行四邊形的面積． (2) 這是因為夾角θ=0，所以 圖8-17 (3)對兩個非零向量與，與平行(即平行)的充要條件是它們的向量積為零向量． ∥． 向量積的運算滿足如下性質(zhì)： 對任意向量，及任意實數(shù)λ，有 (1) 反交換律：． (2) 分配律: ，

22、． (3) 與數(shù)乘的結合律：． 例9 對坐標向量，，，求，，，，，． 解 ． ，，． 2.5.2向量積的直角坐標運算 在空間直角坐標系下，設向量，向量，即 ，， 因為 ． ，，， ，，． 則 ． 為了便于記憶，借助于線性代數(shù)中的二階行列式及三階行列式有 ． 注 設兩個非零向量，，則 ∥， ． 若某個分母為零，則規(guī)定相應的分子為零． 例10 設向量，，求的坐標． 解 ． 因此的直角坐標為． 例11 在空間直角坐標系中，設向量，，求同時垂直于向量與的單位向量． 解 設向量，則同時與，垂直．而 ， 所以向量的坐標為． 再

23、將單位化，得 ， 即與為所求的向量． 例12 在空間直角坐標系中，設點，，，求的面積． 解 由兩向量積的模的幾何意義知：以、為鄰邊的平行四邊形的面積為，由于 ，， 因此 ， 所以 ． 故的面積為． 2.6向量的混合積 定義3 給定空間三個向量，如果先作前兩個向量與的向量積，再作所得的向量與第三個向量的數(shù)量積，最后得到的這個數(shù)叫做三向量的混合積，記做或. 說明：三個不共面向量的混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積. 定理 如果，，， 那么 習題8-2 5.設為單位向量,且滿足,求

24、 6. 7.已知三點的坐標、模、方向余弦和方向角. 8.一向量的終點在點B(2,-1,7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4，-4和7.求這向量的起點A的坐標. 9．設，，，求，，． 10．設向量，，兩兩垂直，且，，，求向量的模及． 11．在空間直角坐標系中，已知，，求： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 12.已知向量，計算 （1）（2）（3）. 13．設向量，的直角坐標分別為和，若，求的值． 14．設向量，，求以為鄰邊構造的平行四邊形面積． 15．求同時垂直于向量和縱軸的單位向量． 16．已知三角形三個頂點，，，求的面積． 第3節(jié) 空間

25、中的平面與直線方程 在本節(jié)我們以向量為工具，在空間直角坐標系中討論最簡單的曲面和曲線——平面和直線. 3.1平面及其方程 首先利用向量的概念，在空間直角坐標系中建立平面的方程，下面我們將給出幾種由不同條件所確定的平面的方程． 3.1.1平面的點法式方程 若一個非零向量垂直于平面，則稱向量為平面的一個法向量． 顯然，若是平面的一個法向量，則 (為任意非零實數(shù))都是的法向量，即平面上的任一向量均與該平面的法向量垂直． 由立體幾何知識知道，過一個定點且垂直于一個非零向量有且只有一個平面． 設為平面上的任一點，由于，因此．由兩向量垂直的充要條件，得 , 而 ，

26、， 所以可得 ． (8-3-1) 由于平面上任意一點都滿足方程(8-3-1)，而不在平面上的點都不滿足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面的方程． 由于方程(8-3-1)是給定點和法向量所確定的，因而稱式(8-3-1)叫做平面的點法式方程． 圖8-18 例1 求通過點且垂直于向量的平面方程． 解 由于為所求平面的一個法向量，平面又過點，所以，由平面的點法式方程(6-14)可得所求平面的方程為 ， 整理，得 ． 例2 求過三點，， 的平面的方程． 解 所求平面的法向量必定同時垂直于與．因此可取與的向量積為該平面的一個法向

