高三數學 理33個黃金考點總動員 考點05 函數的性質單調性、奇偶性、周期性解析版 Word版含解析

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1、 高三數學33個黃金考點總動員 【考點剖析】 一．最新考試說明： 1．理解函數的單調性，會討論和證明函數的單調性． 2．理解函數的奇偶性，會判斷函數的奇偶性． 3．利用函數奇偶性、周期性求函數值及求參數值． 二．命題方向預測： 1．利用函數的單調性求單調區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點． 2．函數的奇偶性是高考考查的熱點． 3．函數奇偶性的判斷、利用奇偶函數圖象特點解決相關問題、利用函數奇偶性、周期性求函數值及求參數值等問題是重點，也是難點． 3．題型以選擇題和填空題為主，函數性質與其它知識點交匯命題． 三．課本結論總結： 1．奇函

2、數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反． 注意：確定函數的奇偶性，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱．確定函數奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法、性質法等．　 2．若奇函數定義域中有0，則必有．即的定義域時，是為奇函數的必要非充分條件． 對于偶函數而言有：． 3．確定函數的單調性或單調區(qū)間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法(圖像法)、特殊值法等等． 4．若函數的定義域關于原點對稱，則可以表示為，該式的特點是：右端為一個奇函數和一個偶函數的和． 5．既奇又偶函

3、數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）． 6．復合函數的單調性特點是：“同增異減”；復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”．復合函數要考慮定義域的變化（即復合有意義）． 7．函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱． 推廣一：如果函數對于一切，都有成立，那么的圖像關于直線（由“和的一半確定”）對稱． 推廣二：函數，的圖像關于直線（由確定）對稱． 8．函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱． 推廣：函數與函數的圖像關于直線對稱（由“和的一半 確定”）． 9．函數與函數的圖像關于坐標原點中心對稱． 推廣：函數與函數的圖像關于點中心對稱． 10．函數與函數的圖像關于直

4、線對稱． 推廣：曲線關于直線的對稱曲線是；曲線關于直線的對稱曲線是． 11．曲線繞原點逆時針旋轉，所得曲線是（逆時針橫變再交換）．特別：繞原點逆時針旋轉，得，若有反函數，則得． 曲線繞原點順時針旋轉，所得曲線是（順時針縱變再交換）．特別：繞原點順時針旋轉，得，若有反函數，則得． 12．類比“三角函數圖像”得： 若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為． 若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數，且一周期為． 如果函數的圖像有下一個對稱中心和一條對稱軸，則函數必是周期函數，且一周期為． 如果是R上的周期函數，且一個周期為，那么． 特別：若恒成立，則． 若恒成立，則．若恒成立，

5、則． 如果是周期函數，那么的定義域“無界”． 四、名師二級結論： 一個防范 函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內都是單調遞減的，但不能說它在整個定義域即(－∞，0)∪(0，＋∞)內單調遞減，只能分開寫，即函數的單調減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”連接． 一條規(guī)律 函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件． 注意：分段函數判斷奇偶性應分段分別證明f(－x)與f(x)的關系，只有當對稱的兩段上都滿足相同的關系時，才能判斷其奇偶性． 兩個應用 1．已知函數的奇偶性求函數的解析式． 抓住奇偶性討論

6、函數在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產生關于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式． 2．已知帶有字母參數的函數的表達式及奇偶性求參數． 常常采用待定系數法：利用f(x)f(－x)＝0產生關于字母的恒等式，由系數的對等性可得知字母的值． 三種方法 判斷函數單調性的三種方法方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導數法． 判斷函數的奇偶性的三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質法． 在判斷函數是否具有奇偶性時，為了便于判斷，有時需要將函數進行化簡，或應用定義的變通形式： f(－x)＝f(x) f(－x)f(x)＝0＝1，f(x)≠0． 四條性質 1．若奇函

7、數f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0． 2．設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． 3．奇函數在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性，偶函數在對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性． 4．若f(x)是偶函數，則有f(-x)＝f(x)＝f(|x|)． 五、課本經典習題： (1)新課標人教A版必修一第36頁練習第1（3）題 判斷下列函數的奇偶性：． 【經典理由】典型的鞏固定義題，可以進行多角度變式． 變式題：關于函數，有下列命題：①其圖象關于軸對稱；②當時，是增函數；當時，是減函數；③的最小值是；④

