中考數(shù)學專題復(fù)習卷 銳角三角函數(shù)（含解析）.doc

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銳角三角函數(shù) 一、選擇題 1.計算 =（ ） A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 ： tan 45 =1 故答案為:B?！痉治觥扛鶕?jù)特殊銳角三角函數(shù)值即可得出答案。 2.下列運算結(jié)果正確的是 A.3a32a2=6a6B.(-2a)2= -4a2C.tan45= D.cos30= 【答案】D 【解析】 A、原式=6a5 ， 故不符合題意； B、原式=4a2 ， 故不符合題意； C、原式=1，故不符合題意； D、原式= ，故符合題意． 故答案為：D 【分析】根據(jù)單項式乘以單項式，系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，底數(shù)不變，指數(shù)相加；積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值即可一一得出答案，再進行判斷即可。 3.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點0,BD=8,tan∠ABD= ,則線段AB的長為( ). A.B.2 C.5D.10 【答案】C 【解析】 ：∵菱形ABCD,BD=8 ∴AC⊥BD， 在Rt△ABO中， ∴AO=3 ∴ 故答案為：C 【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，得出AC⊥BD，求出BO的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求出AO的長，然后根據(jù)勾股定理就可求出結(jié)果。 4.數(shù)學活動課，老師和同學一起去測量校內(nèi)某處的大樹 的高度，如圖，老師測得大樹前斜坡 的坡度i=1:4，一學生站在離斜坡頂端 的水平距離DF為8m處的D點，測得大樹頂端A的仰角為 ，已知 ，BE=1.6m，此學生身高CD=1.6m，則大樹高度AB為（ ）m. A.7.4 B.7.2 C.7 D.6.8 【答案】D 【解析】 如圖所示:過點C作 延長線于點G,交EF于點N, 根據(jù)題意可得: , 計算得出: , , , , , 設(shè) ,則 , 故 ,即 , 計算得出: , 故 , 則 , 故答案為：D. 【分析】將大樹高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：過點C作 C G ⊥ A B 延長線于點G,交EF于點N,因為斜坡 D E 的坡度i=1:4，所以,解得EF=2，而 sinα=，設(shè)AG=3x,則AC=5x ,所以BC=4x ,即8+1.6=4x ,解得 x = 2.4 ，所以AG=2.43=7.2m ,則AB=AG?BG=7.2?0.4=6.8m。 5. 如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB=α，則拉線BC的長度為（A、D、B在同一條直線上）（ ） A.B.C.D.h?cosα 【答案】B 【解析】 ：∵∠CAD+∠ACD=90，∠ACD+∠BCD=90， ∴∠CAD=∠BCD， 在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ， ∴BC= = ， 故選：B． 【分析】根據(jù)同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD= 知BC= = ． 6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑，交BC于點E，若DE＝2，OE＝3，則 （ ） A.4 B.3 C.2 D.5 【答案】A 【解析】 ：如圖，連接BD，CD ∵DO=2，OE=3 ∴OA=OD=5 ∴AE=OA+OE=8 ∵∠ABE=∠EDC，∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DEC ∴① 同理可得：△AEC∽△BED ∴② 由①②得 ∵AD是直徑 ∴∠ABD=∠ACD=90 ∴tan∠ACB=∠ADB= tan∠ABC=tan∠ADC= tan∠ACBtan∠ABC===4 故答案為：A 【分析】根據(jù)OD和OE的長，求出AE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定，得出，利用銳角三角函數(shù)的定義，可證得tan∠ACBtan∠ABC=，代入求值即可。 7.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，cosA的值等于,則AB的長度是（ ） A.3B.4C.5D. 【答案】D 【解析】 ：∵Rt△ABC中，∠C=90，cosA的值等于 ∴cos∠A== ∴= 解之：AB= 故答案為：D 【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，列出方程cos∠A==，求出AB的值即可。 8. 如圖，一艘輪船在A處測得燈塔P位于其北偏東60方向上，輪船沿正東方向航行30海里到達B處后，此時測得燈塔P位于其北偏東30方向上，此時輪船與燈塔P的距離是（ ） A.15 海里B.30海里C.45海里D.30 海里 【答案】B 【解析】 ：作BD⊥AP，垂足為D ． 根據(jù)題意，得∠BAD=30，BD=15海里， ∴∠PBD=60， 則∠DPB=30，BP=152=30（海里）， 故選：B． 【分析】作CD⊥AB，垂足為D．構(gòu)建直角三角形后，根據(jù)30的角對的直角邊是斜邊的一半，求出BP． 9.如圖，在 中， ， ， ，則 等于（ ） A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 ：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC= ， ∴sinA= . 故答案為：A． 【分析】首先根據(jù)勾股定理算出BC的長，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得出答案。 10.