27、量．即 ． 由于 ，， 因此 , 因此所求平面的方程為 ， 化簡得 一般地，過三點的平面方程為 稱為平面的三點式方程。 特殊地，過三點，， 的平面的方程為 化簡整理得 ． (8-3-2) 、、三點為平面與三個坐標軸的交點，我們把這三個點中的坐標分量分別叫做該平面在軸，軸和軸上截距，方程(8-3-2)稱平面的截距式方程，如圖8-19． 圖8-19 3.1.2平面的一般式方程 前面我們有了平面的點法式方程，展開平面的點法式方

28、程(6-14)，得 ， 設，則 (不全為零)． (8-3-3) 即任意一個平面的方程都是的一次方程． 反過來，任意一個含有的一次方程(8-3-3)都表示一個平面． 事實上，設是滿足方程(8-3-3)的一組解，則 ． (8-3-4) 式(8-3-3)減去式(8-3-4)，得 ． (8-3-5) 由(8-3-5)決定一非零向量，它與向量垂直，其中，．而為一固定點，為任一點．因此平面(8-3-3)上任一點與的連線均與垂直，由平面的點法式方程可知，方程(8-3-3)表示一個平面． 我們稱

29、方程(8-3-3)為平面的一般式方程．其中為該平面的一個法向量． 現(xiàn)在來討論(8-3-3)的幾種特殊情況，也就是當它的某些系數(shù)或常數(shù)項為零時，平面對坐標系來說具有某種特殊位置的情況. 1. ，上式變?yōu)?，此時為方程組的解，因此平面通過原點；反過來，如果平面通過原點，那么顯然有. 2. 中有一個為0，例如，上式就變?yōu)?，當時，軸上任意一點都不滿足方程，所以x軸與平面平行；當時，軸上每一點都滿足方程，這時平面通過軸.反過來，當平面平行x軸時，我們有平面通過軸時，對于其他兩種情況可以得出類似的結論. 3. 中有兩個為0時，可得下面的結論： 當且僅當，平面平行于坐標面當且僅當平面就是

30、例3 求過兩點，且與軸平行的平面方程． 解 要求出平面的方程，關鍵要找出平面所過的一個點以及平面的一個法向量． 由已知，所求平面的法向量同時與和軸垂直．即法向量同時與和垂直．因此，可取作為該平面的一個法向量． ． 所以為所求平面的一個法向量． 再由平面的點法式方程(6-14)得所求平面的方程為 ， 整理得 ． 3.1.3兩平面間的關系 空間兩個平面之間的位置關系有三種：平行、重合和相交．下面根據(jù)兩個平面的方程來討論它們之間的位置關系． 設有兩個平面與，它們的方程為 ： (不同時為零)， ： (不同時為零)， 則它們的法向量分別為和． (1) 兩平面平

31、行∥． (2) 兩平面重合． (3) 兩平面相交與不成比例． 當兩平面相交時，把它們的夾角定義為其法向量的夾角，且規(guī)定． 圖8-20 即 ． 特別地，當時，，則，即 ． 反之亦然，所以 ． 例4 求兩平面和的夾角. 解 由公式有 ， 因此，所求夾角. 例5 一平面通過兩點和且垂直于平面，求它的方程. 解 設所求平面的一個法向量為. 因在所求平面上，它必與n垂直，所以有 又

32、因所求平面垂直與已知平面所以有 所以得 由平面的點法式方程可知，所求平面方程為 , 整理得 , 這就是所求的平面方程. 3.1.4點到平面的距離 在空間直角坐標系中，設點，平面：(不全為零)，可以證明點到平面的距離為 例6 求點到平面：的距離． 解 由點到平面的距離公式得 ． 例7 求兩個平行平面與間的距離． 解 在一個平面上任取一點，如取點，則點到另一平面的距離即為兩平行平面間的距離．所以 ． 例8 求過直線且與點的距離為1 的平面方程. 解 設過此直線的平面束方程為:, 由點