8、在區(qū)間上是增函數；⑤無最大值，也無最小值．其中所有正確結論的序號是 ． 解： 為偶函數，故①正確；令，則當時，在上遞減，在上遞增，∴②⑤錯誤，③④正確，故選①③④． (2)新課標人教A版必修一第44頁復習參考題A組第八題 設，求證：（1）；（2）． 【經典理由】典型的鞏固定義題，可以進行改編、變式或拓展． 改編：設定在R上的函數滿足：，則 ． 解：由．得 ．由所求式子特征考查： ．． (3)新課標人教A版必修一第83頁復習參考題B組第3題 對于函數． （1）探索函數的單調性；（2）是否存在實數a使為奇函數？ 【經典理由】典型的函數性質應用題，可以進行改編

9、、變式或拓展． 改編 對于函數．（1）用定義證明：在R上是單調減函數；（2）若是奇函數，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0． 證明：（1）設＜，則f（）-f（）=-=． ∵-＞0，＞0，＞0．即f（）-f（）＞0．∴f（x）在R上是單調減函數 （2）∵是奇函數，∴f（0）=0a=-1． （3）由（1）（2）可得在R上是單調減函數且是奇函數，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．轉化為f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），2t+1≥-t+5t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集為：{t|t≥}． (4)新課標人教A版必

10、修一第83頁復習參考題B組第4題 設，求證： （1）；（2）；（3）． 【經典理由】典型的證明函數性質題，可以進行改編、變式或拓展． 改編1：設，給出如下結論：①對任意，有；②存在實數，使得；③不存在實數，使得；④對任意，有； 其中所有正確結論的序號是 解：對于①： 對于②：，即恒有； 對于③：，故不存在，使 對于④： ，故正確的有①③④ 改編2：已知函數滿足，且，分別是上的偶函數和奇函數，若使得不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ． 解：，得， 即，解得，，即得 ，參數分離得，因為 （當且僅當，即時取等號，的解滿足），所以． 六．考點交匯展示： (

11、1)函數的奇偶性與函數的零點交匯 例1．【20xx高考安徽，理2】下列函數中，既是偶函數又存在零點的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A (2) 函數的周期性與函數的零點交匯 例2．【20xx高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數，當時，，若函數在區(qū)間上有10個零點（互不相同），則實數的取值范圍是 ． 【答案】 【考點】函數的零點，周期函數的性質，函數圖象的交點問題． (3) 函數的奇偶性、單調性、周期性等的交匯問題 例3．【20xx高考江蘇第19題】已知函數，其中是自然對數的底數． （1）證明：是上的偶函數；

12、（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍； （3）已知正數滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結論． 【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當時，，當時，，當時，． 【解析】 試題分析：（1）判斷函數的奇偶性，一般根據奇偶性的定義判斷，本題中首先有函數的定義域為，關于原點是對稱的，其次計算，得到，故它是偶函數；（2）不等式恒成立問題，由于本題中，即，因此采用分離參數法求參數取值范圍，原不等式可化為 （2）由得，由于當時，，因此，即，所以，令，設，則，，∵，∴（時等號成立），即，，所以． （3）由題意，不等式在上有解，由得 ，記，，顯然，當時，（因為），故函數

13、在上增函數，，于是在 上有解，等價于，即．考察函數 ，，當時，，當時，，當時，即在上是增函數，在上是減函數，又，，，所以當時，，即，，當時，，即，，因此當時，，當時，，當時，． 【考點】（1）偶函數的判斷；（2）不等式恒成立問題與函數的交匯；（3）導數與函數的單調性，比較大小． 【考點分類】 熱點一 函數的單調性 1．【20xx高考湖南，理5】設函數，則是（ ） A.奇函數，且在上是增函數 B. 奇函數，且在上是減函數 C. 偶函數，且在上是增函數 D. 偶函數，且在上是減函數 【答案】A. 考點：函數的單調性． 2．【20xx遼寧高考理第3題】已知，，則（

