高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;4 第1課時(shí) 平面向量的坐標(biāo)表示 平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 Word版含答案

《高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;4 第1課時(shí) 平面向量的坐標(biāo)表示 平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;4 第1課時(shí) 平面向量的坐標(biāo)表示 平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 Word版含答案（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第 1 課時(shí) 平面向量的坐標(biāo)表示 平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 核心必知 1平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i i，j j作為基底，a a為坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OPa a.由平面向量基本定理可知 ，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得OPxi iyj j，因此a axi iyj j.把實(shí)數(shù)對(x，y)叫作向量a a的坐標(biāo)，記作a a(x，y) 2平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 已知a a(x1，y1)，b b(x2，y2) 運(yùn)算 坐標(biāo)表示 語言敘述 加法 a ab b(x1x2，y1y2) 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐

2、標(biāo)的和 減法 a ab b(x1x2，y1y2) 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 數(shù)乘 a a(x1，y1) 實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積 3向量AB的坐標(biāo)表示 設(shè)定點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB(x2x1，y2y1)， 即：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo) 問題思考 1相等向量的坐標(biāo)相同，對嗎？ 提示：正確相等向量經(jīng)過平移可以具有共同的始點(diǎn)O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，這時(shí)其終點(diǎn)相同，而終點(diǎn)的坐標(biāo)即是這些向量的坐標(biāo)，所以正確 2向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有何區(qū)別？ 提示：平面向量的坐標(biāo)與該向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)都有關(guān)，它的坐標(biāo)等于終點(diǎn)

3、坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)， 只有始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)， 向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等 當(dāng)實(shí)數(shù)對(x，y)表示點(diǎn)時(shí)可記為P(x，y)，表示向量時(shí)可記為a a(x，y) 3若i i，j j分別是與x軸，y軸同方向的單位向量，則i i，j j的坐標(biāo)分別是什么？ 提示：根據(jù)平面向量的坐標(biāo)定義，i i(1，0)，j j(0，1) 講一講 1如圖所示，試分別用基底i i，j j表示向量a a，b b，c c，d d，并求出它們的坐標(biāo) 嘗試解答 由圖可知， a a2i i3j j，a a(2,3)， 同理，b b2i i3j j，b b(2,3) c c3i i0j j，c c(3,0) d d3i i2j j，d d(3，

4、2) 1求向量的坐標(biāo)的一般方法： (1)利用平行四邊形(或三角形)法則，將向量用基底i i，j j(i i，j j分別是與x，y軸同方向的單位向量)表示，然后確定其坐標(biāo) (2)求起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，并用終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo) 2向量的坐標(biāo)表示是給出向量的又一種形式，它的坐標(biāo)只與始點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)，三者中給出任意兩個(gè)，都可以求出第三個(gè) 練一練 1已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B在第一象限，4 3，xOAyOB30，求向量的坐標(biāo) 解： 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1y2|OA|cos 306， y1x2|OA|sin 302 3. A(6,2 3)，B(2 3，6) OA(6,

5、2 3)， AB(2 3，6)(6,2 3)(62 3，62 3) 講一講 2 已 知A( 2,4) ，B(3 ， 1) ，C( 3 ， 4) 設(shè)OAa a， (1)求 3a ab b3c c的坐標(biāo)； (2)求滿足a amb bnc c的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo) 嘗試解答 由已知得a a(5，5)，b b(6，3)，c c(1，8) (1)3a ab b3c c3(5，5)(6，3)3(1，8) (1563，15324)(6，42) (2)mb bnc c(6mn，3m8n)(5，5)， 6mn5，3m8n5，解得m1，n1. 1向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示實(shí)際上是相應(yīng)坐標(biāo)

6、的加、減、乘、除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵 2用坐標(biāo)表示的向量，線性運(yùn)算后的結(jié)果仍用坐標(biāo)表示 3解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用 練一練 2(1)已知a a(2，1)，b b(3，4)， 求：3a a4b b；a a3b b；12a a14b b. (2)已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(2， 4)、B(0,6)、C(8， 10)， 求向量的坐標(biāo)； 解：(1)3a a4b b3(2，1)4(3，4) (6，3)(12，16)(6，19) a a3b b(2，1)3(3，4) (2，1)(9，12)(11，11) 12a a14b b12(2，1)14(3，4) 1，1234，1 74，