33、到平面的距離公式 , 故所求平面的方程為 3.2空間中的直線及其方程 3.2.1直線的點向式方程 我們知道，一個點和一個方向可以確定一條直線，而方向可以用一個非零向量來表示．因此，一個點和一個非零向量確定一條直線． 如果一個非零向量與直線平行，則稱向量是直線的一個方向向量．而向量的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 顯然，若是直線的一個方向向量，則 (為任意非零實數(shù))都是的方向向量． 在空間直角坐標系中，若是直線上的一個點，為的一個方向向量，下面求直線的方程． 設為直線上的任一點，如圖8-21，則∥，所以兩向量對應坐標成比例．而的坐標為，因此有 ．

34、 (8-3-6) 稱式(8-3-6)為直線的點向式方程（或叫對稱式方程）．其中是直線上一點的坐標，為直線的一個方向向量． 注 由于直線的方向向量，所以不全為零，但當有一個為零時，如時，(8-3-6)應理解為 該直線與平面平行． 當有兩個為零時，如時，式(8-3-6)應理解為 該直線與軸平行． 由直線的點向式方程很容易導出直線的參數(shù)方程.如設 那么 , 方程組就是直線的參數(shù)方程. 例9 設直線過兩點和，求直線的方程． 解 直線的一個方向向量為，則, 由直線的點向式方程(6-22)

35、可得的方程為 ． 例10 求過點且與兩平面：和：都平行的直線方程． 解 所求的直線與與都平行，即與、的法向量、都垂直，其中 ，， 因此可用作為直線的一個方向向量． ， 即 ． 于是所求直線的方程為 ． 3.2.2直線的一般式方程 空間任一條直線都可看成是通過該直線的兩個平面的交線，同時空間兩個相交平面確定一條直線，所以將兩個平面方程聯(lián)立起來就代表空間直線的方程． 設兩個平面的方程為 ：， ：， 則 (8-3-7) 表示一條直線，其中與不成比例．稱(8-3

36、-7)為直線的一般式方程． 圖8-22 例11 將直線的一般式方程 化為點向式方程和參數(shù)方程． 解 先求直線上一點，不妨設，代入方程中得 解之得 所以為直線上的一點． 再求直線的一個方向向量．由于直線與兩個平面的法向量、都垂直，其中，，因此可用作為直線的一個方向向量． ， 即 ． 于是，該直線的點向式方程為 ． 令 得所給直線的參數(shù)方程為 3.2.3兩直線間的關系 空間中兩條直線的位置關系可以用兩條直線的方程構成的方程組的解來確定． 設兩條直線與的方程為 ：，：， 由它們的方程構成的方程組 (

37、8-3-8) ① 若方程組(8-3-8)有無窮組解，則與重合； ② 若方程組(8-3-8)只有一組解，則與相交，且方程組的解即為與的交點坐標； ③ 若方程組(8-3-8)無解，且∥，即，則與平行； ④ 若方程組(8-3-8)無解，且，則與異面直線． 兩相交直線與所形成的4個角中，把不大于的那對對頂角叫做這兩條直線的夾角． 若與的方向向量分別為，，顯然有 (8-3-9) 注 (1) 若∥，相當于，規(guī)定與的夾角為0； (2) 對于異面直線，可把這兩條直線平移至相交狀態(tài)，此時，它們的夾角稱為異面直線的夾角； (3) 若⊥． 例12 判斷直

38、線：與的位置關系． 解 容易知由、的方程聯(lián)立得到的方程組無解，因此直線與不相交． 而的一個方向向量為，的一個方向向量為,則與不平行．因此與為異面直線． 例13 求直線 和的夾角. 解 直線的方向向量為, 直線的方向向量為 兩直線的夾角余弦為 ==, 即 . 例14 求與平面和的交線平行且過點的直線方程. 解 直線方程的方向向量可取為： 則所求直線方程為: 例15 求過點(2,1,3)且與直線垂直相交的直線方程. 解 (法一)過點(2,1,3)作平面垂直于已知直線,則此平面的方

