2020高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第五節(jié) 幾何概型檢測 理 新人教A版.doc

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第五節(jié) 幾何概型 限時規(guī)范訓練(限時練夯基練提能練) A級　基礎夯實練 1．在[－3,4]上隨機取一個實數(shù)m，能使函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1在R上有零點的概率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B． C. D． 解析：選B.由題意，得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2，所以所求概率為＝，故選B. 2．(2018湖南長沙四縣聯(lián)考)如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是(　　) A．1－ B． C. D．1－ 解析：選A.魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π，所以“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是1－，故選A. 3．在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“sin x＋cos x≥”發(fā)生的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選B.因為 所以即≤x≤. 根據(jù)幾何概型的概率計算公式得P＝＝. 4．在區(qū)間[－π，π]內隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選B.建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結果構成的區(qū)域為正方形ABCD及其內部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必須使Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝＝＝. 5．(2018甘肅武威階段考試)如圖所示的陰影區(qū)域由x軸、直線x＝1及曲線y＝ex－1圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內隨機投擲一點，則該點落在非陰影區(qū)域的概率是(　　) A. B． C．1－ D．1－ 解析：選B.由題意，陰影部分的面積為(ex－1)dx＝(ex－x)＝e－2，∵矩形區(qū)域OABC的面積為e－1，∴該點落在陰影區(qū)域的概率是，故該點落在非陰影區(qū)域的概率為1－＝. 6．(2018合肥一檢)某廣播電臺只在每小時的整點和半點開始播放新聞，時長均為5分鐘，則一個人在不知道時間的情況下打開收音機收聽該電臺，能聽到新聞的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：選D.由題意可知，該廣播電臺在一天內播放新聞的時長為2425＝240分鐘，即4個小時，所以所求的概率為＝，故選D. 7．在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中任取一點M，則滿足∠AMB＞90的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選A.在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中任取一點M，滿足∠AMB＞90的區(qū)域為半徑為1的球體的，體積為π13＝，所以所求概率為＝. 8．函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，x∈[－4,4]，任取一點x0∈[－4，4]，則f(x0)≤0的概率為________． 解析：由x－2x0－3≤0，解得：－1≤x0≤3， 所以使f(x0)≤0成立的概率P＝＝. 答案： 9．折紙已經成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段．已知在折疊“愛心”的過程中會產生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內的概率為________． 解析：設正方形ABCD的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為SAGFE＋SDGHI＋S△ADG＝()2＋()2＋22＝12， 陰影部分的面積為222＝4， 所以向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內的概率為＝. 答案： 10．(2018四川宜賓二中模擬)向如圖所示的邊長為2的正方形區(qū)域內任投一點，則該點落入陰影部分的概率為________． 解析：由題意可知陰影部分的面積為2x3dx＝2x4＝，所以所求概率為P＝＝. 答案： B級　能力提升練 11．如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能的任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過R的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：選D.由題意知，當MN＝R時，∠MON＝，所以所求概率為＝. 12．(2018四川成都外國語學校月考)《九章算術》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：已知直角三角形的兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步．現(xiàn)若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是(　　) A. B． C．1－ D．1－ 解析：選D.直角三角形的斜邊長為＝17， 設內切圓的半徑為r，則8－r＋15－r＝17，解得r＝3. ∴內切圓的面積為πr2＝9π， ∴豆子落在內切圓外的概率P＝1－＝1－. 13．(2018湖南益陽調研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：選C.若函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，且與b的值無關，解得－＜a＜，∵a∈{－2,0,1,2,3}，∴a∈{0,1}，∴函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是. 14．(2018廣西欽州質檢)已知P是△ABC所在平面內一點，且＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，則黃豆落在△PBC內的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：選C.以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，連接PD交BC于點O，則＋＝. ∵＋＋2＝0， ∴＋＝－2，＝－2， 由此可得，P是BC邊上的中線AO的中點，點P到BC的距離等于點A到BC的距離的，∴S△PBC＝S△ABC，∴將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，黃豆落在△PBC內的概率為P＝＝. 15．如圖，正四棱錐SABCD的頂點都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內任取一點，則這點取自正四棱錐內的概率為________． 解析：設球的半徑為R，則所求的概率為P＝＝＝. 答案： C級　素養(yǎng)加強練 16．已知菱形ABCD的邊長為4，∠ABC＝，若在菱形內任取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離大于1的概率為________． 解析：如圖，分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑作圓，∴到菱形的四個頂點的距離大于1的點構成的區(qū)域為陰影部分所示，易知菱形內的四個扇形的面積之和為一個整圓的面積，為π12＝π，∵∠ABC＝，∴∠BAD＝，∴菱形的面積為44sin 2＝8，則陰影部分的面積為8－π，故所求的概率P＝＝1－. 答案：1－