14、 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：所以，故選C． 考點：指數函數、對數函數以及冪函數的單調性的應用． 3．【20xx陜西高考理第7題】下列函數中，滿足“”的單調遞增函數是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 考點：函數求值；函數的單調性． 4．【20xx天津高考理第4題】函數的單調遞增區(qū)間是 （　　） （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 【解析】函數的定義域為，由于外層函數為減函數，由復合函數的單調性可知

15、，只要求的單調遞減區(qū)間，結合函數的定義域，得單調遞增區(qū)間為，故選D． 考點：復合函數的單調性（單調區(qū)間）． 【方法規(guī)律】 1．對于給出具體解析式的函數，證明其在某區(qū)間上的單調性有兩種方法： (1)可以結合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解． (2)可導函數則可以利用導數解之．但是，對于抽象函數單調性的證明，一般采用定義法進行． 2．求函數的單調區(qū)間與確定單調性的方法一致． (1)利用已知函數的單調性，即轉化為已知函數的和、差或復合函數，求單調區(qū)間． (2)定義法：先求定義域，再利用單調性定義確定單調區(qū)間． (3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(

16、x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調區(qū)間． (4)導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調區(qū)間． 3．函數單調性的應用：f(x)在定義域上(或某一單調區(qū)間上)具有單調性，則f(x1)

17、函數． 【錯證】設0≤x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝，所以，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數． 【剖析】該證法犯了邏輯上的循環(huán)論證的錯誤，本來要證明f(x)在[0，＋∞)上是增函數，可在由x1＜x2得到時，就用到了f(x)在[0，＋∞)上是增函數的結論，犯下了“自己證明自己”的錯誤． 誤區(qū)2．求復合函數的單調區(qū)間時，忽視函數的定義域而致錯 【例2】（20xx浙江寧波十校聯考）求y＝的單調區(qū)間． 【錯解】令t＝x2－4x－12，則t＝x2－4x－12在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，又y＝是增函數，所以y

18、＝的單調區(qū)間是(－∞，2]與[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增． 【剖析】上述解答錯誤的原因是忽視了函數的定義域{x|x≤－2或x≥6}． 【正解】由x2－4x－12≥0，得x≤－2或x≥6，令t＝x2－4x－12，則t＝(x－2)2－16在(－∞，2]上是減函數，在[2，＋∞)上是增函數．又y＝是增函數，所以y＝的單調區(qū)間是(－∞，－2]與[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上遞減，在[6，＋∞)上遞增． 【點撥】求解復合函數單調性問題，必須考慮函數的定義域，建立“定義域優(yōu)先”意識． 誤區(qū)3． 忽視隱含條件致誤 【例3】已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函

19、數，那么a的取值范圍是(　　) 【錯解】誤選B項的原因只是考慮到了使得各段函數在相應定義域內為減函數的條件，要知道函數在R上為減函數，還需使得f(x)＝(3a－1)x＋4a在x＜1上的最小值不小于f(x)＝logax在x≥1上的最大值，多數考生易漏掉這一限制條件而造成失誤． 【正解】據題意使原函數在定義域R上為減函數，只需滿足：．故選C． 【點評】一般地，若函數f(x)在區(qū)間[a，b)上為增函數，在區(qū)間[b，c]上為增函數，則不一定說明函數f(x)在[a，c]為增函數，如圖（1），由圖像可知函數f(x)在[a，c]上整體不呈上升趨勢，故此時不能說f(x)在[a，c]上為增函數，若圖象

20、滿足如圖（2），即可說明函數在[a，c]上為增函數，即只需f(x)在[a，b)上的最大值不大于f(x)在[b，c]上的最小值即可，同理減函數的情況依據上述思路也可推得相應結論． 圖（1） 圖（2） 需注意以下兩點： (1)函數的單調區(qū)間是其定義域的子集，如果一個函數在其定義域的幾個區(qū)間上都是增函數(或減函數)，不能認為這個函數在其定義域上就是增函數(或減函數)，例如函數在(－∞，0)上是減函數，在(0，＋∞)上也是減函數，但不能說在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數，因為當x1＝－1，x2＝1時，有f(x1)＝－1＜f(x2)＝1不滿足減函數的定義． (2)當一個函數的增區(qū)間(