39、程為 求已知直線與該平面的交點,將直線的參數(shù)方程 代入平面方程得，從而得交點于是所求直線的方向向量為 . 故所求直線的方程為: . (法二)設所求直線的參數(shù)方程為由于所求直線與已知直線垂直,從而有: . 又由于所求直線與已知直線相交,故由兩直線的參數(shù)方程有 , . 顯然,從而解得: . 故有所求直線的參數(shù)方程為:, 或者所求直線的方程為:. 3.2.4直線與平面的位置關系 在空間中，直線與平面的位置關系有三種：直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線與平面相交，它們的位置關系可以根據(jù)聯(lián)立直線與平面的方程構

40、成的方程組解的情況來判定． 設直線：，平面：，將其聯(lián)立起來的方程組為 (8-3-10) (1) 若方程組(8-3-10)有無窮組解，則在內(nèi)，即 (2) 若方程組(8-3-10)無解，則∥； (3) 若方程組(8-3-10)只有一組解，則與相交，方程組的解即為與的交點坐標． 注 還可以根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的關系來判定直線與平面的位置關系． 若，即時，在內(nèi)或∥； 若，即與不垂直時，與相交． 例16 判斷下列直線與平面的位置關系，若相交，求出交點坐標． (1) ：，：； (2) ：，：； (3) ：，：． 解 (1) 設

41、，則 代入， 得 ， 即 （無解）． 因此∥． (2) 顯然方程組有無窮組解，因此在內(nèi)． (3) 解方程組得 ，，． 因此，與相交，且交點坐標為． 直線與它在平面上的投影之間的夾角 ()，稱為直線與平面的夾角． 若直線：，平面：，則直線的方向向量為，平面的法向量為， 設直線與平面的法線之間的夾角為，則(如圖8-23)．所以， ． (8-3-11) 特別地 ∥． 圖8-23 3.2.5平面束 定義 通過定直線的所有平面方程的全體稱為平面束。 定理 設直線L為,其中系數(shù)A1,B1,C1和A2,B2,

42、C2不成比例, 則過L的平面束方程為 (8-3-12) 其中是不全為零的任意實數(shù). 例17 求直線在平面上的投影直線方程. 解 設經(jīng)過直線L: 的平面束方程為 即 由于此平面與已知平面垂直,所以 即有,代入平面束方程得投影平面的方程為 從而得投影直線l的方程: 習題8-3 9.求過兩點的直線方程. 11.求過點且與兩直線平行的平面方程. 14.求直線與平面的夾角. 21.求點到直線的距離. 第4節(jié) 空間曲面及其方程

43、 4.1曲面方程的概念 空間曲面方程的意義與平面解析幾何中曲線與方程的意義相仿，那就是在建立了空間直角坐標系之后，任何曲面都看成點的幾何軌跡，由此可以定義空間曲面的方程． 定義1 如果曲面與方程 , 滿足 (1) 曲面上每一點的坐標都滿足方程； (2) 以滿足方程的解為坐標的點都在曲面上． 則稱方程為曲面的方程，而稱曲面為此方程的圖形（圖8-24）． 圖8-24 圖8-25 下面我們在直角坐標系下，舉例說明怎樣從曲面上的點的特征性質(zhì)來導出曲面的方程. 例1 求聯(lián)結兩點A（1,2,3）和B（2，-

44、1,4）的線段的垂直平分面的方程. 解 垂直平分面可以看成到兩定點A和B為等距離的動點M（x，y，z）的軌跡.設M（x，y，z）為所求平面上的任意一點，根據(jù)點M的特性|AM|=|BM|， 而 所以 , 化簡得 這就是所求的垂直平分面的方程. 例2 設球面的中心是點，半徑為的球面方程(圖8-25). 解 定點為，定長為，設是球面上任一點，則 ， 即 ， 兩邊平方，得 ． （8-4-1） 反之，若的坐標滿足方程(6-28)，則總有，所以方程(8-4-1)為是以為球心，以半