一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30方向，繼續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15方向，那么海島B離此航線的最近距離是（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）（參考數(shù)據(jù)： ）（ ） A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里 【答案】B 【解析】 ：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE， ∵AC=30，∠CAB=30∠ACB=15， ∴∠ABC=135， 又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15， ∴∠ABE=120， 又∵∠CAB=30 ∴BA=BE，AD=DE， 設(shè)BD=x， 在Rt△ABD中， ∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， ∴x= = ≈5.49， 故答案為：B. 【分析】根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出BA=BE，AD=DE，設(shè)BD=x，Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案. 二、填空題 11.在△ABC中，∠C=90，若tanA= ，則sinB=________． 【答案】 【解析】 ：如圖所示： ∵∠C=90，tanA= ， ∴設(shè)BC=x，則AC=2x，故AB= x， 則sinB= . 故答案為： ． 【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義由tanA=， 設(shè)BC=x，則AC=2x，根據(jù)勾股定理表示出AB的長，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得出答案。 12.如圖，在菱形紙片ABCD中， ，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點 分別在邊 上，則 的值為________ ． 【答案】 【解析】 如圖，作EH⊥AD于H，連接BE，BD、AE交FG于O， 因為四邊形ABCD是菱形，∠A=60， 所以△ADC是等邊三角形，∠ADC=120， ∵點E是CD的中點， 所以ED=EC= ，BE⊥CD， Rt△BCE中，BE= CE= ， 因為AB∥CD， 所以BE⊥AB， 設(shè)AF=x，則BF=3-x，EF=AF=x， 在Rt△EBF中，則勾股定理得，x2=(3-x)2+( )2 ， 解得x= ， Rt△DEH中，DH= DE= ，HE= DH= ， Rt△AEH中，AE= = ， 所以AO= ， Rt△AOF中，OF= = ， 所以tan∠EFG= = ， 故答案為 .【分析】作EH⊥AD于H，連接BE，BD、AE交FG于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定方法得出△ADC是等邊三角形，∠ADC=120，根據(jù)等邊三角形的三線合一得出ED=EC= ，BE⊥CD，Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得出BE,CE的長，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出BE⊥AB，設(shè)AF=x，則BF=3-x，EF=AF=x，在Rt△EBF中，則勾股定理得出方程求解得出x的值，Rt△DEH中，DH= DE=，HE= DH= ，Rt△AEH中，利用勾股定理得出AE的長，進而得出AO的長，Rt△AOF中，利用勾股定理算出OF的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出答案。 13.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，∠C=30，BC= ，以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E，則圖中陰影部分面積是________ 【答案】 【解析】 ：連接BE． ∵∠B=90，∠C=30，BC= ，∴∠A=60，AB=1．∵AB=EB，∴△ABE是等邊三角形，∴∠ABE=60，∴S弓形=S扇形ABE﹣S△ABE= = ． 故答案為： ． 【分析】連接BE．因為∠B=90，∠C=30，BC= ， 由∠C的正切可得tan∠C=,所以AB==1，由題意以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E可得AB=EB，所以△ABE是等邊三角形，則∠ABE=60，圖中陰影部分面積=扇形ABE的面積-三角形ABE的面積=-1=-. 14.如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為45和30．若飛機離地面的高度CH為1200米，且點H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為________米（結(jié)果保留根號）． 【答案】 【解析】 ：依題可得：∠ACD=45,∠BCD=30,CH=1200, ∵CD∥AB， ∴∠CAH=∠ACD=45,∠CBH=∠BCD=30, ∴AH=CH=1200, 設(shè)AB=x米， 在Rt△CHB中， ∴tan∠CBH= , 即 = ， 解得：x=1200 -1200. 故答案為：1200 -1200. 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件得∠CAH=∠ACD=45,∠CBH=∠BCD=30,設(shè)AB=x米，在Rt△CHB中，根據(jù)正切三角函數(shù)定義建立等式，代入數(shù)值解方程即可得AB長. 15.如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是銳角，AE⊥BC于點E，M是AB的中點，連結(jié)MD，ME．若∠EMD=90，則cosB的值為________。 