高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;4 第2課時 向量平行的坐標(biāo)表示 Word版含答案

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1、2019 年北師大版精品數(shù)學(xué)資料第 2 課時向量平行的坐標(biāo)表示核心必知向量平行定理與坐標(biāo)表示定理語言敘述坐標(biāo)表示性質(zhì)定理若兩個向量(與坐標(biāo)軸不平行)平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，(y10且y20)若a ab b，則x1y1x2y2判定定理若兩個向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則它們平行設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2) 若x1y1x2y2，則a ab b問題思考1設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，若a ab b，則一定有x1x2y1y2，對嗎？提示：不對因為若x20 或y20，則x1x2y1y2不成立2設(shè)a a(x1，y1)，b b(x

2、2，y2)，若a ab b，則向量a a，b b的坐標(biāo)一定具有什么關(guān)系？反之成立嗎？提示：若a ab b，則一定有x1y2x2y10，反之也成立即：a ab bx1y2x2y10.講一講1(1)下列向量與a a(1，3)共線的是()Ab b(1，2)Bc c(1，3)Cd d(1，3)De e(2，6)(2)已知(7，2)，則一定共線的三點是()AA、B、DBA、B、CCB、C、DDA、C、D嘗試解答(1)法一：e e(2，6)2(1，3)2a a，由向量共線定理知，e e與a a共線故選 D.法二：2613，由向量平行的判定定理知，e ea a.即e e與a a共線故選 D.B 不正確同理可

3、判定，C、D均不正確故選 A.答案(1)D(2)A類題通法判斷兩個向量是否平行(共線)方法有兩種：(1)利用向量共線定理進(jìn)行判斷，即a ab b(b b0 0)a ab b(R R)(2)利用向量平行的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷，即：設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，若x1y1x2y2(或x1x2y1y2)，則a ab b，也可直接利用x1y2x2y1是否等于 0 進(jìn)行判斷1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判斷AB與CD是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？解：AB(0,4)(2,1)(2,3)，CD(5，3)(1,3)(4，6)法一：(2)(6)340，且(

4、2)40，AB與CD共線且方向相反法二：CD2AB，AB與CD共線且方向相反講一講2(1)已知向量a a(1，2)，b b(1，0)，c c(3，4)，若為實數(shù)，(a ab b)c c，則()A.14B.12C1D2(2)已知e e1(1，0)，e e2(0，1)，a a2e e1e e2，b be e1e e2，當(dāng)a ab b時，實數(shù)_嘗試解答(1)a a(1，2)，b b(1，0)a ab b(1，2)(1，0)(1，2)又(a a2b b)c c，324(1)0，得12.故選 B.(2)a a2e e1e e2(2，0)(0，1)(2，1)b be e1e e2(，0)(0，1)(，1)

5、，a ab b，2(1)0，得2.答案(1)B(2)2解決此類問題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行坐標(biāo)運算，合理使用待定系數(shù)法首先利用向量共線的條件建立方程或方程組，再解所列的方程或方程組求出參數(shù)的值練一練2. 向量a a(1，2)，b b(2，3)，若ma anb b與a a2b b共線(其中m，nR R，且n0)，則mn等于()A12B.12C2D2解析：選 Ama anb b(m，2m)(2n，3n)(m2n，2m3n)，a a2b b(1，2)(4，6)(3，8)，ma anb b與a a2b b共線，8(m2n)3(2m3n)0，得mn12.講一講3設(shè)梯形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(3

6、，4)，D(2，1)，且ABDC，AB2CD，求點C的坐標(biāo)嘗試解答ABDC，AB2CD，.設(shè)C(x，y)，則(x，y)(2,1)(x2，y1)而AB(3,4)(1,2)(4,2)，(4,2)2(x2，y1)，即2（x2）4，2（y1）2，解得x4，y2.點C的坐標(biāo)為(4，2)向量平行的綜合應(yīng)用，主要體現(xiàn)為向量的工具性作用，解決該類問題應(yīng)注意從整體上進(jìn)行把握， 如首先應(yīng)理解并掌握向量平行(共線)的含義及其判定與性質(zhì)定理， 其次應(yīng)明確其坐標(biāo)表示 而正確地進(jìn)行向量的線性運算的坐標(biāo)表示，也是解答此類問題的關(guān)鍵練一練3如圖，向量(x，y)，若，試求x，y滿足的關(guān)系x(y2)y(x4)0.化簡得x2y0.

