2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(宏志班含解析).doc

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2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(宏志班，含解析) 一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. 直線的傾斜角為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 命題“對任意，都有”的否定為（ ） A. 對任意，使得 B. 存在，使得 C. 存在，都有 D. 不存在，使得 【答案】B 【解析】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，命題“對任意，都有”的否定為“存在，使得”，故選B. 3. 圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則它的側(cè)面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圓柱沿一條母線剪開，所得到的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，它的長是底面圓的周長，即，寬為母線長為，所以它的面積為,故選C. 4. 設(shè)表示三條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，給出下列三個(gè)命題：①若，則；②若，是在內(nèi)的射影，，則；③若則. 其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】試題分析：由表示三條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面知：在①中，若，則平面成角，所以，故①正確；在 ②中，若是在內(nèi)的射影，，則由三垂線定理得，故②正確； 對于③，，則錯(cuò)誤，如墻角的三個(gè)面的關(guān)系， 故③錯(cuò)誤，真命題的個(gè)數(shù)為，故選C. 考點(diǎn)：空間直線與平面之間的關(guān)系. 5. 直線與直線垂直，則直線在軸上的截距是( ) A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】直線與直線垂直，直線令 ，可得 ，直線在軸上的截距是，故選B. 6. 已知平面及平面同一側(cè)外的不共線三 點(diǎn)，則“三點(diǎn)到平面的距離都相等”是“平面平面”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分又不必要件 【答案】C 【解析】由“平面”可以得到三點(diǎn)到平面的距離相等,若不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，因?yàn)? 在平面 的同側(cè)，可得 ， ，根據(jù)面面平行的判定定理可得“平面”,所以 , 平面及平面同一側(cè)外的不共線三 點(diǎn)，則“三點(diǎn)到平面的距離都相等”是“平面平面”的充要條件，故選C. 7. 空間四邊形中，,,,點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如圖，連接 為中點(diǎn)，在中，可得，由，則，那么．故本題答案選． 點(diǎn)睛：進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一點(diǎn)出發(fā)的基本量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘來求解，充分利用相等的向量，相反的向量和線段的比例關(guān)系，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來解決． 8. 設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足，則取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 點(diǎn)是曲線，即 上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)也滿足，，表示橢圓 內(nèi)部部分，可行域如圖，可得，即，則 取值范圍為，故選D. 9. 已知橢圓和點(diǎn)，，若橢圓的某弦的中點(diǎn)在線段上，且此弦所在直線的斜率為，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：設(shè)動弦端點(diǎn)，中點(diǎn)為，則有且有，則兩式相減化為， 即，，中點(diǎn)在上，，可得 ，解得，故選A. 考點(diǎn)：橢圓的方程及幾何性質(zhì). 10. 某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則這個(gè)球的表面積是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 .................. 【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響. 11. 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)是其左、右焦點(diǎn)， 為橢圓上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ） A. B . C. D 【答案】A 【解析】，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取得最小值，故選A. 12. 過拋物線 的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)交其準(zhǔn)線于點(diǎn)若則此拋物線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如圖，分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得，由定義得，故，在直角三角形中， ，從而得 ，求得，因此拋物線方程為，故選B. 【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及拋物線的定義和幾何性質(zhì)，屬于難題. 與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題順利得到解決. 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13. 若向量________. 【答案】 【解析】 ，可設(shè)，又，，或，故答案為或. 14. 三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值為________. 【答案】. 【解析】如下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則可知即為異面直 線，所成角（或其補(bǔ)角）易得， ，， ∴，即異面直線，所成角的余弦值為. 考點(diǎn)：異面直線的夾角. 視頻 15. 設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線的左頂點(diǎn)，以，為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于，兩點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的離心率為________. 【答案】 【解析】 如圖，，由已知條件知圓的方程為由，得，，又，，，，即雙曲線的離心率為，故答案為. 【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線、離心率及簡單性質(zhì)，屬于難題. 離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，根據(jù)題平面向量夾角的余弦公式，建立關(guān)于焦半徑和焦距的關(guān)系．從而找出之間的關(guān)系，求出離心率． 16. 下列四個(gè)命題：（1）已知向量是空間的一組基底，則向量也是空間的一組基底；（2） 在正方體中，若點(diǎn)在內(nèi)，且，則的值為1；（3） 圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)有2個(gè)；（4）方程表示的曲線是一條直線.其中正確命題的序號是________. 