【答案】 【解析】 ：延長DM交CB的延長線于H， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB=AD=BC=2,AD∥BC， ∴∠ADM=∠H， 又∵M是AB的中點， ∴AM=BM=1， 在△ADM和△BHM中， ∵ ， ∴△ADM≌△BHM（AAS）， ∴DM=HM，AD=BH=2, ∵EM⊥DM， ∴EH=ED, 設(shè)BE=x， ∴EH=ED=2+x， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=∠EAD=90, ∴AE2=AB2-BE2=ED2-AD2, 即22-x2=（2+x）2-22, 化簡得：x2+2x-2=0， 解得：x=-1， 在Rt△ABE中， ∴cosB=. 故答案為： . 【分析】延長DM交CB的延長線于H，由菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得：AB=AD=BC=2,∠ADM=∠H；由全等三角形的判定AAS得△ADM≌△BHM，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DM=HM，AD=BH=2,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EH=ED,設(shè)BE=x，則EH=ED=2+x，根據(jù)勾股定理得AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入數(shù)值解這個方程即可得出BE的長. 16.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則tan∠AOD=________. 【答案】2 【解析】 ：連接BE交CF于點G（如圖）， ∵四邊形BCEF是邊長為1的正方形， ∴BE=CF= ，BE⊥CF， ∴BG=EG=CG=FG= , 又∵BF∥AC， ∴△BFO∽△ACO， ∴ , ∴CO=3FO， ∴FO=OG= CG= ， 在Rt△BGO中， ∴tan∠BOG= =2, 又∵∠AOD=∠BOG, ∴tan∠AOD=2. 故答案為:2. 【分析】連接BE交CF于點G（如圖），根據(jù)勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性質(zhì)得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ,又根據(jù)相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性質(zhì)得 ,從而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根據(jù)正切的定義得tan∠BOG= =2,根據(jù)對頂角相等從而得出答案. 17.如圖。在 的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點. 的頂點都在格點上,則 的正弦值是________． 【答案】 【解析】 ∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2 ， ∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90，則sin∠BAC= = ． 故答案為： ． 【分析】首先根據(jù)方格紙的特點，算出AB2，AC2，BC2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得出答案。 18.一副含30和45角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC=EF=12cm（如圖1），點G為邊BC（EF）的中點，邊FD與AB相交于點H，此時線段BH的長是________．現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），在∠CGF從0到60的變化過程中，點H相應(yīng)移動的路徑長共為________．（結(jié)果保留根號） 【答案】； 【解析】 ：如圖 如圖1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，則四邊形HMCN是正方形，設(shè)邊長為a. 在Rt△ABC中,∵∠ABC=30°，BC=12， ∴AB==8， 在Rt△BHM中，BH=2HM=2a， 在Rt△AHN中,AH==a， ∴2a+=8， ∴a=6?6， ∴BH=2a=12?12. 如圖2中,當DG∥AB時,易證GH1⊥DF， BH1的值最小,則BH1=BK+KH1=3+3， ∴HH1=BH?BH1=9?15， 當旋轉(zhuǎn)角為60時，F(xiàn)與H2重合，易知BH2=6， 觀察圖象可知,在∠CGF從0到60的變化過程中， ∴點H相應(yīng)移動的路徑長=2HH1+HH2=18?30+[6?(12?12)]=12?18， 故答案為：12?12,12?18.【分析】如圖1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，則四邊形HMCN是正方形，設(shè)邊長為a，利用解直角三角形求出AB的長，用含a的代數(shù)式分別表示BH、AH的長，再根據(jù)AB=AH+BH，就可求出a的值，從而求出BH的值即可；如圖2中,當DG∥AB時,易證GH1⊥DF，得出此時BH1的值最小，求出BH1的值，再求出BH2的值，然后求值在∠CGF從0到60的變化過程中，點H相應(yīng)移動的路徑長即可。 三、解答題題 19. 先化簡，再求值：（ ﹣ ） ，其中a=2sin60﹣tan45． 【答案】解：原式=[ ﹣ ]?（a﹣1） = ?（a﹣1） = 當a=2sin60﹣tan45=2 ﹣1= ﹣1時， 原式= = 【解析】【分析】將原式括號內(nèi)通分、將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計算減法，最后約分即可化簡原式，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得a的值，代入即可． 20.為了計算湖中小島上涼亭P到岸邊公路l的距離，某數(shù)學興趣小組在公路l上的點A處，測得涼亭P在北偏東60的方向上；從A處向正東方向行走200米，到達公路l上的點B處，再次測得涼亭P在北偏東45的方向上，如圖所示．