新課標高考數(shù)學 總復習：考點19點、直線、平面之間的位置關系含解析

《新課標高考數(shù)學 總復習：考點19點、直線、平面之間的位置關系含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新課標高考數(shù)學 總復習：考點19點、直線、平面之間的位置關系含解析（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 考點19 點、直線、平面之間的位置關系 1.（20xx山東高考理科Ｔ3）在空間，下列命題正確的是（ ） （A）平行直線的平行投影重合 （B）平行于同一直線的兩個平面平行 （C）垂直于同一平面的兩個平面平行 （D）垂直于同一平面的兩條直線平行 【命題立意】 本題考查空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力. 【思路點撥】 可利用特殊圖形進行排除. 【規(guī)范解答】選D.在正方體中，，但它們在底面上的投影仍平行，故A選項不正確；平面與平面都平行于直線，但平面與平面相交，故B選項不正確；平面與平面都垂直于平面，但平面

2、與平面相交，故C選項不正確；而由空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質定理可以證明選項D正確. 2.（20xx浙江高考理科Ｔ6）設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若，，則 （B）若，，則 （C）若，，則 （D）若，，則 【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關系，考查空間想象能力. 【思路點撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理. 【規(guī)范解答】選B.如圖（1），選項A不正確；如圖（2），選項B正確；如圖（3）選項C不正確；如圖（4）選項D不正確. 3.（20xx福建高考理科Ｔ6）如圖，若是長方體被

3、平面EFCH截去幾何體后得到的幾何體，其中E為線段上異于的點，F(xiàn)為線段上異于的點，且EH//，則下列結論中不正確的是（ ） (A)EH//FG (B)四邊形EFGH是矩形 (C)是棱柱 (D)是棱臺 【命題立意】本題考查考生對立體幾何體的理解程度、空間想像能力. 靈活，全面地考查了考生對知識的理解. 【規(guī)范解答】選D，若FG不平行于EH，則FG與EH相交，交點必然在 B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG//EH；由面，得到，可以得到四邊形EFGH為矩形，將從正面看過去，就知道是一個五棱柱，C正確；D沒能正確理解棱臺與這個圖形.

4、 【方法技巧】線線平行，線面平行，面面平行是空間中的三種重要的平行關系，他們之間可以進行相互的轉化，他們之間的轉化關系就是我們學習的判定定理和性質定理，我們要熟練掌握這些定理并利用這些定理進行轉化.我們以上面的題目進行變式訓練： （1）證明：//平面. （2）若E,F分別為A1B1，B1B的中點，證明：平面//平面. 證明：(1) 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，又，，又平面，所以平面； (2) E,F分別為的中點，又EH//A1D1，，平面平面； 4.（20xx廣東高考理科Ｔ18）如圖，是 半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B 和點C為線段AD的三等分點

5、.平面AEC外一點F滿足 FB=FD=a，F(xiàn)E=a (1)證明：EB⊥FD. (2)已知點Q,R分別為線段FE,FB上的點，使得 FQ=FE,FR=FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值. 【命題立意】本題考察空間點、線、面之間的關系以及空間幾何體的相關計算. 【思路點撥】（1）點E為的中點，B為AC的中點，AC為直徑是直角三角形，又面 EB⊥FD. (2)作出二面角的棱證明為所求二面角的平面角求，，sin∠RBD 【規(guī)范解答】（1）連結,CE.因為是半徑為a的半圓，為直徑，點E為的中點，B為AC中點，所以，在中，，在中，，所以是等腰三角形，且點是底邊的中點，所以在

6、Rt△ECF中， 在中，，所以是直角三角形，所以. 由，，且，所以面， 又 面，所以， 所以平面，而平面，所以 （2）過點作， FQ=FE,FR=FB， ， ， 與共面且與共面， 為平面BED與平面RQD所成二面角的棱. 由（1）知，平面， 平面，而平面，平面， ，，是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角. 在中，， ， =. 由余弦定理得：， 又由正弦定理得： ，即 所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為 【方法技巧】求無棱二面角，往往需先作出二面角的棱，并證明之，然后再作（證）二面角的平面角. 5.（20xx浙江高考文科Ｔ2