21、或減區(qū)間)有多個時，一般不能直接用“∪”將它們連接起來，例如：函數 y＝x3－3x的單調增區(qū)間有兩個：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能寫成(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 熱點二 函數的奇偶性 1．【20xx高考廣東，理3】下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（ ） A． B． C． D． 【答案】． 考點:函數的奇偶性． 2．【20xx高考湖南卷第3題】已知分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則( ) A． B． C． 1 D． 3 【答案】C 【解

22、析】分別令和可得和，因為函數分別是定義在上的偶函數和奇函數，所以，即 ，則，故選C． 考點:奇偶性． 3．【20xx全國1高考理第3題】設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則下列結論中正確的是（ ） A．是偶函數 B． 是奇函數 C．是奇函數 D．是奇函數 【答案】C 考點:函數的奇偶性． 4．【20xx高考新課標1，理13】若函數f(x)=為偶函數，則a= 【答案】1 【解析】由題知是奇函數，所以 =，解得=1. 考點:函數的奇偶性 【方法規(guī)律】 1．判斷函數奇偶性的方法 (1)定義法

23、 一般地，對于較簡單的函數解析式，可通過定義直接作出判斷；對于較復雜的解析式，可先對其進行化簡，再利用定義進行判斷．利用定義判斷函數奇偶性的步驟： (2)圖象法 奇函數的圖象關于原點成中心對稱，偶函數的圖象關于y軸成軸對稱．因此要證函數的圖象關于原點對稱，只需證明此函數是奇函數即可；要證函數的圖象關于y軸對稱，只需證明此函數是偶函數即可．反之，也可利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性． (3)組合函數奇偶性的判定方法 ①兩個奇(偶)函數的和、差還是奇(偶)函數，一奇一偶之和為非奇非偶函數． ②奇偶性相同的兩函數之積(商)為偶函數，奇偶性不同的兩函數之積(商)(分母不為0)為奇函

24、數． ③復合函數的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”． (4)分段函數的奇偶性判定 分段函數應分段討論，注意奇偶函數的整體性質，要避免分段下結論． 2．函數奇偶性的應用技巧 (1)已知函數的奇偶性求函數的解析式 抓住奇偶性討論函數在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式． (2)已知帶有字母參數的函數表達式及奇偶性求參數 常常采用待定系數法，利用f(x)f(－x)＝0得到關于x的恒等式，由對應項系數相等可得字母的值． (3)奇偶性與單調性的綜合問題要注意奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單

25、調性相反． 【易錯點睛】 函數的奇偶性是函數在整個定義域內的性質，其定義中要求f(x)和f(－x)必須同時存在，所以函數定義域必須關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的前提．如果某一個函數的定義域不關于原點對稱，它一定是非奇非偶函數． 誤區(qū)．不明分段函數奇偶性概念致錯 【例1】（20xx北京東城期末）判斷的奇偶性． 【錯解】當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． 當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函數． 【剖析】漏x＝0情況． 【正解】盡管對于

26、定義域內的每一個不為零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但當x＝0時，f(0)＝3≠－f(0)，所以函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數． 熱點三 函數的周期性 1．【20xx四川高考理第12題】設是定義在R上的周期為2的函數，當時， ，則 ． 【答案】1 【解析】 試題分析：． 考點:周期函數及分段函數． 2．設是以2為周期的函數，且當時，,則 ． 【答案】-1 考點:周期函數及分段函數． 【方法規(guī)律】 1．(1)對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有 ，那么函數f(x)叫做周期函數，

27、非零常數T叫f(x)的周期．如果所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫f(x)的最小正周期． (2)周期函數不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，則kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期，周期函數的定義域無上、下界． 2．函數周期性的相關結論． 設a是非零常數，若對f(x)定義域內的任意x，恒有下列條件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x)；②；③；④f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數，2|a|是它的一個周期．(以上各式中分母均不為零)． 【解題技巧】 求函數周期的方法 求一般函數周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公

28、式計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a．換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 熱點四 函數性質的綜合應用 1．【20xx高考天津，理7】已知定義在 上的函數 （為實數）為偶函數，記 ，則 的大小關系為( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 考點:1.函數奇偶性；2.指數式、對數式的運算. 2.【20xx高考福建卷第7題】已知函數則下列結論正確的是（ ） A. 是偶函數 B． 是增函數 C