求涼亭P到公路l的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： ， ） 【答案】解：依題可得：AB=200米，∠PAC=60，∠PBD=45，令PG=x米，作PG⊥l， ∴∠PAG=30，∠PBG=45， ∴△PBG為等腰直角三角形， ∴BG=PG=x, 在Rt△PAG中， ∴tan30= , 即 ， ∴x=100（ +1）≈273 答：涼亭P到公路l的距離是273米． 【解析】【分析】令PG=x米，作PG⊥l，根據(jù)題意可得△PBG為等腰直角三角形，即BG=PG=x,在Rt△PAG中，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義可得tan30= ,代入數(shù)值解方程即可. 21.如圖，湛河兩岸AB與EF平行，小亮同學假期在湛河邊A點處，測得對岸河邊C處視線與湛河岸的夾角∠CAB=37，沿河岸前行140米到點B處，測得對岸C處的視線與湛河岸夾角∠CBA=45.問湛河的寬度約多少米?(參考數(shù)據(jù)：sin37≈0.60，cos37=0.80，tan37=0.75) 【答案】解：過C作CD⊥AB于點D， 設(shè)CD=x米． 在Rt△BDC中，∠CDB=90，∠CBD=45，∴BD=CD=x ． 在Rt△ADC中，∠ADC=90，∠CAD=37，∴AD= ． ∵AB=AD+DB=140，∴ ，∴x=60． 答：湛河的寬度約60米． 【解析】【分析】過C作CD⊥AB于點D，設(shè)CD=x米，在Rt△BDC中，∠CDB=90，∠CBD=45，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD=x ，在Rt△ADC中，∠ADC=90，∠CAD=37，由tan∠CAD=tan37=,所以AD=,而由題意得AB=AD+DB=140，所以++ x = 140，解得x=60． 22.已知:在平面直角坐標系中,點0為坐標原點,點A在x軸的負半軸上,直線 與x軸、y軸分別交于B、C兩點,四邊形ABCD為菱形. （1）如圖1，求點A的坐標； （2）如圖2,連接AC,點P為△ACD內(nèi)一點,連接AP、BP,BP與AC交于點G,且∠APB=60,點E在線段AP上,點F在線投BP上,且BF=AE.連接AF、EF,若∠AFE=30,求AF +EF 的值; （3）如圖3在(2)的條件下,當PE=AE時,求點P的坐標. 【答案】（1）解：如圖1∵ :BO= ，CO= 在R△BCO中 ∴四邊形ABCD為菱形∴AB=BC=7 ∴AO=AB-BO= ∴ （2）解：如圖2 ∵AO= =BO，CO⊥AB∴AC=BC=7 AB=AC=BC∴△ABC為等邊三角形∴∠ACB=60 ,∠APB=60∴∠APB=∠ACB ∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB ∵∠PAG=∠CBG連接CE、CF ∵AE=BF∴△ACE≌△BCF ∴CE=CF∠ACE=∠BCF ∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60 △CEF為等邊三角形 ∴∠CFE=60EF=FC∵∠AFE=30∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90 在Rt△ACF中∴AF2+CF2=AC2=72=49∴AF2+EF2=49 （3）解：如圖 由(2)知△CEF為等邊三角形 ∠CEF=60EC=EF延長CE、FA交于點H ∵∠AFE=30∠CEF=∠H+∠EFH ∠H=∠CEF-∠EFH=30∴∠H=∠EFH∴EH=EF EC=EH連接CP∵PE=AE∠CEP=∠HEA △CPE≌△HAE∴∠PCE=∠H:CP∥FH ∠HFP=∠CPF在BP上截取TB=AP 連接TC由(2)知∠CAP=∠CBT∵AC=BC∴,△ACP≌△BCT CP=CT∠ACP=∠BCT∴∠PCT=∠ACP+∠ACT=∠BCT+∠ACT=∠ACB=60 △CPT為等邊三角形∴CT=PT∠CPT=∠CTP=60 CP∥FH∴∠HFP=∠CPIT=60∵∠APB=60∴∠APB=∠AFP∴AP=AF △APF為等邊三角形∴∠CFP=∠AFC-∠AFP=90-60=30 ∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=60-30=30∴∠TCF=∠TFC∴TF=TC=TP 連接AT則AT⊥BP設(shè)BF=m則AE=PE=m PF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m 在Rt△APT中AT= 在Rt△ABT中,AT2+TB2=AB2∴ ∴m1=- (舍去)m2= BF= ,AT= ,BP=3 , 作PQ⊥AB垂足為點Q,作PK⊥OC,垂足為點K,則四邊形PQOK為矩形 則OK=PQ=BPsin∠PBQ=3 x2=3 【解析】【分析】（1）先求出直線BC與兩坐標軸的交點B、C的坐標，再利用勾股定理求出BC的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=BC，然后求出AO的長，就可得出點A的坐標。 （2）根據(jù)點A、B的坐標，可證得△ABC是等邊三角形，可得出AC=AB，再證明∠PAG=∠CBG，根據(jù)已知AE=BF，就可證得△ACE≌△BCF，得出CE=CF,∠ACE=∠BCF，然后證明∠AFC=90，在Rt△ACF中，利用勾股定理就可結(jié)果。 （3）延長CE、FA交于點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及已知條件，先證明EC=EH，連接CP，易證△CPE≌△HAE，得出∠PCE=∠H，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出∠HFP=∠CPF，在BP上截取TB=AP，連接TC，證明△ACP≌△BCT，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，去證明TF=TC=TP，連接AT，得出AT⊥BP，設(shè)BF=m,AE=PE=m,再根據(jù)勾股定理求出m的值，作PQ⊥AB，PK⊥OC，可得出四邊形PQOK是矩形，利用解直角三角形求出PQ的長，就可求出BQ、OQ的長，從而可得出點P的坐標。