7、0）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120.E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點. （Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE； （Ⅱ）設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，線面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力. 【思路點撥】（1）可以在面內(nèi)找一條直線與BF平行， 從而證明線面平行；（2）求線面角的關鍵是找到對應的平面角. 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)取A′D的中點G，連結GF，CE，EG,由條件易 知

8、FG∥CD，F(xiàn)G=CD. BE∥CD,BECD.所以FG∥BE,FG=BE. 故四邊形BEGF為平行四邊形, 所以BF∥EG, 因為平面，BF平面，所以 BF//平面. （Ⅱ）在平行四邊形ABCD中，設BC=a，則AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 連結CE,A′M. 因為120，在△BCE中，可得CE=a, 在△ADE中，可得DE =a, 在△CDE中，因為CD 2=CE 2+DE 2，所以CE⊥DE, 在正三角形A′DE中，M為DE中點， 所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD, 可知A′M⊥平面BCD, A′M⊥CE.取A′E的中點N， 連結NM，NF

9、，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因為DE∩A′M = M, 所以NF⊥平面A′DE,則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角. 在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a,則cos=. 所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為. 【方法技巧】找線面所成角時，可適當?shù)淖饕粭l面的垂線，從而把線面角轉化為線線夾角. 6.（20xx陜西高考文科Ｔ１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是 矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點. (1)證明：EF∥平面PAD； (2)求三棱錐E—ABC的體積V. 【命題立意】本題考查了

10、空間幾何體的的線線、線面平行及線面垂直、以及幾何體的體積計算問題，考查了考生的空間想象能力以及空間思維能力. 【思路點撥】（1）E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點. EF∥BC EF∥AD 結論；（2）EG∥PA交AB于點G EG⊥平面ABCD EG=PA VE-ABC. 【規(guī)范解答】 (1)在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD平面PAD,EF平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (2)連接AE,AC,EC,過E作EG∥PA交AB于點G, 則EG⊥平面ABCD，EG=PA. 在△PAB中，AP=AB,PA

11、B=90,BP=2,∴AP=AB=,EG=. ∴S△ABC=ABBC=2=, ∴VE-ABC=S△ABCEG==. 7.（20xx北京高考理科Ｔ１6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在 的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1. （1）求證：AF∥平面BDE； （2）求證：CF⊥平面BDE； （3）求二面角A-BE-D的大小. 【命題立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法.一般的，運用幾何法（方法一）對空間想象能力，空間運算能力要求較高，關鍵是尋找二面角的平面角；運

12、用向量法（方法二）思路簡單，但運算量較大，熟練掌握向量的線性運算及數(shù)量積是解決問題的關鍵. 【思路點撥】解決立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法.幾何法：（1）證明AF與平面BDE內(nèi)的某條線平行；（2）證明CF垂直于平面BDE內(nèi)的兩條相交直線；（3）由第（2）問的結論，可過A作一直線與CF平行，從而垂直于平面BDE，找到二面角的平面角.向量法：利用三個垂直關系建立空間直角坐標系，利用向量的垂直和數(shù)量積求二面角的大小. 【規(guī)范解答】方法一： （1） 設AC與BD交于點G.因為EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF//EG

13、，因為平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE. (2)連接FG，，四邊形CEFG為平行四邊形， 又，□ CEFG為菱形，. 在正方形ABCD中，. 正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，BD ， ，又，. （3）設EG交FC于點K，在平面ACEF內(nèi)，過A作，垂足為H，連接HB，則AH//CF. AH平面BDE，，. 又面ABCD面ACEF，CEAC，面ABCD，. 又，面BCE，.面ABH. .為所求的二面角A-BE-D的平面角. 由得，， 為銳角，. 方法二： （1）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以

14、CE平面ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），，B（0，，0），，，，所以，，.設為平面BDE的法向量，則，即，令，得，. ，， 又平面BDE，AF//平面BDE. （2）由（1）知，所以,， 所以,.又因為，所以平面BDE. (3)設平面ABE的法向量, 由（I）知=，，則，.即所以且令則. 所以. 從而.所以. 因為二面角為銳角， 所以二面角的大小為. 8.（20xx福建高考文科Ｔ20）如圖，在長方體ABCD – A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH//A1D1.過EH的平面與棱