45、徑的球面方程． 特別地，以坐標原點為球心，以半徑的球面方程為 ． 將（8-4-1）式展開得 , 所以，球面方程具有下列兩個特點： （1） 它是之間的二次方程，且方程中缺項； （2） 的系數(shù)相同且不為零。 例3 方程表示怎樣的曲面？ 解 通過配方原方程可以改寫為 , 所以原方程表示球心在、半徑為的球面. 上面幾個例子表明在空間解析幾何中關于曲面的研究，有下列兩個問題： （1） 已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程． （2） 已知坐標間的關系式，研究這個關系式所表示的曲面形狀． 下面我們繼續(xù)介紹柱面、旋轉曲面與常見的二次曲面.在這些曲面中，有的具有較為突

46、出的幾何特征，有的在方程上表現(xiàn)出特殊的簡單形式，對于前者，我們從圖形出發(fā)，去討論曲面的方程；而對于后者，我們將從它的方程去研究它的圖形. 4.2．柱面 用直線沿空間一條曲線平行移動所形成的曲面稱為柱面．動直線稱為柱面的母線，定曲線稱為柱面的準線，如圖8-26所示． 常見的柱面有：圓柱面： (圖8-27),橢圓柱面： (圖8-28), 雙曲柱面： (圖8-29),拋物柱面： (圖8-30)． 圖8-26 圖8-27

47、 圖8-28 圖8-29 圖8-30 注 若曲面方程為，則它一定是母線平行于軸，準線為平面的一條曲線(在平面直角坐標系中的方程為)的柱面．類似的，只含而缺的方程和只含而缺的方程分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 如圓柱面：，它就是以平面上的圓作為準線，以平行于軸的直線作為母線形成的柱面． 再如平面表示母線平行于軸,準線為平面上的直線:平面為特殊的柱面。 圖8-31 4.3 旋轉曲面 一條平

48、面曲線繞同一平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的曲面稱為旋轉曲面．曲線稱為旋轉曲面的母線，定直線稱為旋轉曲面的旋轉軸，簡稱軸． 前面講過的球面，圓柱面等都是旋轉曲面． 例4 設母線在平面上，它的平面直角坐標方程為 證明：繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為 ． 證明 設為旋轉曲面上的任一點，并假定點是由曲線上的點繞軸旋轉到一定角度而得到的．因而，且點到軸的距離與到軸的距離相等．而到軸的距離為，到軸的距離為，即 ． 又因為在上，因而，將上式代入得 ， 即旋轉曲面上任一點的坐標滿足方程 .

49、 圖8-32 注 此例說明，若旋轉曲面的母線在平面上，它在平面直角坐標系中的方程為，則要寫出曲線繞軸旋轉的旋轉曲面的方程，只需將方程中的換成±即可． 同理，曲線繞軸旋轉的旋轉曲面的方程為，即將中的換成±． 反之，一個方程是否表示旋轉曲面，只需看方程中是否含有兩個變量的平方和 如在平面內(nèi)的橢圓繞軸旋轉所得到的旋轉曲面的方程為 ， 該曲面稱為旋轉橢球面． 例5 將坐標面上的雙曲線=1分別繞軸和軸旋轉一周,求所生成的旋轉曲面的方程. 解 繞x軸旋轉生成的旋轉雙葉雙曲面: . 繞z軸旋轉生成旋轉單葉雙曲面: 例6

50、直線繞另一條與相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲面叫圓錐面．兩直線的交點為 圓錐面的頂點，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角．試建立頂點在坐標原點，旋轉軸為軸，半頂角為的圓錐面方程． 解 面上直線方程為, 因為旋轉軸為z軸，所以只要將方程中的y改成， 便得到這個圓錐面方程 . 或 ，其中. 顯然圓錐面上任一點M的坐標一定滿足錐面方程.如果點M不住圓錐面上，那么直線OM與z軸的夾角就不等于，于是點M的坐標就不滿足此方程. 4.4 二次曲面 我們把三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.適當選取坐標系，可得到它們的標準方程.下面就它們的標準

