高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十三節(jié)

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1、 精品資料 第十三節(jié)　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(一） 1．了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次． 2．了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次． 知識(shí)梳理 一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 1．函數(shù)單調(diào)性的充分條件． 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y′>0，那么

2、函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為________；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y′<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為________． 2．函數(shù)單調(diào)性的必要條件． 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)______；如果函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為______，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)______． 3．求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法． (1)確定函數(shù)f(x)的定義域． (2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)________，令________，解此方程，求出它們?cè)诙x域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根． (3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序

3、排列起來，然后用這些點(diǎn)把f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間． (4)確定f′(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f′(x)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間的增減性[若f′(x)>0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若f′(x)<0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)]． 二、函數(shù)的極值 1．函數(shù)極值的定義． 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是_______，記作_________，x0是________． 如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0)．就說f(x0)是________，記作_________

4、，x0是極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為________． 2．判別f(x0)是極大值、極小值的方法． 若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值，并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，那么x0是f(x)的________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“________”，那么x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值． 3．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟． (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)________． (2)求方程________的根． (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)

5、定義域的邊界點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成________，并列成表格．檢查f′(x)在______，如果________，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果________，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右________，那么f(x)在這個(gè)根處________． 三、函數(shù)的最大值與最小值 1．函數(shù)的最大值與最小值． 在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在上________最大值與最小值． 2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟． 設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷，求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值的步驟如下： (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的____

6、____． (2)將f(x)的各________與________比較，得出函數(shù)f(x)在上的最值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．函數(shù)y＝xsin x＋cos x在(π，3π)內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為(　　)[來源:] A.　　　 B. C. D．(π，2π) 解析：∵y＝xsin x＋cos x，∴y′＝xcos x.[來源:] 當(dāng)x∈(π，3π)時(shí)，要使y′＝xcos x＞0，只要cos x＞0，結(jié)合選項(xiàng)知，只有B滿足． 答案：B 2．函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1有極值的充要條

7、件是(　　) A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)>0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)<0 解析：f′(x)＝3ax2＋1，若函數(shù)有極值，則方程3ax2＋1＝0必有實(shí)數(shù)根，顯然a≠0，所以x2＝－>0，所以a<0.故選D. 答案：D 3． 函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax－5， ∴f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1. 如果函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上單調(diào)，那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3.于是滿足條件的

8、a∈(－3,1)． 答案：(－3,1) 4．(2013武漢質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝x2－x，則當(dāng)x＝________時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值． 解析：當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，所以當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值．[來源:] 答案：0  [來源:] 1．(2012陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則(　　) A．x＝1為f(x)的極大值點(diǎn) B．x＝1為f(x)的極小值點(diǎn) C．x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn)[來源:] D．x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn) 解析：f′(x)＝(x＋1)ex，

9、令f′(x)＝0，得x＝－1，當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)<0，f(x)＝xex為減函數(shù)；當(dāng)x>－1時(shí)，f′(x)>0，f(x)=xex為增函數(shù)，所以x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)．故選D. 答案：D 2．(2013福建卷)已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－.[來源:] (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x

10、)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝(x>0)，知： ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． 答案：見解析

11、 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝2ln－2. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若關(guān)于x的方程f＋x2－3x－a＝0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[來源:] 解析：(1)函數(shù)f的定義域?yàn)椋? ∵f′(x)＝2＝－(x>1)， 則使f′(x)>0的x的取值范圍為，[來源:] 故函數(shù)f的單調(diào)遞增區(qū)間為. (2)(法一)∵f(x)＝2ln－2， ∴f(x)＋x2－3x－a＝0?x＋a＋1－2ln＝0. 令g＝x＋a＋1－2ln. ∵g′(x)＝1－＝，且x>1， 由g′(x)>0，得x>3；由g′(x)<0，得1

12、調(diào)遞減，在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞增．[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 故f(x)＋x2－3x－a＝0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根?即解得2ln 3－5≤a<2ln 2－4. 綜上所述，a的取值范圍是[2ln 3－5,2ln 2－4)． (法二)∵f(x)＝2ln－2， ∴f(x)＋x2－3x－a＝0?x＋a＋1－2ln＝0， 即a＝2ln－x－1， 令h＝2ln－x－1， ∵h(yuǎn)′(x)＝－1＝，且x>1，[來源:] 由h′(x)>0，得13. ∴h(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞減． ∵h(yuǎn)＝－3，h＝2ln 2－4，h＝2ln 3－

13、5， 又h

14、點(diǎn)為(3,7)． 則解得a＝1，b＝－1. 所以f(x)＝x2－x＋1； (2)由(1)知f(x)＝x2－x＋1， 關(guān)于x的方程f(x)＝kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根， 即x2－x＋1＝kex有兩個(gè)不同的實(shí)根，也就是k＝e－x(x2－x＋1)有兩個(gè)不同的實(shí)根． 令g(x)＝e－x(x2－x＋1)， 則g′(x)＝(2x－1)e－x－(x2－x＋1)e－x＝－(x2－3x＋－(x－1)(x－2)e－x. 由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝2. 所以當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，g′(x)＞0，g(x)在(1,2)上為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上為減函數(shù)； 所以，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得極小值g(1)＝，當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)取得極大值g(2)＝. 函數(shù)y＝k與y＝g(x)的圖象的大致形狀如上， 由圖象可知，當(dāng)k＝和k＝時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根． 答案：見解析