15、BB1,CC1相交，交點分別為F，G. （I）證明：AD//平面EFGH； （II）設AB=2AA1=2a.在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于幾何體A1ABFE–D1DCGH內(nèi)的概率為P.當點E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運動且滿足EF=a時，求P的最小值. 【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想等. 【思路點撥】第一步由線線平行得到線面平行；第二步首先求出長方體以及三棱柱EB1F-HC1G的體積，

16、并求解三棱柱的體積的最大值，然后利用體積比計算出幾何概率，最后得解. 【規(guī)范解答】 ( I ) 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，又，， 又平面，所以平面. （II）設，則長方體ABCD-A1B1C1D1的體積，幾何體的體積，又，，當且僅當時等號成立，從而，故Pmin，此時，所以的最小值等于. 【方法技巧】立體幾何中的證明問題，一定要把條件寫完整了，保證邏輯合理，如：本題一定要寫出 “平”. 9.（20xx 海南寧夏高考理科T18）如圖，已知四棱錐P-ABCD 的底面為等腰梯形，AB∥CD,⊥BD垂足為H,PH是四棱錐的高， E為AD中點. （Ⅰ)證明：PE⊥BC

17、 （Ⅱ）若==60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值. 【命題立意】本題主要考查了利用向量法解決立體幾何中證明位置關系求夾角等問題. 【思路點撥】建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標進行計算. 【規(guī)范解答】如圖，以為原點， 分別為軸，線段的長為單位長， 建立空間直角坐標系，則 （Ⅰ）設 ,， （Ⅱ）由已知條件可得 ， 設 z)為平面的法向量， 因此可以取，由，可得 ， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 10.（20xx江蘇高考Ｔ１6）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥

18、DC，∠BCD=900. 求證：PC⊥BC. 求點A到平面PBC的距離. 【命題立意】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力. 【思路點撥】（1）可證明BC與PC所在的某一個平面垂直. （2）點A到平面PBC的距離是點D到平面PBC的距離的2倍. 【規(guī)范解答】（1）因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC. 由∠BCD=90，得CD⊥BC， 又PDDC=D，PD，DC平面PCD， 所以BC⊥平面PCD. 因為PC平面PCD，故PC⊥BC. （2）分別取AB，PC的中點E，F(xiàn)，連DE，DF

19、，則易證DE∥CB，∴DE∥平面PBC，點D，E到平面PBC的距離相等.又點A到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離的2倍.由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，且平面PBC∩平面PCD=PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC. 易知DF=，故點A到平面PBC的距離為. 【方法技巧】一個幾何體無論怎樣轉動，其體積是不變的.如果一個幾何體的底面積和高較難求解時，我們可考慮利用等體積法求解.等體積法也稱等積轉換或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，把底面積和高的求解轉化為數(shù)量關系清晰的底面

20、及其對應的高，減少運算量，這也是轉化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn).本題也可利用等體積法求解： 連結AC.設點A到平面PBC的距離為h. 因為AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 又AB=2，BC=1，得的面積. 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積. 因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC. 又PD=DC=1，所以. 由PC⊥BC，BC=1，得的面積. 由，，得， 故點A到平面PBC的距離等于. 11.（20xx遼寧高考文科Ｔ19） 如圖，棱柱ABC—A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

21、(Ⅰ)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1; （Ⅱ)設D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面垂直與面面垂直、以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】（I）先證明B1C⊥平面A1BC1.再證明平面AB1C⊥平面A1BC1. （II）利用線面平行的性質，得到線線平行，進而可解. 【規(guī)范解答】（I） 【方法技巧】 1、證明面面垂直，一般通過證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，為此分析題設，觀察圖

22、形找到是哪條直線和哪個平面垂直. 2、證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來，如本題中強調(diào)了A1B∩BC1＝B. 12.（20xx山東高考文科Ｔ20）在如圖所示的幾何體中， 四邊形是正方形，平面，， ，，分別為，，的中點， 且. （1）求證：平面平面. （2）求三棱錐與四棱錐的體積之比. 【命題立意】本題主要考查空間中的線面關系和面面關系.考查線面垂直，面面垂直的判定及幾何體積的計算，考查了考生的識圖能力、空間想象能力和邏輯思維能力. 【思路點撥】(1)先證明，再由可證平面平面.（2）求三棱錐的體積關鍵是求點P到的