51、方程來討論幾種常見的二次曲面的形狀.二次曲面有九種，選取適當?shù)淖鴺讼?，可以得到它們的標準方?前面我們已經(jīng)有了三種二次曲面， 橢圓柱面 ，雙曲柱面，拋物面． 下面我們討論另外6種二次曲面的形狀. 1. 橢圓錐面 由方程所確定的曲面稱為橢圓錐面,圖像如右圖 2．橢球面 由方程 () 所確定的曲面稱為橢球面，稱為橢球面的半軸，此方程稱為橢球面的標準方程． 橢球面的形狀如圖8-33 圖8-33 3．雙曲面 由方程 () (8-4-2) 所確定的曲面稱為單葉雙曲面（圖8-34）． 由方程

52、 () (8-4-3) 所確定的曲面稱為雙葉雙曲面（圖8-35）． 注 方程 和也都是單葉雙曲面． 注 方程 和也都是雙葉雙曲面． 圖8-33 圖8-35 4．拋物面 由方程 () (8-4-4) 所確定的曲面稱為橢圓拋物面． 由方程 () (8-4-5) 所確定的曲面稱為雙曲拋物面． 用截痕法可得到它們的圖形分別如圖(8-

53、33)與(8-34)所示． 注 雙曲拋物面的圖形形狀很象馬鞍，因此也稱馬鞍面． 圖8-34 圖8-35 習題8-4 1． 建立以點為球心，且過原點的球面方程. 2． 方程表示什么曲面？ 3． 一動點與點的距離為與平面的距離的一半，試求其所生成的軌跡，并確定它為何種二次曲面. 4． 將面上的拋物線繞軸旋轉，求出旋轉后所得的曲面方程. 5. 將坐標面上的圓繞軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面方程. 6. 將坐標面上的雙曲線分別繞

54、軸，軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面方程. 7．說明下列二次曲面的名稱，若它們是旋轉曲面，那么，是怎樣生成的？ 8．指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中所表示的不同意義. （1）（2）；（3）；（4）。 9．指出下列各方程在空間解析幾何中所表示的幾何圖形，并作出它們的草圖. 第5節(jié) 空間曲線及其方程 5.1空間曲線的一般方程 空間曲線可看作兩曲面的交線，設 和 是兩曲面的方程，它們的交線為.曲線上的

55、任何點的坐標應同時滿足這兩個曲面方程，因此，應滿足方程組 ， (8-5-1) 反過來，如果點不在曲線上，那么它不可能同時兩曲面上.所以，它的坐標不滿足方程組(1).由上述兩點可知：曲線可由方程組(8-5-1)表示. 圖8-36 方程組(8-5-1)稱作空間曲線的一般方程. 例1 方程組 表示怎樣的曲線？ 解 表示圓柱面，表示平面，所以方程組就表示圓柱面與平面的交線，即橢圓. 例2 討論方程組表示的曲線. 解 該方程組表示上半球面與圓柱面的交線C，如下圖 5.2空間曲線的參數(shù)方程 對于空間

56、曲線，若上的動點的坐標可表示成為參數(shù)的函數(shù) (8-5-2) 隨著的變動可得到曲線上的全部點，方程組(8-5-2)叫做空間曲線參數(shù)方程. 例3 將空間曲線 表示成參數(shù)方程. 解 由方程組消去得 化簡整理得 由于在此橢圓柱面上，故的方程可用如下形式來表示 (1)如果我們以作為參數(shù)，即令 , 則 ， . 從而得到曲線的參數(shù)方程 (2)如果令，由橢球柱面方程有 ，而 , 則曲線又可表示成為 5.3 空間曲線在坐標面上的投影 設空間曲線的一般方程為 ,