7、如圖，已知點A(2，0)，B(2，2)，C(1，3)，O(0，0)，試求AC與BO的交點D的坐標(biāo)(22)1(2)(3)0，解得14.OD(2，2)(12，12)D點的坐標(biāo)為(12，12)錯因錯解在于將向量的坐標(biāo)運算及兩向量共線的坐標(biāo)表示弄錯向量的坐標(biāo)應(yīng)等于終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)；兩向量共線的坐標(biāo)表示應(yīng)是x1y2x2y10.3(22)(1)(2)0.解得34.OD(2，2)(32，32)故D點的坐標(biāo)為(32，32)1下列各組向量共線的是()Aa a1(2，3)，b b1 1(4，6)Ba a2(2，3)，b b2(3，2)Ca a3(1，2)，b b3(7，14)Da a4(3，2)，b b4

8、(6，4)解析：選 C12714，a a3b b3.2已知平面向量a a(1，2)，b b(2，m)，且a ab b，則 2a a3b b等于()A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)解析：選 Ba ab b，1m2(2)0，得m4，2a a3b b2(1，2)3(2，4)(2，4)(6，12)(4，8)3如果向量a a(k，1)，b b(4，k)共線且方向相反，則k等于()A2B2C2D0解析：選 B向量a a與b b共線，k24，得k2，又a a與b b反向，k2.4已知A(4，1)，B(1，12)，C(x，32)，若A、B、C共線，則x_32(x1)3，解得x1.答案：15已

9、知向量a a(sin， 3)，b b(cos，1)，且a ab b，則銳角的值是_解析：a ab b，sincos 31 3，3.答案：36已知a a(1，2)，b b(3，2)，當(dāng)k為何值時，ka ab b與a a3b b平行？平行時，它們同向還是反向？解：法一：ka ab bk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a a3b b(1，2)3(3，2)(10，4)，當(dāng)ka ab b與a a3b b平行時， 存在唯一實數(shù)， 使ka ab b(a a3b b)， 由(k3， 2k2)(10，4)得，k310，2k24.解得k13.當(dāng)k13時，ka ab b與a a3b b平行，130，ka ab

10、 b與a a3b b反向法二：由法一知ka ab b(k3，2k2)，a a3b b(10，4)，ka ab b與a a3b b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k13，此時ka ab b(133，232)13(a a3b b)當(dāng)k13時，ka ab b與a a3b b平行，并且反向一、選擇題1下列向量組中，能作為基底的是()Ae e1(0，0)，e e2(1，2)Be e1(1，2)，e e2(5，7)Ce e1(3，5)，e e2(6，10)De e1(2，3)，e e2(12，34)解析：選 B能作為基底的向量不共線，可判定 A、C、D 中的兩向量均共線，所以不能作為基底，對于

11、B，由于1257，所以e e1，e e2不共線，故選 B.2若平面向量a a(1，x)和b b(2x3，x)互相平行，其中xR R，則|a ab b|()A2 5B2 或 2 5C2 或 0D2 或 10解析：選 B由a ab b得xx(2x3)0，x0 或x2.當(dāng)x0 時，a a(1，0)，b b(3，0)，a ab b(2，0)，|a ab b|2；當(dāng)x2 時，a a(1，2)，b b(1，2)，a ab b(2，4)，|a ab b|2 5.3已知向量a a(2，3)，b b(1，2)，若ma ab b與a a2b b平行，則實數(shù)m等于()A.12B12C2D2解析：選 Bma ab b

12、(2m1，3m2)，a a2b b(4，1)，若ma ab b與a a2b b平行，則2m143m2，即 2m112m8，解之得m12.4已知向量(k1，k2)，若A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()Ak2Bk12Ck1Dk1解析：選 C若A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點共線(k1)2k0，得k1.二、填空題5已知向量a a( 3，1)，b b(0，1)，c c(k， 3)若a a2b b與c c共線，則k_解析：因為a a2b b( 3，3)，由a a2b b與c c共線，有k333，可得k1.答案：16若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0

13、)共線，則1a1b等于_解析：(2，b2)A，B，C三點共線，(a2)(b2)40.整理得1a1b12.答案：127已知a a(3，2)，b b(2，1)，若a ab b與a ab b(R R)平行，則_解析：a ab b(3，2)(2，1)(32，21)a ab b(3，2)(2，1)(32，2)(a ab b)(a ab b)(32)(2)(21)(32)0.解得，1.答案：18已知向量a a(1，1)，b bsinx，12 ，x(0，)，若a ab b，則x的值是_解析：a ab b，a a(1，1)，b bsinx，12 ，sinx12.又x(0，)，x6或56.答案：6或56三、解答

14、題9如果向量ABi i2j j，BCi imj j，其中i i、j j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值使A、B、C三點共線解：法一：A、B、C三點共線，即AB、BC共線存在實數(shù)，使得ABBC.即i i2j j(i imj j)于是1，m2，m2.即m2 時，A、B、C三點共線法二：依題意知i i(1,0)，j j(0,1)則AB(1,0)2(0,1)(1，2)，BC(1,0)m(0,1)(1，m)而AB、BC共線，1m1(2)0.m2，當(dāng)m2 時，A、B、C三點共線10已知向量：a a(3，2)，b b(1，2)，c c(4，1)(1)求 3a ab b2c c；(2)求滿足a amb bnc c的實數(shù)m和n；(3)若(a akc c)(2b ba a)，求實數(shù)k.解：(1)3a ab b2c c3(3，2)(1，2)2(4，1)(9，6)(1，2)(8，2)(918，622)(0，6)(2)a amb bnc c，m，nR R，(3，2)m(1，2)n(4，1)(m4n，2mn)m4n3，2mn2，解得m59，n89.m59，n89.(3)a akc c(34k，2k)，2b ba a(5，2)，又(a akc c)(2b ba a)，(34k)2(5)(2k)0.k1613.