23、距離，由可將該距離轉化為點D到的距離. 【規(guī)范解答】（1）∵，,所以. 又BC平面ABCD，所以. 因為四邊形ABCD為正方形，所以. 又，因此. 在△中，因為分別為的中點, 所以，因此. 又, 所以. (2)因為，四邊形ABCD為正方形，不妨設MA=1， 則 PD=AD=2,所以， 由題易知,所以 DA即為點P到平面MAB的距離. 三棱錐， 所以１：４. 13.（20xx天津高考文科Ｔ１9）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45. （1）求異面直線CE與AF所成角的余弦值

24、. （2）證明CD⊥平面ABF. （3）求二面角B-EF-A的正切值. 【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力. 【思路點撥】（1）∠CED即為異面直線CE與AF所成的角.（2）證明CD垂直于兩條相交直線AB，F(xiàn)A. （3）做輔助線構造二面角的平面角. 【規(guī)范解答】(1)因為四邊形ADEF是正方形，所以FA//ED.故為異面直線CE與AF所成的角.因為FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD. 在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==. 所以異面直線CE與AF所成角

25、的余弦值為. (2)過點B作BG//CD,交AD于點G，則.由,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF. (3)由（2）及已知，可得AG=，即G為AD的中點.取EF的中點N，連接GN，則GNEF,因為BC//AD,所以BC//EF.過點N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角. 連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG//FA,FAGM,得NGGM. 在Rt△NGM中，tan, 所以二面角B-EF-A的正切值為. 14.（20xx廣東高考文科Ｔ18）如圖，是半徑為的 半圓，為直徑，

26、點為的中點，點和點為線段 的三等分點，平面外一點滿足平面， =. （1）證明：； （2）求點到平面的距離. 【命題立意】本題考察空間點、線、面之間的關系以及空間 幾何體的相關計算. 【思路點撥】(1) , 又點為的中點 （2）利用求解. 【規(guī)范解答】(1) FC⊥平面，平面， ， 又 點為 的中點，B為AC中點， ，且， ，平面， 平面， 又 平面， （2） 由（1）得，， ， ， 又 點和點為線段的三等分點， ， ，， ，

27、 取的中點，連接，則， ， 又 ， 設點到平面的距離為，由得： ，即 ， 解得： ， 即點到平面的距離為 【方法技巧】立體幾何中求點到平面的距離，通常用等體積法. 15.（20xx湖南高考文科Ｔ18）如圖所示，在長方體 中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點 （1）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值， （2）證明：平面ABM⊥平面A1B1M 【命題立意】以非常簡單常見的長方體為載體，考查空間線線的 定量和面面的定性關系. 【思路點撥】異面直線所成的角關鍵是平移直線構成三角形， 再解三角形.面面垂直的證明關鍵是在一個平面

28、內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面. 【規(guī)范解答】(1) 如圖，∵C1D1∥B1A1，∴∠MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角. ∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴∠A1B1M=90. 而A1B1=1，，故 . 即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為. (2) 由A1B1⊥平面BCC1B1，平面，得A1B1⊥BM ① 又，， ∴,從而BM⊥B1M ② 又A1B1∩B1M=B1，再由①，②得 BM⊥平面A1B1M，而平面，因此 平面ABM⊥平面A1B1M. 【方法技巧】(1)求異面直線所成的角關鍵是平移一條直線，或者是找一條直線和其中一條直線平行而和另一條直線相交，找直線的技巧是中點對中點，產(chǎn)生中位線，引出平行，也可以取連接兩條異面直線的線段的中點，再把這些中點連成線段. (2)證明面面垂直關鍵在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面，在證明一條直線垂直另一個平面時常常轉化為證明這條直線垂直另一個平面內(nèi)兩條相交直線.證明直線垂直直線常常有兩種情況：一是相交垂直，常可以計算，也可以定性證明，二是異面垂直，異面垂直常轉化射影垂直，即把其中一條直線放在一個平面上，找到另一條直線在這個平面上的射影，再證明一條直線垂直于射影即可.