57、 (8-5-3) 下面，我們來研究由方程組(8-5-3)消去變量之后所得到的方程 , (8-5-4) 因(8-5-4)是由(8-5-3)消去后所得，則當坐標 適合方程組(8-5-3)時，前兩個坐標必定適合方程(8-5-4)，即曲線上的所有點都在由(8-5-4)表示的曲面上. 而方程(8-5-4)表示一個母線平行于軸的柱面，因此，此柱面必定包含曲線.以曲線為準線，母線平行于軸的柱面叫做關于面的投影柱面； 投影柱面與面的交線叫做空間曲線在面上的投影曲線，該曲線的方程可寫成 . 同理，消去方程組( 8-5-3) 中的變量 或 ，再分別與 或 聯(lián)立，我們便得到了

58、空間曲線在或 面上的投影曲線方程. 或 . 例4 已知 求它們的交線在面上的投影曲線方程. 解 先求包含曲線且母線平行于軸的柱面，從方程組 中消去，有 , 這便是所要求的柱面方程，即一個準線為坐標面上的拋物線，母線平行于軸的拋物柱面. 于是，曲線在面上的投影曲線為 . 在重積分和曲面積分的計算中，往往需要確定一個立體或曲面在坐標面上的投影，這時要利用投影柱面和投影曲線. 有時，我們需要確定一個空間立體（或空間曲面）在坐標面上的投影，一般來說，這種投影往往是一個平面區(qū)域，因此，我們稱它為空間立體（或空間曲面）在坐標面的投影區(qū)

59、域. 投影區(qū)域可以利用投影柱面與投影曲線來確定. 例5 求上半球面 和錐面 所圍成的空間立體在面上的投影區(qū)域. 解 上半球面與錐面的交線C為 由方程組消去變量，有 這是母線平行于軸的投影柱面，空間立體恰好鑲在該柱體內(nèi)，該柱體在面的交線所包圍的區(qū)域正好是在面上的投影區(qū)域. 投影柱面在面上的交線為 這是一個圓，它所包圍的區(qū)域為. 習題8-5 1. 指出下列方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形： （1） ； （2）；（3） 2．求曲線在坐標面上的投影方程. 3.求拋物面與平面的截線在三個坐標面上的投

60、影曲線方程. 4.分別求母線平行于軸及軸而且通過曲線的柱面方程.. 5.求橢圓拋物面與拋物柱面的交線關于面的投影柱面和在面上的投影曲線方程. 6．求空間區(qū)域與的公共部分在坐標面上的投影區(qū)域. 7．畫出旋轉拋物面（）在三個坐標面上的投影. 8.將下列曲線的一般式方程化為參數(shù)方程： 9. 求螺旋線在坐標面上的投影. 第6節(jié) 空間曲線和曲面的應用及舉例 6.1空間曲線的應用及舉例 6.1.1.螺旋線 例1

61、如果空間一點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉，同時又以線速度沿平行于軸的正方向上升(其中：，均為常數(shù))，那未點的軌跡叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程. 解 取時間為參數(shù).設當 時，動點與軸上的點 重合，經(jīng)過時間，動點由運動到. 記在面上的投影為，它的坐標為 由于動點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉，經(jīng)過時間，，從而 . 又由于動點同時以線速度沿平行于軸正方向上升，所以. 因此，螺旋線的參數(shù)方程為 , 或令，則方程形式可化為 . 螺旋線有一個重要性質(zhì)： 當從變到時，由變到；這表明當轉過角時，點沿螺旋線上升了高度；特別地，當轉過

62、一周，即時，點就上升固定的高度為，這個高度在工程技術上叫螺距. 螺旋線有廣泛的應用，如：平頭螺絲釘———圓柱螺旋線、圓錐對數(shù)螺旋天線、植物中的對數(shù)螺旋線現(xiàn)象. 6.1.2 擺線 例2 一個圓在一直線上無滑動地滾動，求圓周上一定點的軌跡該定點的軌跡為旋輪線或擺線（cycloid）. 解 取直角坐標系，設半徑為a的圓在x軸上滾動，開始時點P恰在原點O（如圖），經(jīng)一段時間的滾動，與直線的切點移到A點，圓心移到C的位置，這時有 旋輪線是最速降線，應用廣泛，如體育運動中滑板、高山滑雪等. 6.2曲面的應用 6.2.1 旋轉拋物面的應用