29、．是周期函數 D．的值域為 【答案】D 【解析】 試題分析：由于分段函數的左右兩邊的函數圖象不關于y軸對稱，所以A不正確．由于圖象左邊不單調，所以B不正確．由于圖象x>0部分的圖象不是沒有周期性，所以C不正確．故選D． 考點：1．分段函數．2．函數的性質． 3．【20xx全國2高考理第15題】已知偶函數在單調遞減，．若，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】因為是偶函數，所以不等式，又因為在上單調遞減，所以，解得． 考點:1.抽象函數的奇偶性與單調性；2.絕對值不等式的解法． 4. 【20xx高考上海理科第18題】若是的最小值，則的取值范圍為（ ）.

30、 A.[-1,2] B.[-1，0] C.[1，2] D. 【答案】D 考點:1.函數的單調性；2.函數的最值． 【方法規(guī)律】 1．解這類綜合題的一般方法 在解決函數性質有關的問題中，如果結合函數的性質畫出函數的簡圖，根據簡圖進一步研究函數的性質，就可以把抽象問題變的直觀形象、復雜問題變得簡單明了，對問題的解決有很大的幫助． （1）一般的解題步驟：利用函數的周期性把大數變小或小數變大，然后利用函數的奇偶性調整正負號，最后利用函數的單調性判斷大?。? （2）畫函數草圖的步驟：由已知條件確定特殊點的位置，然后利用單調性確定一段區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定

31、對稱區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個定義域內的圖象． 2． 函數的奇偶性、周期性、對稱性之間內在聯系 若函數有兩條對稱軸(或兩個對稱中心，或一對稱軸一對稱中心)，則該函數必是周期函數．特別地，有以下結論(其中a≠0)： 若f(x)有對稱軸x＝a，且是偶函數，則f(x)的周期為2a； 若f(x)有對稱軸x＝a，且是奇函數，則f(x)的周期為4a； 若f(x)有對稱中心(a，0)，且是偶函數，則f(x)的周期為4a； 若f(x)有對稱中心(a，0)，且是奇函數，則f(x)的周期為2a． 【易錯點睛】 誤區(qū)1．函數的性質挖掘不全致誤 【例1】奇函數f(x)定義在R上，且對常數T＞

32、0，恒有f(x＋T)＝f(x)，則在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個數至少有 (　　) A．3個　　　 B．4個　　　 C．5個　　　 D．6個 【錯解】由f(x)是R上的奇函數，得f(0)＝0x1＝0．再由f(x＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T．即在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個數最小值為3個． 【剖析】本題的抽象函數是奇函數與周期函數的交匯．即

33、……①……②解時要把抽象性質用足，不僅要充分利用各個函數方程，還要注意方程①和②互動． 【正解】由方程①得f(0)＝0x1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T． 又∵，令x＝0得．又再由②得 ，故方程f(x)＝0至少有5個實數根．故選C． 誤區(qū)2．忽視隱含條件的挖掘致誤 【例2】（20xx江蘇模擬）設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區(qū)間[－1，1]上， 其中a，b∈R．若，則a＋3b的值為________． 【錯解】因為f(x)的周期為2，所以，即．又因為 ，所以． 【剖析】 (1)轉化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯系起來；(2)挖

34、掘不出f(－1)＝f(1)，從而無法求出a、b的值． 【正解】因為f(x)的周期為2，所以，即．又因為 ，所以．整理，得．① 又因為f(－1)＝f(1)，所以，即b＝－2a． ② 將②代入①，得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3(－4)＝－10． 【熱點預測】 1．【廣州市珠海區(qū)高三8月摸底考試5】下列函數在其定義域上既是奇函數又是減函數的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 2．【北京市重點中學高三8月開學測試3】已知函數 ，則下列結論正確的是（ ） A．是偶函數