【答案】(1)(2)(4) 【解析】（1）已知向量是空間的一組基底，即向量不共面，則也不共面，所以向量是空間的一個(gè)基底，正確；（2） ， ， ，正確；（3）由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為， 圓上的點(diǎn)到直線的距離為的點(diǎn)有個(gè)，錯(cuò)誤；（4）由題意可化為或，不成立，方程 表示的曲線是一條直線，正確，故答案為(1)(2)(4). 三、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程步驟） 17. 已知，設(shè)命題：指數(shù)函數(shù)≠在上單調(diào)遞增.命題：函數(shù)的定義域?yàn)椋簟啊睘榧伲啊睘檎?，求的取值范圍? 【答案】a的取值范圍為[0，1]∪[4，＋∞). 【解析】試題分析：化簡命題可得，化簡命題可得，由為真命題，為假命題，可得一真一假，分兩種情況討論，對于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析：由命題p，得a＞1，對于命題q，即使得x∈R，ax2－ax＋1＞0恒成立 若a＞0，△＝a2－4a＜0，即0＜a＜4 若a＝0，1＞0恒成立，滿足題意，所以0≤a＜4 由題意知p與q一真一假， 當(dāng)p真q假時(shí) ，所以a≥4． 當(dāng)p假q真時(shí)，，即0≤a≤1． 綜上可知，a的取值范圍為[0，1]∪[4，＋∞)． 18. 已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的方程為． （1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求與圓相交所得的弦長； （2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程． 【答案】(1);(2) 直線l的方程為y=x或y=﹣x. 【解析】試題分析：(1) 由已知，直線的方程為，圓圓心為，半徑為，求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理可求與圓相交所得的弦長；（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，設(shè) ，則 ，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的坐標(biāo)，即可求直線的方程. 試題解析：（1）由已知，直線l的方程為y=x，圓C圓心為（0，3），半徑為， 所以，圓心到直線l的距離為=．… 所以，所求弦長為2=2． （2） 設(shè)A（x1，y1），因?yàn)锳為OB的中點(diǎn)，則B（2x1，2y1）． 又A，B在圓C上， 所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0． 解得y1=1，x1=1， 即A（1，1）或A（﹣1，1） 所以，直線l的方程為y=x或y=﹣x． 19. 如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，。過作一個(gè)平面使得 . （1）求平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比. （2）若平面與平面之間的距離為，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比為;(2) . 【解析】試題分析：（1）設(shè)平面與直線分別交于，因?yàn)槠矫妫?，可得分別是的中點(diǎn)，根據(jù)棱錐的體積公式可得，從而可得平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比；（2）因?yàn)閮蓛纱怪保詾檩S，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量以及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值. 試題解析：（1）記平面與直線. 因?yàn)椋? 由已知條件易知，又因. 所以 可得 所以. 即平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比為. （2）建立直角坐標(biāo)系，記 則 因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄? 設(shè) 得， 取得平面. 由條件易知點(diǎn)到平面距離.即. 所以.直線與平面所成角滿足 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查棱錐的體積公式以及利用空間向量線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離. 20. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn) 的距離比它到直線的距離小，記動點(diǎn)的軌跡為.若以為圓心，r為半徑（）作圓，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)并延長SA、SB，分別交曲線于C、D兩點(diǎn)。 (1)求曲線的方程. (2)求證：直線CD的斜率為定值； 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析：（1）動點(diǎn)到點(diǎn) 的距離比它到直線的距離小，可得動點(diǎn)到點(diǎn) 的距離與它到直線的距離相等，由定義可得曲線方程為；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程 聯(lián)立得：可得 ，由，可得直線的斜率為 ， ,利用斜率公式可得結(jié)果. 試題解析：（1）動點(diǎn)到點(diǎn) 的距離比它到直線的距離小，可得動點(diǎn)到點(diǎn) 的距離與它到直線的距離相等，由定義可得曲線方程為. (2)設(shè)，與拋物線方程 聯(lián)立得： ， 由題意有， . 21. 如圖，已知點(diǎn)分別是Δ的邊的中點(diǎn)，連接.現(xiàn)將沿折疊至Δ的位置,連接.記平面 與平面 的交線為，二面角大小為. （1）證明： （2）證明： （3）求平面與平面 所成銳二面角大小. 【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3） . 【解析】試題分析：（1）由分別是Δ的邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）由三角形中位線定理以可判定四邊形平行四邊形，進(jìn)而可得四邊形為菱形，于是可得，, ，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（3）作于交于,可知是的中點(diǎn)，折疊后角是二面角的平面角，可證明等腰的底角是平面與平面所成銳二面角的平面角，進(jìn)而可得結(jié)果. 試題解析：（1）證明：因?yàn)榉謩e是Δ的邊的中點(diǎn)，所以經(jīng)過的平面與平面的交線為， 又 , . （2）證明：記 且 ,四邊形 又 , . , 則得. 又, . (3) 過,易知是的中點(diǎn)， 易知折疊后角是二面角的平面角. , 則可知. .易知 等腰的底角角是所成銳二面角的平面角， 易知角 . 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、二面角的求法，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的. 22. 已知圓（其中為圓心）上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線。 （1）求曲線的方程； （2）若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線交圓于不同的兩點(diǎn)（其中在的右側(cè)），已知點(diǎn)。求四邊形面積的最大值。 【答案】（1）；（2）. 【解析】試題分析：（1）曲線上任意一點(diǎn)，則為上的點(diǎn)，從而可得曲線的方程為，化簡可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），設(shè)，由，根據(jù)判別式為零可得，根據(jù)韋達(dá)定理、弦長公式以及三角形面積公式可得，同理可得，則，利用基本不等式可得四邊形面積的最大值. 試題解析：（1）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則為上的點(diǎn)， ，曲線。 （2）易知直線的斜率存在，設(shè)， ， ，即， 因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到直線的距離為， 則，， ， 由， ， ， ， 而，，易知，， ，， 。