63、 (1) 應用機理 旋轉拋物面可將平行于主光軸(對稱軸)的光線匯聚于其焦點處；反之，也可將放置在焦點處的光源產(chǎn)生的光線反射成平行光束并使光度增大. (2) 實例 ①聚光太陽能灶 當太陽光線照射在呈旋轉拋物面形狀的聚光太陽能灶面上時，太陽的輻射能被聚集在一塊小面積的灶具上，在陽光相對充足的天氣，灶具內(nèi)部溫度可達到280度以上. ②探照燈、汽車車燈的反射鏡 ③天文望遠鏡的反射鏡 它能將來自宇宙的光線聚集在其焦點上，用放大鏡瞄錐此焦點即可得到宇宙的信息. ④衛(wèi)星天線 在實際應用中，衛(wèi)星天線普遍采用旋轉拋物面天線. 這種天線在頻率很高的信

64、號的接收和發(fā)射方面扮演著重要角色. 6.2.2. 錐面的應用 高等植物的外形、莖干，也有其最佳的形態(tài). 許多樹的樹干，都是底部大，上部小，呈圓錐狀.這是一種沉穩(wěn)的、防倒伏的理想幾何形狀. 比較一下云杉、雪松與許多世界著名2. 錐面的應用建筑(如：北京的天壇、西安的大雁塔、荷蘭的Delfut大學圖書館) 的形態(tài)、布局，是多么相像. 6.2.3旋轉單葉雙曲面的應用 (1)應用機理 旋轉單葉雙曲面，又稱為直紋面，它可由直線繞定軸旋轉而成.其上有且只有兩族直母線，同族的兩條直母線不相交，不同族的兩條直母線必相交. (2)實例 化工廠或熱電廠的冷卻塔的外形常采

65、用旋轉單葉雙曲面，其優(yōu)點是對流快，散熱效能好；此外，利用直紋面的特點，可把編織鋼筋網(wǎng)的鋼筋取為直材，建造出外形準確、輕巧且非常牢固的冷卻塔. 習題8-6 1. 把線繞在一個固定圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡(圓的漸伸線或稱為切展線).這種曲線在工業(yè)上常被采用為齒廓曲線. 2. 一動點到兩定點的距離的乘積等于定值，求此動點的軌跡（卡西尼卵形線）. 3. 當一圓周沿著一個定圓的外部作無滑動地滾動時，動圓上一點的軌跡叫做外旋輪線，如果我們用與分別表示定圓與動圓的半徑，試導出其參數(shù)方程（時為心臟線）. 4.

66、設為一圓的直徑，過O任意作一直線OB，與圓上A點的切線相交于B點，設OB與圓交于另一點M，過M及B作交于P點的直線使MP垂直于OA，BP平行于OA，求P的軌跡（箕舌線）. 5. 有一質(zhì)點，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點起，作等速直線運動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸作等速轉動，這時質(zhì)點咋圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，求其方程. 6. 有兩條互相直交的直線與，其中繞作螺旋運動，即一方面繞作等速轉動，另一方面又沿著作等速直線運動，在運動中永遠保持與直交，這樣由所畫出的曲面叫做螺旋面，求其方程. 第7節(jié) MATLAB軟件的應用 7.1向量的運算 下面結合具體問題介紹向量間的加法、減法、點積、叉積等運算及向量的模、向量夾角的求法.注意點積的運算符是鍵盤上的小數(shù)點. 7.1.1.向量的加減 在MATLAB中就是根據(jù)坐標分量來定義向量的.例如在MATLAB中實現(xiàn)向量的線性運算可以在命令窗口執(zhí)行如下語句： 例1 求解以向量為未知元的線性方程組, 其中