35、 B．在上是增函數 C．是周期函數 D．的值域為 【答案】D． 【解析】 試題分析：A：當時，，∴，，∴，∴A錯誤；B：當時，在上不是一直單調遞增的，∴B錯誤；C：當時，不是周期函數，∴C錯誤；D：當時，，當時，，∴函數的值域為，∴D正確． 3．【河南省安陽一中高三第一次月考2】函數的單調遞增區(qū)間為(　 　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 【答案】Ｄ 【解析】 試題分析：首先由得函數的定義域為(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，則在（０，＋∞）是減函數，又因為在(－∞，－2)上是

36、減函數；由復合函數的單調性可知：函數的單調遞增區(qū)間為(－∞，－2)；故選Ｄ． 4．已知，方程在［0，1］內有且只有一個根，則在區(qū)間內根的個數為（ ） A．20xx B．1006 C．20xx D．1007 【答案】C 5．【浙江省嘉興市高三3月教學測試（一）】若的圖像是中心對稱圖形，則( ) A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 試題分析：，因為為偶函數，所以當且僅當，即時，為奇函數，圖像關于原點對稱．故選B． 6．【浙江省嘉興市高三3月教學測試（一）】若函數是奇函數，函數是偶

37、函數，則一定成立的是( ) A．函數是奇函數 B．函數是奇函數 C．函數是奇函數 D．函數是奇函數 【答案】C 【解析】 試題分析：由題得，函數滿足，則有，，，，所以根據奇偶函數的判斷可得只有選項C是正確的，故選C 7．【北京市順義區(qū)高三第一次統考（理）】已知且，函數滿足對任意實數，都有成立，則的取值范圍是 （ ） （A） （B） （ C） （ D）[ 【答案】C 【解析】 試題分析：由已知，得函數在R上單調遞增，故滿足，解得的取值范圍是． 8. 【廣東省揭陽市高三3月高考第一

38、次模擬考試】下列函數是偶函數，且在上單調遞增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 在區(qū)間上單調遞增，合乎題意，故選D． 9. 已知是定義域為實數集的偶函數，，，若，則．如果，，那么的取值范圍為 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 10．【上海市松江區(qū)高三上學期期末考試數學（理）試題】已知實數，對于定義在上的函數，有下述命題： ①“是奇函數”的充要條件是“函數的圖像關于點對稱”； ②“是偶函數”的充要條件是“函數的圖像關于直線對稱”； ③“是的一個周期”的充要條件是“對

39、任意的，都有”； ④ “函數與的圖像關于軸對稱”的充要條件是“” 其中正確命題的序號是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】 試題分析：本題考查函數的奇偶性、周期性與函數圖象的對稱性，函數是奇函數的充要條件是函數的圖象關于原點對稱，而的圖象關于原點對稱與函數的圖象關于點對稱是等價的，故①正確，同理②也是正確的，那么本題只能選A了，對于③，我們知道函數滿足“對任意的，都有”時，是周期為的周期函數，但反過來一一定成立，如滿足“對任意的，都有”時，也是周期為的周期函數，③錯誤，而函數與函數的圖象是關于直線對稱，而還是軸

40、，故④錯誤． 11．【湖北省部分重點中學20xx-上學期高三起點考試12】已知偶函數在單調遞減，，若，則的取值集合是__________． 【答案】(- 1 ， 3 )． 12．【20xx南通高三期末測試】設函數是定義域為R，周期為2的周期函數，且當時，；已知函數 則函數和的圖象在區(qū)間內公共點的個數為 ． 【答案】15 【解析】 試題分析：根據題意可分別在同一坐標平面內作出函數和函數的圖象，如下圖所示，可見它們在區(qū)間內公共點的個數為15個． 13．設函數，若函數為偶函數，則實數的值為 ． 【答案】 14．函數的定義域為，若且時總有，則稱為單函數．例如，函數是單函數．下列命題: ①函數是單函數； ②函數是單函數； ③若為單函數，且，則； ④函數在定義域內某個區(qū)間上具有單調性，則一定是單函數． 其中的真命題是 (寫出所有真命題的編號)． 【答案】③ 【解析】 ①若，則由得，即，解得，所以①不是單函數．②若則由函數圖象可知當，時，，所以②不是單函數．③根據單函數的定義可知，③正確．④在在定義域內某個區(qū)間上具有單調性，單在整個定義域上不一定單調，所以④不一定正確，比如②函數．故真命題為③．