新課標高考數(shù)學 總復習：考點17推理與證明含解析

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1、 考點17 推理與證明 1.（20xx·山東高考文科·Ｔ１０）觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導函數(shù)，則=（ ） （A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查歸納推理的有關知識，考查了考生的觀察問題，分析問題，解決問題的能力. 【思路點撥】觀察所給的結論，通過歸納類比聯(lián)想，得出結論. 【規(guī)范解答】選D．通過觀察所給的結論可知，若是偶函數(shù)，則其導函數(shù)是奇函數(shù)，故選D． 2.（20xx·陜西高考理科·Ｔ１２）觀察下列等式：,……根據(jù)上述規(guī)

2、律，第五個等式為 ____________. 【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題． 【思路點撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關鍵． 【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關系如下： 即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)，故第五個等式為： 【答案】 3.（20xx·福建高考文科·Ｔ１６）觀察下列等式： 可以推測，m – n + p = . 【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數(shù)進行猜測求解． 【思路點撥】根據(jù)歸納推理可得． 【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，，

3、，又，，． 【答案】962 4.（20xx·浙江高考理科·Ｔ14）設， 將的最小值記為，則 其中=__________________ . 【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關知識，熟練掌握相關的推理規(guī)則是關鍵． 【思路點撥】觀察的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點． 【規(guī)范解答】觀察表達式的特點可以看出，……當為偶數(shù)時，；，，……當為奇數(shù)時，． 【答案】 5.（20xx·北京高考文科·Ｔ20） 已知集合，對于，定義A與B的差為， A與B之間的距離為. （1）當n=5時，設，求，. （2）證明：，且. （3） 證明：三個數(shù)中至少有

4、一個是偶數(shù). 【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學生運用新知識的能力.本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求.要求教師真正重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)． 【思路點撥】（1）（2）直接按定義求解證明即可.(3) “至少”問題可采用反證法證明． 【規(guī)范解答】（1）＝（1,0,1,0,1）， ＝3. (2)設， 所以中1的個數(shù)為k,中1的個數(shù)為， 設是使成立的的個數(shù)，則， 由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)． 6.（20xx·北京高考理科·Ｔ20）已知集合， 對于，定義A與B的

5、差為 A與B之間的距離為. （1）證明：，且. （2）證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù). (3) 設P，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）≤. 【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學生運用新知識的能力，考查了反證法、不等式證明等知識．本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求．要求教師真正重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)． 【思路點撥】（1）直接按定義證明即可．（2）“至少”問題可采用反證法證明．(3)把表示出來，再利用基本不等式證明． 【規(guī)范解答】（1）設，，， 因為，，所以

6、 ， 從而， 又, 由題意知，，. 當時，; 當時，, 所以. (2)設，，, ，，. 記，由（1）可知, ， , , 所以中1的個數(shù)為，中1的個數(shù)為． 設是使成立的的個數(shù)，則, 由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)． （3）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和， 設中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1，個0, 則＝, 由于, 所以, 從而. 【方法技巧】（1）證明“至少有一個……”時，一般采用反證法． （2）證明不等式時要多觀察

7、形式，適當變形轉(zhuǎn)化為基本不等式． 7.（20xx·江蘇高考·Ｔ23）已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)， 求證：cosA是有理數(shù). （2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù). 【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊是有理數(shù)，求得結論. （2）可利用數(shù)學歸納法證明. 【規(guī)范解答】方法一：（1）設三邊長分別為，，∵是有理數(shù)， 是有理數(shù)，分母為有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法具有封閉性， ∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù). （2）①當時，顯然cosA

8、是有理數(shù)； 當時，∵，因為cosA是有理數(shù)， ∴也是有理數(shù). ②假設當時，結論成立，即coskA、均是有理數(shù)， 當時，， ， ， 解得：， ∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)， ∴是有理數(shù)， 即當時，結論成立. 綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù). 方法二：（1）由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知， 是有理數(shù). （2）用數(shù)學歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)， ①當時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù). ②假設當時，和都是有理數(shù). 當時，由， ， 由①和歸納假設，知和都是有理數(shù)， 即當時，結論成立. 綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).