2018-2019學年高二數(shù)學上學期期中試題 理(平行班)
時間：
120分鐘
滿分：
150分
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1.若a＜b＜0，則
A．＜
B．0＜＜1
C．＞
D．ab＞b2
2.從編號為001，002，…，500的500個產品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007，032，則樣本中最大的編號應該為
A．480
B．481
C．482
D．483
3.袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中取出兩個球.設事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”．則下列結論正確的是
A．P與R是互斥事件
B．Q與R是互斥事件，但不是對立事件
C．P與Q是對立事件
D．Q與R是對立事件
4.已知A，B兩名同學在5次數(shù)學考試中的成績統(tǒng)計如莖葉圖所示，若A，B兩人的平均成績分別是xA，xB，觀察莖葉圖，下列結論正確的是
A．xA
xB，B比A成績穩(wěn)定
C．xAxB，A比B成績穩(wěn)定
5.中國古代數(shù)學著作“算法統(tǒng)宗”中有這樣一個問題：“三百七十八里關,初步使步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數(shù),請公仔細算相還”．其大意為：“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地．”則該人最后一天走的路程為
A．里
B．里
C．里
D．里
6.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＋a9＝27－a6，則S11＝
A．18
B．99
C．198
D．297
7.若兩個正實數(shù)x,y滿足,且恒成立,則實數(shù)的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S＝88，則判斷框內應填入的條件是
A．k＞4?
B．k＞5?
C．k＞6?
D．k＞7?
9.若關于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
10.已知x,y滿足約束條件，若的最大值為2，則m的值為
A．4
B．5
C．8
D．9
11.某個泊位僅供甲乙兩艘輪船?？?，甲乙兩艘輪船都要在此泊位?？?小時.若他們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率
A．
B．
C．
D．
12.在中，是邊上一點，，，則
A．
B．
C．
D．
Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：每小題5分,共20分.
13.設滿足約束條件，則的最大值為 .
14. 下列說法正確的是 . （寫出所有正確說法的序號）
①如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題；
②命題“”的否定是“”.
③命題“若，則”的否命題是：“若，則”
④特稱命題 “，使”是真命題.
15.已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，，則b+c的最大值是 .
16.在中，角的對邊分別為且 ，若三角形有兩解，則的取值范圍為 .
三、解答題:6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（10分）
設，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
18．（12分）
一次測試中，為了了解學生的學習情況，從中抽取了個學生的成績（滿分為100分）進行統(tǒng)計.按照[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出得分在[50,60)， [90,100]的數(shù)據(jù)）.
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的值；
(2)現(xiàn)從在[80,90)和[90,100]的兩組的成績中隨機抽取2個，求它們屬于同一組的概率.
19.（12分）在中，，，點在上，且，．
(1)求；
(2)求，的長．
20．（12分）已知數(shù)列滿足.
(1)設，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
21．（12分）2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于xx5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當?shù)卦撈放其N售網站了解到近五個月實際銷量如下表：
月份
xx.12
xx.01
xx.02
xx.03
xx.04
月份編號t
1
2
3
4
5
銷量（萬輛）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
(1)經分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量y（萬輛）與月份編號t之間的相關關系.請用最小二乘法求y關于t的線性回歸方程，并預測xx5月份當?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；
(2)2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程（新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數(shù)表：
補貼金額預期值區(qū)間（萬元）
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,7]
頻數(shù)
20
60
60
30
20
10
求這200位擬購買新能源汽車的消費者對補貼金額的心理預期值的樣本方差及中位數(shù)的估計值（同一區(qū)間的預期值可用該區(qū)間的中點值代替；估計值精確到0.1）.
參考公式及數(shù)據(jù)：
①回歸方程，其中；②.
22．（12分）
數(shù)列的前項和為，．
(1)求出數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和；
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
福建師大附中xx上學期期中考試高二（理科平行班）數(shù)學評分標準
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
A
C
B
A
B
D
B
C
B
二、填空題：
13. 3 14. ①②③ 15. 16.
三、解答題:
17.解：由得
∴，即………………………………………………3分
由得
∴，即 ………………………………………………3分
∵是的必要不充分條件
∴是的必要不充分條件
∴………………………………………………8分
∴，解得.………………………………………………10分
18.解：（1）由題意可知，樣本容量，，
．………………6分
（2）成績在[80,90)的共有4個，設這4個成績分別為；成績在[90,100]共有2個，設這2個成績分別為.現(xiàn)從在[80,90)和[90,100]的兩組的成績中隨機抽取2個，基本事件有：
共有15個.
同屬同一組的共有7個，所以屬于同一成績組的概率為.…………………12分
19.解：（1）∵，且，∴，
∴，………………………………………………2分
由得，
………………………………………………6分
（Ⅱ）在中，由正弦定理得，
………………………………………………………………………………………………9分
在中，由余弦定理得
∴．…………………………………………………………………………12分
20. (1)∵bn+1－bn＝－＝－＝－＝2…4分
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．∵a1＝1，∴b1＝2，因此bn＝2＋(n－1)2＝2n，…………6分
由bn＝得an＝.…………………………………………………………7分
(2)由cn＝，an＝得cn＝，……………………………………………………8分
∴……………………………………………………10分
∴Tn.………………………………12分
21.解：（1）易知，
……………………………………………………2分
，………5分
則關于的線性回歸方程為，
當時，，
即xx5月份當?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量約為2萬輛……………………6分.
（2）（i）根據(jù)題意，這200位擬購買新能源汽車的消費者對補貼金額的心里預期值的平均值，樣本方差及中位數(shù)的估計值分別為：
，…………8分
……………………………………………10分
中位數(shù)的估計值為.……………………………………12分
22.解：（），①，
∴當時，，得，……………………………………………1分
當時②，
①-②得：，即，………………………………………2分
∴，
∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴． ………………………………………………………………4分
（）由題意，，……………………5分
∴，
，
兩式相減得
．………………………………………………………………8分
（3）
∵對任意的,不等式恒成立
∴對任意的,不等式恒成立………………………………………9分
設
則
當1≤n≤5時，cn+1-cn>0，即cn+1>cn
當n≥6時cn+1-cn<0，即cn+1
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