7、12. (2)由A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)， (2,10)2(8,4)12(10,14) (2,10)(16,8)(5,7) (18,18)(5,7)(13,11) 講一講 3. 如圖所示，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(2，1)、(1，3)、(3，4)，試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo) 嘗試解答 法一：(待定系數(shù)法) 設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y) (1,3)(2,1)(1,2)， (3x,4y) 由，得(1,2)(3x,4y) 13x，24y， x2，y2. 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2) 法二： (直接法) 如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知 (2,1)(1,3)(3,4

8、)(1，3) (1，2)(4,1) (3，1) 而 (1,3)(3，1)(2,2)， 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2) 有了向量的坐標(biāo)表示，就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決向量用坐標(biāo)表示，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想借助于向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，其中正確分清向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系是關(guān)鍵，同時(shí)還應(yīng)熟練掌握用坐標(biāo)表示的向量的運(yùn)算法則 練一練 3多維思考 若把本題條件改為“已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)”，所求問題不變，結(jié)果如何？ 解： 設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(x，y) 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BCD， 得 11x，42y，解得 x2，y

9、2. 故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2) 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳CBD， 解得 x6，y4. 故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4) 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BDC， 解得 x0，y6. 故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，6) 綜上，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)，(6,4)或(0，6). 已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若 (R R)，試求當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)的取值范圍 錯(cuò)解 由已知得(52,43)(72,103)(3,1)(5,7)(35，17)，又點(diǎn)P在第三象限， 350，170，35，故的取值范圍為(，35) 錯(cuò)因 錯(cuò)解中誤把向量AP的坐標(biāo)當(dāng)作P點(diǎn)的坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是對向量的坐標(biāo)表示的概念理解不清，

10、只有當(dāng)向量的始點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo) 正解 由已知得(52,43)(72,103) (3,1)(5,7)(35，17)， 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則AP(x2，y3)， 于是(x2，y3)(35，17)， 即 x235，y317. 又點(diǎn)P在第三象限，所以 x550，y470.解得0，x2x1(x12)2340. 點(diǎn)A位于第四象限 答案：四 6已知向量a a(2,3)，b b(1,2)，ABma anb b，CDa a2b b，若AB2CD，則m_，n_. 解析：AB(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)； CD(2,3)(2,4)(4，1) AB2CD，即(2mn,3m2

11、n)(8,2) 2mn8，3m2n2，解得 m2，n4. 答案：2 4 7已知a ab b(2，8)，a ab b(8，16)，則a a_， b b_ 解析：聯(lián)立a ab b（2，8） a ab b（8，16） 得 2a a(2，8)(8，16)(6，8) a a(3，4)， 而b b(2，8)a a(2，8)(3，4) (23，84)(5，12) a a(3，4)，b b(5，12) 答案：(3，4) (5，12) 8在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，_. 解析：Q是AC的中點(diǎn)， (6,21) 答案：(6,21) 三、解答題 9已知點(diǎn)A(0,2)，B(2,4)及，

12、求點(diǎn)C，D和CD的坐標(biāo) 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2) ， x11，y121， x26，2y26. 得 x11，y13， x26，y28. C，D的坐標(biāo)分別為(1,3)，(6,8) CD(6,8)(1,3)(5,5) 10在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A(1,1)，AB(6,0) (1)若AD(3,5)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)若AC與BD交于一點(diǎn)M(2,2)，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 解：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則AC(x01，y01) ACADAB(3,5)(6,0)(9,5)， 即(x01，y01)(9,5)， x019，y015. x010，y06，即點(diǎn)C(10,6) (2)設(shè)D(x，y)，則AD(x1，y1)， 四邊形ABCD是平行四邊形， M為BD的中點(diǎn)， ABAD2AM，又AM(1,1)， 即(x5，y1)(2,2) x3，y3. 故D的坐標(biāo)為(3,1)